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丹尼爾·伯努利 山東教育學院 仝素勤 許義夫 伯努利，D．(Bernoulli，Daniel)1700年2月8日生于荷蘭格羅寧根；1782年3月17日卒于瑞士巴塞爾．數(shù)學、物理學、醫(yī)學． 丹尼爾·伯努利(Daniel Bernoulli)是著名的伯努利家族中最杰出的一位，他是約翰·伯努利(Johann Bernoulli)的第二個兒子．丹尼爾出生時，他的父親約翰正在格羅寧根擔任數(shù)學教授．1713年丹尼爾開始學習哲學和邏輯學，并在1715年獲得學士學位，1716年獲得藝術碩士學位．在這期間，他的父親，特別是他的哥哥尼古拉·伯努利第二(Nikolaus Bernoulli II，1695—1726)教他學習數(shù)學，使他受到了數(shù)學家庭的熏陶．他的父親試圖要他去當商業(yè)學徒，謀一個經(jīng)商的職業(yè)，但是這個想法失敗了．于是又讓他學醫(yī)，起初在巴塞爾，1718年到了海德堡，1719年到施特拉斯堡，在1720年他又回到了巴塞爾．1721年通過論文答辯，獲得醫(yī)學博士學位．他的論文題目是“呼吸的作用”(De respiratione)．同年他申請巴塞爾大學的解剖學和植物學教授，但未成功．1723年、丹尼爾到威尼斯旅行，1724年他在威尼斯發(fā)表了他的《數(shù)學練習》(Exercitationes mathematicae)，引起許多人的注意，并被邀請到彼得堡科學院工作．1725年他回到巴塞爾．之后他又與哥哥尼古拉第二一起接受了彼得堡科學院的邀請，到彼得堡科學院工作．在彼得堡的8年間(1725—1733)，他被任命為生理學院士和數(shù)學院士．1727年他與L．歐拉(Euler)一起工作，起初歐拉作為丹尼爾的助手，后來接替了丹尼爾的數(shù)學院士職位．這期間丹尼爾講授醫(yī)學、力學、物理學，做出了許多顯露他富有創(chuàng)造性才能的工作．但是，由于哥哥尼古拉第二的暴死以及嚴酷的天氣等原因，1733年他回到了巴塞爾．在巴塞爾他先任解剖學和植物學教授，1743年成為生理學教授，1750年成為物理學教授，而且在1750—1777年間他還任哲學教授． 1733年丹尼爾離開彼得堡之后，就開始了與歐拉之間的最受人稱頌的科學通信，在通信中，丹尼爾向歐拉提供最重要的科學信息，歐拉運用杰出的分析才能和豐富的工作經(jīng)驗，給以最迅速的幫助，他們先后通信40年，最重要的通信是在1734—1750年間，他們是最親密的朋友，也是競爭的對手．丹尼爾還同C．哥德巴赫(Goldbach)等數(shù)學家進行學術通信． 丹尼爾的學術著作非常豐富，他的全部數(shù)學和力學著作、論文超過80種．1738年他出版了一生中最重要的著作《流體動力學》(Hydrodynamica)．1725—1757年的30多年間他曾因天文學(1734)、地球引力(1728)、潮汐(1740)、磁學(1743，1746)洋流(1748)、船體航行的穩(wěn)定(1753，1757)和振動理論(1747)等成果，獲得了巴黎科學院的10次以上的獎賞．特別是1734年，他與父親約翰以“行星軌道與太陽赤道不同交角的原因”(Quelle est alcause physique de l’inclinaison des plans des orbites des pla－nètes par rapport au plan de léquateur de la révolution du soleilautour de son axe，1734)的佳作，獲得了巴黎科學院的雙倍獎金．