可能有些話你是看不懂的，但是相信不久的將來你會明白的，因為有些內(nèi)容需要到大學后才會學的。

1、抽象地定義一樣事物，是從功能上說的，并非從形狀上定義。e.g.腦or智能：=思維、學習、創(chuàng)造。而外星人，我們并不能說是“奇形怪狀的東西”。 

2、越抽象的東西，將代表越廣泛的東西。學習數(shù)學的人，可以去從事任何職業(yè)。

 3、顧拜旦認為，達不到的目標才是偉大的目標。起初，奧運會是不允許職業(yè)運動員參加的，是薩馬蘭奇將它搞成了金錢和權勢的工具，出現(xiàn)了興奮劑之類烏煙瘴氣的東西。

4、學習物理，需要很強的直覺思維，物理知識是逐漸加深的。而學習數(shù)學需要邏輯性、想象力，數(shù)學學習是上升的，有基礎才能繼續(xù)學習。 

5、不用公式說明，而是用自己的語言敘述的數(shù)學，才是真正學到了數(shù)學。 

6、許多的國際文件都有法文副本，因為法文歧義較少。 

7、為什么我們都用十進制呢？因為我們都有十根手指頭。在酷熱的非洲草原，有的部落使用二十進制，因為他們用手腳指頭的總數(shù)。Lagrange曾經(jīng)證明，十進制是最優(yōu)秀的計數(shù)方法。 

8、在牛頓-萊布尼茨時代，無人能解釋極限理論。在迷惑和悵惘中，法國數(shù)學家達朗貝爾振臂一呼：“向前進，就會產(chǎn)生力量。” 

9、一個小孩在鐘表下玩，其父問：“3+5=？”答曰：“8”。又問：“9+4=？”答曰：“1”。該小孩對嗎？他是對的，如果mod12 。 

10、華羅庚認為，學習數(shù)學，第一頁沒有看懂就不要看第二頁。學習數(shù)學要抓住最基本、最主干的知識，要做到對于基礎滾瓜爛熟。十八般武藝vs一般武藝，孰勝孰負？往往一般武藝制勝，喬峰和郭靖就是例子。 

11、阿拉伯數(shù)字的創(chuàng)立，是全人類文化的突破。比如羅馬數(shù)字，其進位技術低劣，寫個1億3千六百萬，需要很大版幅。 

12、抽屜原則又名“鶴巢定理”，僅對有限的集合有用。Hilbert在介紹cantor的無限概念時，講過一個故事：在一個旅游海島上，僅有一家客棧。如果有有限個客房，則旅客住滿后就不能再住了。如果有無限個房間，住了無限個人。則可以再多住一個人，只需要房間1的人挪到房間2，房間n的人挪到房間n+1。也可以再住無限個人，只需要房間1的人挪到房間2，房間2的人挪到房間4，房間n的人挪到房間2n，那么就空出了無限個房間了。 

13、做科學工作的基本品質(zhì)是：像小孩一樣，充滿好奇并刨根究底。 

14、exp(πi)+1=0,這個等式是世界上最漂亮的數(shù)學方程之一，它的優(yōu)美程度絕不亞于凡爾賽宮珍藏的油畫。它包含了數(shù)學中最重要的5個字母，加法符號、指數(shù)符號、等號。這個方程，可以駐足欣賞一個下午沒問題。 

15、域上的向量空間推廣到環(huán)上，就叫“模”。整個代數(shù)學，很大部分內(nèi)容是將問題引向“模”的領域，i.e.同調(diào)代數(shù)。 

16、數(shù)學模型“此消彼長”，應用及其廣泛，它可以解釋各種現(xiàn)象，比如生物學中“捕食群落結構”，比如經(jīng)濟學的“經(jīng)濟周期”，比如物理學上的波。 

17、讀書，并不一定只讀容易的書，還要多讀難讀的書。因為論文都不是好讀的書。 

18、做科學研究的態(tài)度是，沒有經(jīng)過自己腦袋思考和驗證的東西，都不能接受。中國人太相信權威了，這點很不好。 

19、群G在集合S上的（左）作用，是一個映射。（有個交換圖，不便畫出）。這個概念要永遠地、不斷地理解，無論在拓撲群、微分拓撲、代數(shù)、動力系統(tǒng)，它都是個精致概念。它衍生出控制論的最佳載體，還可以進行集合分類。作為非線性數(shù)學的重要概念，它提供了生物進化系統(tǒng)的數(shù)學背景，它能解釋DNA背后的東西---智能。這里有個悖論，即是生命發(fā)展與熱力學第二定理是反其道而行之，世界物質(zhì)本趨于熱死寂，而生物卻在發(fā)展。但是生物行為組成了社會，比如人類行為組成了經(jīng)濟社會。目前熱力學與統(tǒng)計物理的模型在經(jīng)濟學、生物學上大有可為，SARS、股市崩盤、癌細胞最后擴散等等，或可從這個思路研究。 

20、代數(shù)是復數(shù)的推廣，以前漢堡學派稱“algebra”為“超復數(shù)系”。

21、方陣最重要的意義在于：滿足一種運算A×B≠B×A，滿足該運算規(guī)則的最容易控制的對象，就是矩陣。 
22、力學的演變：牛頓力學F=ma，是最早期的；Lagrange的分析力學，用二階微分方程敘述，是為發(fā)展；而今流行Hamilton力學，由一階微分組構成，它的特點是將經(jīng)典力學與量子力學結合起來。目前，量子力學在經(jīng)濟金融系統(tǒng)中應用前景非常廣闊。最贊的力學書是V.I.Anold的《經(jīng)典力學的數(shù)學方法》。 

