《數(shù)列》在高考中常見(jiàn)題型分析

2014-01-04 14:03:11

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  在數(shù)學(xué)高考中，數(shù)列主要考查：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式或遞推關(guān)系，求數(shù)列的某項(xiàng)；由數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式．利用等差數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式解決等差數(shù)列的問(wèn)題；在具體的問(wèn)題情境中能識(shí)別具有等差關(guān)系的數(shù)列，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題；考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、等比中項(xiàng)的性質(zhì)與證明；以數(shù)列為載體，考查數(shù)列求和的各種方法和技巧結(jié)合函數(shù)、不等式、方程、幾何等知識(shí)，綜合考查數(shù)列和式的相關(guān)性質(zhì)，如和式的最值、單調(diào)性、不等關(guān)系式的證明等．根據(jù)我多年組織學(xué)生高考復(fù)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，現(xiàn)歸納其常見(jiàn)題型如下：

一、已知a_n與S_n的關(guān)系式求通項(xiàng)公式是高考中的常見(jiàn)題型。

例：設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和為T_n，滿足T_n＝2S_n－n²，n∈N^*.

(1)求a₁的值；

(2)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解： (1)令n＝1時(shí)，T₁＝2S₁－1，

∵T₁＝S₁＝a₁，∴a₁＝2a₁－1，∴a₁＝1.

(2)n≥2時(shí)，T_n－1＝2S_n－1－(n－1)²，

則S_n＝T_n－T_n－1＝2S_n－n²－[2S_n－1－(n－1)²]

＝2(S_n－S_n－1)－2n＋1＝2a_n－2n＋1.

因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)，a₁＝S₁＝1也滿足上式，

所以S_n＝2a_n－2n＋1(n≥1)

當(dāng)n≥2時(shí)，S_n－1＝2a_n－1－2(n－1)＋1，

兩式相減得a_n＝2a_n－2a_n－1－2，

所以a_n＝2a_n－1＋2(n≥2)，所以a_n＋2＝2(a_n－1＋2)，

因?yàn)?/font>a₁＋2＝3≠0，

所以數(shù)列{a_n＋2}是以3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．

所以a_n＋2＝3×2^n－1，∴a_n＝3×2^n－1－2，

當(dāng)n＝1時(shí)也成立；

所以a_n＝3×2^n－1－2.

二、將等差（比）數(shù)列求和公式與等差（比）數(shù)列的性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則a_m＋a_n＝a_p＋a_q”結(jié)合命題．

例：在等差數(shù)列{a_n}中，已知S_n＝m，S_m＝n(m≠n)，則S_m＋n.

解:　設(shè){a_n}的公差為d，則由S_n＝m，S_m＝n，

得

②－①得(m－n)a₁＋·d＝n－m，

∵m≠n，∴a₁＋d＝－1.

∴S_m＋n＝(m＋n)a₁＋d

＝(m＋n)＝－(m＋n)．

三、運(yùn)用公式法法、分組求和法、倒序相加法、并項(xiàng)求和法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法等常見(jiàn)方法求和的題型在高考中頻頻出現(xiàn)。

例：設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁＋3a₂＋3²a₃＋…＋3^n－1a_n＝，n∈N^*.

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；

(2)設(shè)b_n＝，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n.

解　(1)∵a₁＋3a₂＋3²a₃＋…＋3^n－1a_n＝，①

∴當(dāng)n≥2時(shí)，

a₁＋3a₂＋3²a₃＋…＋3^n－2a_n－1＝，②

①－②得3^n－1a_n＝，∴a_n＝.

在①中，令n＝1，得a₁＝，適合a_n＝，∴a_n＝.

(2)∵b_n＝，∴b_n＝n·3ⁿ.

∴S_n＝3＋2×3²＋3×3³＋…＋n·3ⁿ，③

∴3S_n＝3²＋2×3³＋3×3⁴＋…＋n·3^n＋1.④

④－③得2S_n＝n·3^n＋1－(3＋3²＋3³＋…＋3ⁿ)，

即2S_n＝n·3^n＋1－，∴S_n＝＋.

四、數(shù)列求和的考查是高考命題的重點(diǎn)，也常與求數(shù)列的通項(xiàng)一起考查。

例：已知等差數(shù)列{a_n}前三項(xiàng)的和為－3，前三項(xiàng)的積為8.

(1)求等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)若a₂，a₃，a₁成等比數(shù)列，求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和．

解：(1)設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，

則a₂＝a₁＋d，a₃＝a₁＋2d，

由題意，得

解得或

所以由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得

a_n＝2－3(n－1)＝－3n＋5或a_n＝－4＋3(n－1)＝3n－7.

故a_n＝－3n＋5或a_n＝3n－7.

(2)由(1)，知當(dāng)a_n＝－3n＋5時(shí)，a₂，a₃，a₁分別為－1，－4,2，不成等比數(shù)列；

當(dāng)a_n＝3n－7時(shí)，a₂，a₃，a₁分別為－1,2，－4，成等比數(shù)列，滿足條件．

故|a_n|＝|3n－7|＝

記數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和為S_n.

當(dāng)n＝1時(shí)，S₁＝|a₁|＝4；(9分)

當(dāng)n＝2時(shí)，S₂＝|a₁|＋|a₂|＝5

當(dāng)n≥3時(shí)，S_n＝S₂＋|a₃|＋|a₄|＋…＋|a_n|

＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)

＝5＋

＝n²－n＋10.

當(dāng)n＝2時(shí)，滿足此式．

綜上，S_n＝

五、以現(xiàn)實(shí)生活中的“增長(zhǎng)率”、“貸款”等問(wèn)題為背景命題，考查數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和等知識(shí)．

例：某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)．該企業(yè)第一年年初有資金2 000萬(wàn)元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50%.預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同．公司要求企業(yè)從第一年開(kāi)始，每年年底上繳資金d萬(wàn)元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)．設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為a_n萬(wàn)元．

(1)用d表示a₁，a₂，并寫(xiě)出a_n＋1與a_n的關(guān)系式；

(2)若公司希望經(jīng)過(guò)m(m≥3)年使企業(yè)的剩余資金為4 000萬(wàn)元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示)．

解： (1)由題意，

得a₁＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d

a₂＝a₁(1＋50%)－d＝a₁－d＝4 500－d

a_n＋1＝a_n(1＋50%)－d＝a_n－d.

(2)由(1)，得a_n＝a_n－1－d

＝－d

＝²a_n－2－d－d

…

＝^n－1a₁－d.

整理，得a_n＝^n－1(3 000－d)－2d

＝^n－1(3 000－3d)＋2d.(10分)

由題意，得a_m＝4 000，

即^m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000.

解得d＝＝.

故該企業(yè)每年上繳資金d的值為時(shí)，經(jīng)過(guò)m(m≥3)年企業(yè)的剩余資金為4 000萬(wàn)元．