數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用

市實(shí)驗(yàn)小學(xué)   楊宏偉

1.什么是數(shù)形結(jié)合

（1）所謂“數(shù)形”結(jié)合就是通過(guò)數(shù)(數(shù)量關(guān)系)與形（空間形式）的相互轉(zhuǎn)化、互相利用來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種思想方法。數(shù)形結(jié)合既是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法。它可將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形相結(jié)合，是抽象思維與形象思維結(jié)合。有些數(shù)量關(guān)系，借助于圖形的性質(zhì)，可以使抽象的概念和關(guān)系直觀化、形象化、簡(jiǎn)單化；而圖形的一些性質(zhì)，借助于數(shù)量的計(jì)量和分析，得以嚴(yán)謹(jǐn)化。

數(shù)與形是數(shù)學(xué)教學(xué)研究對(duì)象的兩個(gè)側(cè)面，把數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來(lái)去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，就是數(shù)形結(jié)合思想?！皵?shù)形結(jié)合”可以借助簡(jiǎn)單的圖形、符號(hào)和文字所作的示意圖，促進(jìn)學(xué)生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中凸顯最本質(zhì)的特征。它是小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排的重要原則，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教材的一個(gè)重要特點(diǎn)，更是解決問(wèn)題時(shí)常用的方法。
      例如，我們常用畫(huà)線段圖的方法來(lái)解答應(yīng)用題，這是用圖形來(lái)代替數(shù)量關(guān)系的一種方法。我們又可以通過(guò)代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的周長(zhǎng)、面積、體積等，這些都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。

數(shù)形結(jié)合方法的實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)。這里的“數(shù)”指數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)公式及用語(yǔ)言文字表現(xiàn)的數(shù)量信息和呈現(xiàn)方式；“形”不僅僅指幾何圖形，還包括各類圖像、實(shí)物類教學(xué)資源等形象材料，以及用這些材料呈現(xiàn)數(shù)學(xué)信息的方式。

（2）數(shù)形結(jié)合的好處

華羅庚的關(guān)于數(shù)形結(jié)合的詞一首：

       數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。

       數(shù)缺形時(shí)少知覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微。

       數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非。

       切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，

       永遠(yuǎn)聯(lián)系，且莫分離。

（3）用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的策略

用線段圖和數(shù)學(xué)畫(huà)來(lái)幫助分析解決問(wèn)題，從而提煉數(shù)形結(jié)合的解題策略。

實(shí)踐操作，引導(dǎo)學(xué)生從嘗試探究中獲取策略 。瑞士心理學(xué)家皮亞杰指出：“兒童的知識(shí)來(lái)源于動(dòng)作，而非來(lái)源于物體?！庇脠D畫(huà)整理混亂的信息，都是讓學(xué)生在獨(dú)立思考或合作交流中，通過(guò)動(dòng)手操作嘗試探究解決問(wèn)題，讓學(xué)生在動(dòng)手、動(dòng)眼、動(dòng)口中加深對(duì)算理的理解，使知識(shí)內(nèi)化，從而獲得成功，激發(fā)興趣，建立自信，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的絕妙，從而獲得數(shù)形結(jié)合的解題策略。

分層遞進(jìn)，構(gòu)建數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的策略體系。教學(xué)設(shè)計(jì)多組練習(xí)，看似相對(duì)獨(dú)立，實(shí)則環(huán)環(huán)相扣，分層遞進(jìn)，既有效地對(duì)學(xué)生進(jìn)行了數(shù)學(xué)思想操的培訓(xùn)，又幫助學(xué)生構(gòu)建了一個(gè)完整的數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的策略體系，有效地提高了學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