23、數(shù)學家高斯的墓碑是正十七邊形，多么浪漫～ 

24、貓從房子上跳下來，總是前掌先觸地，為什么呢？可以觀察到貓的尾巴一直在做螺旋運動。 

25、經(jīng)典力學的三大理論：時間均勻性導出的動量守恒，空間均勻性導出的能量守恒，空間的各向同等性導出的角動量守恒。 

26、最速落線方程導出的特殊方法：將斜坡水平細割，每個小段都是勻速直線，而每個小段的速度不同，從而是折線運動。用光的折射定理，計算即可。（公式在初中就學過）。在經(jīng)濟學中，這個思路可以用于投資分析，時間序列上分撥投資。

27、在復變量中，橢圓和雙曲線是一樣的。如果把雙曲線作于球面上，則雙曲線的兩支分別延長，可以對接成為橢圓。而實平面可以看作無限大球面上一塊。 

28、Euclidean空間的鏡面對稱，很特殊很漂亮。一個直觀的故事是，左手和右手，大家都覺得是對稱的，但是事實上它們不能通過旋轉而重合，必須在三維空間中通過鏡面對稱才能重合！ 

29、做習題在數(shù)學學習中是第一位的，美國數(shù)學家摩爾曾說：“l(fā)earning maths is to do it.” 

30、《西游記》的電視劇是拍得不好的，但是它的主題曲很好，比如那句“敢問路在何方？路在腳下。”學習數(shù)學，也是從做習題一步一步開始的。學數(shù)學，每天都得做一定量的習題，“拳不離手”，“曲不離口”。 

31、數(shù)學中的證明題不一定比計算題難。在代數(shù)拓撲中，計算題比證明題難做多了。愛因斯坦的數(shù)學沒有學好，有一次他問他叔叔，“代數(shù)是什么？”答曰：“懶人的算術。” 

32、研究數(shù)學（物理），解題就跟搞偵探一樣。由于每一個人都是嫌疑犯，我們必須在線索（條件）下，合乎邏輯地推證。二者之間唯一的區(qū)別是，看偵探小說可以直接看最后一頁，從而知道結果，而數(shù)學和物理則沒有最后一頁。科學的精神與Olympic精神是一致的，都重在過程。 

33、華羅庚在西南聯(lián)大時，有飛機空襲，他所在的防空洞垮塌。人們把他從土里挖出時，他手里正翻開著一本數(shù)學書。 

34、Princeton的德國數(shù)學家興格爾，每天只吃兩頓飯，早餐和晚餐。兩餐之間的整個時段都在思考數(shù)學。兩餐之外，則是一個完全不包括數(shù)學的世界，那里有各種世間瑣碎。 

35、世界上最好的天體物理學家，是莫斯科大學的一位院士（？）。對他來說，除了過馬路，其余時間都在思考物理問題。 

36、能做出事業(yè)和成就的人，一定是個精力充沛的人。像巴爾扎克，他每天只睡不足5個小時，他每天早上喝一杯咖啡。 

37、19C是數(shù)論的世紀，而20C是拓撲的世紀。在20C后半段，算術代數(shù)幾何也很活躍。 

38、高斯是數(shù)論的奠基者，他的文章十分嚴整。100年后，人們再版他的書，發(fā)現(xiàn)一個字都不能改動。 

39、海森堡是個偉大的人。他認為如果他不擔綱去造原子彈，那么納粹會另找一個去制造。海森堡作為德國的原子彈制造負責人，他從不專心去做，敷衍上級。事實上，海森堡是有制造原子彈的水平的。 

40、童年時看過一句話影響了張老師一生，那就是愛因斯坦說，他最喜歡看燈塔。燈塔，那里有黑夜、大海、星空、潮水、看不清楚的遠方.... 

41、林彪有句話值得大家踐行，“少而精，學到手。”一定要把教材搞透徹， 

42、丁肇中曾說，在我的實驗組里，有與我共事二三十年的物理學家，我對他們非常了解。但是了解僅限于物理，對于他們的生活和家庭，我一無所知。丁還說過，搞物理課題的時候，腦袋里除了物理，對其他一切概念和生活都是模糊的。呆在實驗室，三五天不出門是常事。 

43、“邏輯不可戰(zhàn)勝。”---波洛的《尼羅河慘案》我看了三遍，仍然充滿滋味。一切的推斷都必須經(jīng)得起邏輯的檢驗；不符合邏輯規(guī)范，就不會發(fā)生。有兩門科學的研究模式類似數(shù)學，那就是考古學和宇宙發(fā)源史。 

44、陳省身有2/3的知識是聽課之余聽講座獲得的。對于他陌生的領域，他聽過該講座后，所知仍然膚淺，但是卻在他腦子里根植了一種印象。以至于，后來，他在研究數(shù)學時，往往能打破成見，思維創(chuàng)新。 

45、狹義相對論是基于線性坐標變換（洛侖茲變換）；廣義相對論是基于非線性坐標變換（黎曼變換）。 

46、混沌動力學證明了不可能有長期的天氣預報。 

47、小平邦彥是物理學諾獎和數(shù)學菲爾茨獎的雙料獲得者，他晚年時期，試圖花費大量時間，用常規(guī)方法學習數(shù)理邏輯，但是他一直沒有搞懂。他說，學習新知識一定要在年輕時候。毛主席也說過，“白紙上最好畫畫。” 

48、數(shù)理邏輯學家魯賓遜曾說：“不管是理想的，還是實在的無窮總體都是不存在的。更確切地說，任何講到或意思上含有無窮總體的說法都是沒有意義的。”