丹尼爾獲獎的次數(shù)可以和著名的數(shù)學家歐拉相比，因而受到了歐洲學者們的愛戴，1747年他成為柏林科學院成員，1748年成為巴黎科學院成員，1750年被選為英國皇家學會會員，他還是波倫亞(意大利)、伯爾尼(瑞士)、都靈(意大利)、蘇黎世(瑞士)和慕尼黑(德國)等科學院或科學協(xié)會的會員，在他有生之年，還一直保留著彼得堡科學院院士的稱號． 丹尼爾·伯努利的研究領域極為廣泛，他的工作幾乎對當時的數(shù)學和物理學的研究前沿的問題都有所涉及．在純數(shù)學方面，他的工作涉及到代數(shù)、微積分、級數(shù)理論、微分方程、概率論等方面，但是他最出色的工作是將微積分、微分方程應用到物理學，研究流體問題、物體振動和擺動問題，他被推崇為數(shù)學物理方法的奠基人． 數(shù)學 1724年丹尼爾·伯努利在意大利撰寫醫(yī)學著作期間，發(fā)表了《數(shù)學練習》，內(nèi)容涉及法洛(faro)游戲、流體問題、里卡蒂(Riccati)微分方程和由兩個弧組成的半月形問題．在《練習》的第一部分，他借助于級數(shù)獲得了代數(shù)方程數(shù)值解的近似值．丹尼爾提出循環(huán)級數(shù)，并將這些級數(shù)應用到求代數(shù)方程的根的近似計算中 該級數(shù)的一般項及隨后一項為： P=(Aqn＋Bqn+…)zn， Q=(Apn+1＋Bqn+1+…)zn+1． 若p比q大得多，那么對充分大的n，P可由Apn近似得到，Q可由 將這種方法應用到無窮冪級數(shù)中去． 在級數(shù)理論方面，丹尼爾主要研究了正弦級數(shù)和余弦級數(shù)，他曾給出過像 的一類表達式，他認識到級數(shù)只在x的某些區(qū)間上表示這些函數(shù)． 在《數(shù)學練習》這部著作中，他還針對1724年《教師學報》(Acta eruditorum)上發(fā)表的意大利人J．里卡蒂(Riccati)提出的“里卡蒂方程”，擬定了解決的方案．里卡蒂方程為 其中A，B，C是x的函數(shù)．這是一個具有重要意義的非線性方程，因為它與二階線性方程密切相關．對于里卡蒂方程的特殊形式 axndx＋y2dx=bdy， 丹尼爾指出，當n=-4c/(2c±1)時，可用分離變量法求解．這里c可取全部整數(shù)，包括正、負整數(shù)和零．這個方法他發(fā)表在1724年的《教師學報》上．對于這個方程，里卡蒂本人及約翰·伯努利、尼古拉·伯努利第一和尼古拉·伯努利第二都各自獨立地給出了解答． 丹尼爾在概率論和人口統(tǒng)計方面做出了重大貢獻．早在《數(shù)學練習》這部著作中，就已經(jīng)顯露出他對概率問題的興趣．在彼得堡期間他又認真地研究了這方面的問題，發(fā)表了有影響的、有重大價值的論文“關于度量的分類”(De mensura sortis)．在這篇論文中他探討了資本利潤的計算，提出了政治經(jīng)濟學中新型價值理論的數(shù)學表述．他研究了財產(chǎn)增值與道德值之間的關系．特別提出，若一個人獲得利潤g1，g2，g3，…的機會是P1，P2，P3，…，這里P1＋P2＋P3+…=1，那么利潤道德值的平均值為 bp1log a(a＋g1)＋bp2log a(a＋g2)+…-bloga， 且道德期望為 H=(a＋g1)p1(a＋g2)p2…-a． 若利潤與此人的原有資產(chǎn)比較是很小的，那么道德期望轉(zhuǎn)化成為數(shù)學期望 H=P1g1＋P2g2＋…． 緊接著，丹尼爾又將這一研究應用到風險保險業(yè)和解決由他哥哥尼古拉第二提出的“彼得堡賭博悖論”．