多字母的計(jì)算題，宜分而治之

大罕

　　　以下是一道關(guān)于復(fù)數(shù)的綜合題，是上海市1991年高考數(shù)學(xué)第22題：

　　　設(shè)復(fù)數(shù)z滿足等式 |z–i|=1，且z≠0 , z≠2i，又復(fù)數(shù)w 使得[w/(w-2i)][(z-2i)/z]為實(shí)數(shù)，問復(fù)數(shù)w 在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么圖形，并說明理由．

      題目的任務(wù)是求復(fù)數(shù)w在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么圖形.可是，另有一個(gè)復(fù)數(shù)z　參入攪和，且 |z–i|=1，z≠0 , z≠2i；同時(shí)，聯(lián)系兩個(gè)復(fù)數(shù)w和z的關(guān)系式又比較詭異：[w/(w-2i)][(z-2i)/z]；并且，此式表示的復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù).這樣一來就熱鬧了！如果要計(jì)算，勢(shì)必設(shè)四個(gè)字母a,b,x,y才行.哈哈，四個(gè)字母——復(fù)雜的關(guān)系式——分母實(shí)數(shù)化——利用它為實(shí)數(shù)，有點(diǎn)曲折啊.

　　　解題方案既定，以下實(shí)施：

     設(shè)z=a+bi，z=x+yi (a,b,x,y∈R)，

     由|z–i|=1知，a²+b²-2b ＝０，且a≠0，b≠0，

     設(shè)u=[w/(w-2i)][(z-2i)/z]，

　　我們馬上要面臨一個(gè)問題：有兩條路可走，選擇哪一條？

　　第一條路是先做乘法,u的分式、分母分別相乘，把w=a+bi，z=x+yi代入其中，雖眼見運(yùn)算十分繁復(fù)，但我有背水一戰(zhàn)、破釜沉舟的勇氣；

　　第二條路是把w/(w-2i)和(z-2i)/z分而治之，分別代入，各自變形，然后兩軍會(huì)師.

　　兩條路比較一下，應(yīng)該是第二條路比較可行，分而治之就是分散難點(diǎn)，對(duì)，就這么辦：

　　w/(w-2i)=(x+yi)/( x+yi-2i)=[(x²+y²-2y)+2xi]/[ (x²+(y-2)² ]

　　(z-2i)/z=(a+bi-2i)/(a+bi)=[(a²+b²-2b)-2ai]/(a²+b²) =(-2ai)/(a²+b²)

　　這時(shí)，u=[w/(w-2i)][(z-2i)/z]的分母已為實(shí)數(shù).如果u為實(shí)數(shù)，起決定作用的只是分子，于是，下面我們考查其分子：

　　u=[w/(w-2i)][ (z-2i)/z]的分子＝[(x²+y²-2y)+2xi] (-2ai)＝４-2a(x²+y²-2y)i，

　　演算到此處，豁然開朗：

　　∵u為實(shí)數(shù)且a≠0，∴x²+y²-2y＝０，它表示圓心為點(diǎn)(0,1)，半徑為１的圓.,

　　似乎答案已經(jīng)獲得，可以嗚鼓收兵了嗎？且慢！看一看還有什么不周全的地方：

　　又∵w-2i≠0，此圓應(yīng)除去點(diǎn)(0,2).

　　做完此題，掩題相思：復(fù)雜的計(jì)算問題，若一古腦全盤拿來，則其繁雜不堪忍受；若設(shè)法分散難點(diǎn)，各個(gè)擊破，豈不美哉！然也.