一、分組求和：

例：求數(shù)列1,1＋a,1＋a＋a²，…，1＋a＋a²＋…＋a^n－1的前n項(xiàng)和S_n.

解　若a＝1，則a_n＝1＋1＋…＋1＝n，

于是S_n＝1＋2＋…＋n＝；

若a≠1，則a_n＝1＋a＋…＋a^n－1＝＝(1－aⁿ)，

于是S_n＝＋＋…＋＝[n－(a＋a²＋…＋aⁿ)]＝.

二：裂項(xiàng)相消法求和

例：已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，且S_n＋a_n＝1.

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)b_n＝log₃(1－S_n＋1)，求適合方程＋＋…＋＝的n的值．

解　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a₁＝S₁，由S₁＋a₁＝1，得a₁＝.

當(dāng)n≥2時(shí)，∵S_n＝1－a_n，S_n－1＝1－a_n－1，

∴S_n－S_n－1＝(a_n－1－a_n)，即a_n＝(a_n－1－a_n)，

∴a_n＝a_n－1，∴＝.

∴{a_n}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

故a_n＝·^n－1＝2·ⁿ.

(2)∵1－S_n＝a_n＝ⁿ，

b_n＝log₃(1－S_n＋1)＝log₃^n＋1＝－n－1，

∴＝＝－，

∴＋＋…＋＝＋＋…＋＝－.

解方程－＝，得n＝100

三、　錯(cuò)位相減法求和

例：已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n＝kcⁿ－k(其中c，k為常數(shù))，且a₂＝4，a₆＝8a₃.

(1)求a_n；

(2)求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n.

解　(1)當(dāng)n>1時(shí)，a_n＝S_n－S_n－1＝k(cⁿ－c^n－1)，

a₆＝k(c⁶－c⁵)，a₃＝k(c³－c²)，＝＝c³＝8，∴c＝2.

∵a₂＝4，即k(c²－c¹)＝4，

解得k＝2，∴a_n＝2ⁿ(n>1)．

當(dāng)n＝1時(shí)，a₁＝S₁＝2，

綜上所述a_n＝2ⁿ(n∈N^*)．

(2)∵na_n＝n·2ⁿ，∴T_n＝2＋2·2²＋3·2³＋…＋n·2ⁿ，①

2T_n＝1·2²＋2·2³＋3·2⁴＋…＋(n－1)2ⁿ＋n·2^n＋1，②

由面兩個(gè)式子相減得，－T_n＝2＋2²＋2³＋…＋2ⁿ－n·2^n＋1，

∴T_n＝2＋(n－1)2^n＋1.

四、|分清{|a_n|}的前n項(xiàng)和與{a_n}的前n項(xiàng)和的關(guān)系

例：在等比數(shù)列{a_n}中，a_n>0(n∈N^*)，公比q∈(0,1)，且a₃a₅＋2a₄a₆＋a₃a₉＝100，又4是a₄與a₆的等比中項(xiàng)．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)b_n＝log₂a_n，求數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和S_n.

解　(1)∵a₃a₅＋2a₄a₆＋a₃a₉＝100，

∴a＋2a₄a₆＋a＝100，∴(a₄＋a₆)²＝100，

又a_n>0，∴a₄＋a₆＝10，∵4是a₄與a₆的等比中項(xiàng)，

∴a₄a₆＝16，而q∈(0,1)，∴a₄>a₆，∴a₄＝8，a₆＝2，

∴q＝，a₁＝64，∴a_n＝64·^n－1＝2^7－n.

(2)b_n＝log₂a_n＝7－n，則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n＝，∴當(dāng)1≤n≤7時(shí)，b_n≥0，∴S_n＝.

當(dāng)n≥8時(shí)，b_n<0，

∴S_n＝b₁＋b₂＋…＋b₇－(b₈＋b₉＋…＋b_n)

＝－(b₁＋b₂＋…＋b_n)＋2(b₁＋b₂＋…＋b₇)

＝－＋2×＝，

∴S_n＝