甲先付給乙一筆賭注，然后甲扔硬幣，只要第一次出現(xiàn)了正面朝上，賭博就結(jié)束，此時乙必須付給甲2n-1元，其中n表示在第n次扔硬幣時，首次出現(xiàn)了正面朝上．現(xiàn)在要問：甲預付給乙的賭注應為多少才算公正．根據(jù)概率知識，這筆賭注應等于甲將獲得的期望值，但是計算一下，這個期望值應等于 這就出現(xiàn)了賭博悖論．當時許多人都研究過這個悖論，但沒有得出滿意的結(jié)果．丹尼爾主張用所謂“有節(jié)制的道德期望”代替計算結(jié)果為無窮大的數(shù)學期望來解決這個矛盾． 丹尼爾1760年又研究了一類醫(yī)學統(tǒng)計問題，這類問題涉及在各不同年齡組中天花病的死亡率．運用微分方程，丹尼爾計算出有關的數(shù)值表，其數(shù)據(jù)在24年中是有效的．由丹尼爾提出的已知某些結(jié)果的條件，在這些條件下推測出未知原因的逆概率問題，有特別重要的應用價值．這類問題以后由T．貝葉斯(Bayes)等人發(fā)展了．丹尼爾還將概率論應用于人口統(tǒng)計，探討了誤差理論，提出了正態(tài)分布誤差理論，并用這一理論將觀察誤差分為偶然的和系統(tǒng)的兩類，發(fā)表了第一個正態(tài)分布表，使誤差理論更接近現(xiàn)代概念． 丹尼爾在研究由橢圓積分產(chǎn)生的一類新的超越函數(shù)中，也曾經(jīng)提出過插值問題；在對偏微分方程解的研究中，丹尼爾引入了某些函數(shù)的級數(shù)展開式；他還將其高超的數(shù)學技巧應用到關于弦的振動、懸重鏈線的擺動及用空氣發(fā)聲的樂器頻率的研究中，提出了有創(chuàng)造性的預見． 物理學 18世紀，由于幾類物理問題的研究，促進了微分方程理論的發(fā)展，其中很重要的就是彈性問題．自1728年，丹尼爾和歐拉就致力于柔性物體和彈性物體的力學研究．他們研究過一端固定的水平彈性帶的曲率的確定．由于重物P作用在自由端，而它自身的重力p作用在其重心上，均勻彈性帶繞s點的總力矩與曲率半徑R的關系，丹尼爾·伯努利用以下方程表示 式中s是弧長，x為從自由端處取的橫坐標，m為彎曲模量，L是長，R為曲率半徑． 在1733年，丹尼爾離開彼得堡之前，發(fā)表了論文“關于用柔軟細繩聯(lián)結(jié)起來的一些物體以及垂直懸掛的鏈線的振動定理”(Theoremata de oscillationibus corporum filo flexili connexorumet catenae verticaliter suspensae)，在這篇論文中，他指出上端固定的懸掛鏈線，本身沒有重量，但帶等間隔的重荷．當鏈線振動時，質(zhì)點系相對于通過懸掛點的垂線作不同模式的小振動，這些模式中的每一個有各自的特征頻率，當有n個負荷時，整個系統(tǒng)有n個不同的帶有一個特征頻率的主要模式．他發(fā)現(xiàn)，對于一個均勻的，長度為L的自由懸掛鏈線，從最低點算起，相距x處的位移為y，它滿足方程 J0是第一類零階貝塞爾(Bessel)函數(shù)．他指出，α表征振動模式和特征頻率．此方程有無窮多個實根，因此這個鏈線可以表現(xiàn)出有頻率 (d’Alembert)原理．在此基礎上，他又討論了非均勻厚度的振動鏈，他引進了微分方程 他給出了一個級數(shù)解 在1741—1743年間，丹尼爾又研究了關于彈性弦的橫向振動問題．在論文“彈性振動的疊加”(De vibrationibus et sono lamina- rum elasticarum)中，他研究了一端釘在豎直墻上的長度為L的水平棒的振動．實際上，早在1734年他就開始了這方面的研究，他導出了一個四階方程 18世紀中葉，丹尼爾·伯努利、歐拉、約翰·伯努利、達朗貝爾等人對弦振動和桿振動的研究已經(jīng)導出了一階、二階或更高階的微分方程，如果把引起彈性振動的慣性力考慮進去，就可以得出彈性體的動力學的基本方程，從這個基本方程出發(fā)，可以得出各種情況下的波動方程，歐拉和達朗貝爾就是用偏微分方程 來表示弦振動的波動方程．但是丹尼爾卻以完全不同的形式即用函數(shù)的級數(shù)展開式給出弦振動問題的解，從而引起了在丹尼爾、歐拉與達朗貝爾之間的關于弦振動可允許的解的爭論，后來J．L．拉格朗日(Lagrange)也參加了這種爭論． 早在1733年前的論文中，丹尼爾就明確地說明振動的弦能有較高的振動模式．在1741—1743年的振動桿的橫向振動的論文中，他又明確地說明了簡單振動(基音)和疊合振動(高次諧音)可以同時存在．但是這些思想都是從物理學上加以理解，而沒有從數(shù)學上加以描述．當他看到歐拉和達朗貝爾的波動方程并給出它的解時，他在1753年又發(fā)表文章，斷言：振動弦的許多模式(簡單的和疊加的)能夠同時存在．假定長度為a的弦，從單一的振動 出發(fā)，它的全部振動可用一個級數(shù)形式表示 因此他認為這個振動是第一基音、第二諧音、第三諧音……的一切可能的簡諧振動的一個疊合．丹尼爾的這個觀點是非常重要的，因為他首次提出了將問題的解表示為三角級數(shù)的形式，這為將一個函數(shù)展為傅里葉(Fourier)級數(shù)的純數(shù)學問題奠定了物理基礎，促進了分析學的發(fā)展．歐拉贊同丹尼爾的關于許多模式能夠同時存在，使得一個振動中的弦能發(fā)出許多諧音的觀點，但是又和達朗貝爾一起反對丹尼爾關于在弦振動中全部可能的初始曲線能表示成為正弦級數(shù)的主張．丹尼爾堅持認為有足 充分的數(shù)學論證，爭論長達十幾年之久．實際上，這涉及到能用正弦級數(shù)表示的函數(shù)類的寬窄，直到1773年爭論已經(jīng)過去，丹尼爾自己也才認識到這個問題． 正當弦振動問題研究還在進行時，丹尼爾又研究了聲音在空氣中的傳播問題．1762年，丹尼爾發(fā)表一篇關于在琴管內(nèi)(圓柱形管)空氣振動的論述，發(fā)現(xiàn)了風琴管泛音的頻率是基音頻率的奇數(shù)倍的定理．這篇論文也首次創(chuàng)立了錐形管發(fā)聲樂器的理論，提出了無窮長錐形管的泛音與基音是和諧的．他通過物理實驗證實了他的結(jié)論．丹尼爾還研究了不均勻弦的振動，首次解決了從密度分布確定振動弦的頻率的振動逆問題；研究了由不同密度和不同長度組成的弦的振動的特殊情況；比較了一個物體掛在柔性鏈的擺動與繞一固定點的振動這兩種情形；1774年還完善了他的關于振動的疊加原理．總之，丹尼爾在彈性振動力學中做出了很大的貢獻． 丹尼爾除了對剛體振動，柔性物體和彈性物體的力學研究外，還對剛體的旋轉(zhuǎn)運動，固體在對抗媒質(zhì)中的運動，以及摩擦力問題及“活力”(live force，即動能)守恒問題都分別進行了探討，先后發(fā)表論文10多篇．他也探討了作用到海船上的風力所產(chǎn)生的結(jié)果，以及在海洋中減少船只的橫擺和縱擺的穩(wěn)定性問題，把歐拉研究的關于船的自由振動問題擴充到受迫振動的情況．在天體力學上，他和歐拉等人研究了太陽與潮汐、月亮與潮汐之間的由于引力影響而產(chǎn)生的平衡理論；和他的父親約翰共同研究了朝向太陽赤道的行星軌道的傾角增加的原因． 丹尼爾還和他的弟弟約翰·伯努利第二(Johann Bernoulli II，1710—1790)試圖建立關于磁學的理論，1743年，他提出了通過改進羅盤結(jié)構，減少羅盤傾角誤差的意見． 丹尼爾在物理學上的成就，以流體力學最為突出．1738年，出版了他的名著《流體動力學》，這本書的出版，開創(chuàng)了“流體力學”這門學科．書中匯集了他在這方面的研究成果． 《流體動力學》一書共有13章．這部著作開頭就展現(xiàn)了關于水力學的歷史以及對流體靜力學的簡短的描述，緊接著他用流體的壓強、密度和流速作為描寫流體的基本物理量，他認真研究了流體流入和流出的水平面變化情況，考察了流體束的初始過程(非靜態(tài)流)和流束受阻情況，給出了揭示三者之間關系的“伯努利方程”．丹尼爾從實例入手，設一個平放的水管道，管內(nèi)壁的壓力為P，接通一個充水的非常寬的容器，讓水從管道以速度v流出，若z為容器中水表面到管道口間的距離，他推得方程 P+z+v2=A=常數(shù)． 由于丹尼爾的特有的測量方法，這個公式中的常數(shù)有其特定的數(shù)值．對于密度均勻的水沿著高度z有變化的管道中的定常流的伯努利方程為 此處v為水流速度，P為大氣壓力，ρ為水的密度，gh為重力勢能．伯努利方程可由無旋的、無粘性的流體作定常流運動時的歐拉方程 沿任意曲線積分得出．伯努利方程不僅對液體(如水)的定常流的運動是成立的，而且對于在高壓下自小孔噴出的氣體，其運動也可以看作是定常的無旋流動，因此伯努利-歐拉方程也是成立的． 在這本著作中，丹尼爾也專門討論了“彈性流體”即氣體的特性及運動，他提出了“流體由于速度增大，而使壓力減小”的觀點．通過實驗證明了分子對器壁的碰撞，并以此解釋壓強和氣體的某些常數(shù)，也指出了分子的無規(guī)則運動，以及隨著溫度的增高，氣體的壓強和運動增加的事實，從而奠定了“氣體動力學(分子運動論)”和熱學的理論基礎．丹尼爾在這部著作中還討論了流束受阻的反作用力的計算及對作用物體表面的壓力的測定問題． 丹尼爾在流體力學中建立的“伯努利方程”及“內(nèi)壓”概念是有漏洞的，他的父親約翰和歐拉在這方面作了改進． 丹尼爾·伯努利不僅在數(shù)學上和物理學上取得了許多成就，而且在醫(yī)學領域里也有研究成果．1721年，他的博士論文就是關于呼吸力學的綜合理論；1728年，他發(fā)表了關于肌肉收縮的力學理論的論文，提出了心臟所作機械功的計算方法；在生理學上，他提出“極大工作”的概念，即一個人在一段持續(xù)的時間內(nèi)(如一個工作日)所能做的工作量．由于他在數(shù)學上的興趣遠比醫(yī)學大，因此他雖然起初成了一名外科大夫，但最終還是轉(zhuǎn)向了數(shù)學和力學． 丹尼爾·伯努利頭腦機敏和富有想象力．他是第一個把牛頓和萊布尼茲的微積分思想連接起來的人．他又是在18世紀以新的無限小數(shù)學為主要武器探索由實驗揭示的自然現(xiàn)象的數(shù)學物理方法的奠基者之一．他同時也對實驗物理及儀器設備表現(xiàn)出極大興趣． 丹尼爾在學術研究方面與歐拉、達朗貝爾、拉格朗日及其父兄保持著密切的聯(lián)系，特別與歐拉有著極深厚的友誼，密切合作，互為輔成．他們經(jīng)常交流學術上的某些觀點，爭論一些數(shù)學和力學的疑難問題，促進學術的發(fā)展．“爭鳴”成為丹尼爾治學思想的一個重要內(nèi)容，這種學術上的爭論方式至今仍是科學發(fā)展的動力之一． 丹尼爾由于在學術研究上涉及的領域極為廣泛，有時這也防礙了他某些計劃的完成．尤其令人遺憾的是，他未能跟上由于偏微分方程的發(fā)現(xiàn)而引起的數(shù)學前進步伐，例如在弦和桿的振動問題的研究中，他的物理思想是正確的，但沒有用恰當?shù)臄?shù)學來支持它．盡管如此，丹尼爾豐碩的科學成就完全足以確保他在科學史上持久的地位． |
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來自： l1hf > 《數(shù)學家》