潛移默化，滲透數(shù)學(xué)思想教學(xué)。學(xué)生的解題策略需要在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下來(lái)實(shí)現(xiàn)，而數(shù)學(xué)思想不是一、兩節(jié)課就能教給學(xué)生的，而是靠教師在平時(shí)的教學(xué)中，從點(diǎn)點(diǎn)滴滴開(kāi)始，潛移默化地滲透給學(xué)生，讓學(xué)生去感悟去體會(huì)，然后才能運(yùn)用。從形到數(shù)，再?gòu)臄?shù)到形，畫(huà)線段圖，畫(huà)數(shù)學(xué)畫(huà)滲透了數(shù)形結(jié)合的思想、替代思想、轉(zhuǎn)化思想，假設(shè)思想，隨時(shí)根據(jù)學(xué)生的回答隨機(jī)提煉這些數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在無(wú)形中接受數(shù)學(xué)思想的熏陶，為學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成奠定了一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（4）數(shù)形結(jié)合方法的實(shí)質(zhì)

數(shù)形結(jié)合的方法具有雙向性：借助“形”的生動(dòng)和直觀性認(rèn)識(shí)“數(shù)”，即以“形”為手段，“數(shù)”為目的；或借助于“數(shù)”精確和規(guī)范地闡明“形”的屬性，此時(shí)，“數(shù)”是手段。

1.以“形”助“數(shù)”。“形”的廣義性以及小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中直觀形象思維的主導(dǎo)地位決定了大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)需要“形”的支撐。（1）數(shù)學(xué)概念的建立借助“形”的直觀。由于概念的抽象與概括性，教學(xué)時(shí)要向?qū)W生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在數(shù)小棒、搭多邊形中認(rèn)識(shí)整數(shù)，在等分圖形中認(rèn)識(shí)分（?。?shù)；利用交集圖理解公因數(shù)與公倍數(shù)等等。同樣，運(yùn)算的概念（如“除法”、“余數(shù)”）、數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)（如“平均分”、“大于”）等等都需要“形”的參與。 （2）數(shù)學(xué)性質(zhì)的探索依賴“形”的操作。數(shù)學(xué)性質(zhì)是關(guān)于規(guī)律性的知識(shí)，應(yīng)該讓學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn)，而形的操作有助于發(fā)現(xiàn)規(guī)律?！胺?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”、“小數(shù)的性質(zhì)”可以讓學(xué)生在對(duì)圖形的等分中理解。（3）數(shù)學(xué)規(guī)則的形成需要“形”作材料。數(shù)學(xué)規(guī)則在小學(xué)主要是有關(guān)演算過(guò)程的具體實(shí)施方法。規(guī)則學(xué)習(xí)是學(xué)生技能形成的先導(dǎo)。讓學(xué)生明確規(guī)則的合理性、理解其推導(dǎo)過(guò)程的意義，不僅僅在于理解算理，更重要的在于學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)過(guò)程性目標(biāo)。而數(shù)形結(jié)合能降低思維難度，讓學(xué)生有信心和能力歸納出法則。如“20以內(nèi)進(jìn)位加法”是通過(guò)實(shí)物操作體會(huì)“湊十”的過(guò)程；分?jǐn)?shù)乘法（如1/2×1/5）法則在折紙過(guò)程中歸納算法；長(zhǎng)方形面積計(jì)算方法在“擺（面積單位）→數(shù)（小正方形個(gè)數(shù)）→想（個(gè)數(shù)與長(zhǎng)寬關(guān)系）”等過(guò)程中獲得。

　　　?。?）解題思路的獲得常用“形”來(lái)幫助。借助圖形解題的最大優(yōu)勢(shì)是將抽象問(wèn)題形象化。因?yàn)閷?shù)量信息反映在圖形上，能直觀表現(xiàn)數(shù)量間關(guān)系，從而獲得解題思路。尤其在解較復(fù)雜的文字題、應(yīng)用題（如“種植株數(shù)”、“截?cái)唷钡龋r(shí)，恰當(dāng)選用線段圖、示意圖、集合圖等等，是尋找解題途徑最有效的手段之一。

　　　　2.以“數(shù)”解“形”。“形”具有形象直觀的優(yōu)勢(shì)，但也有其粗略、繁瑣和不便于表達(dá)的劣勢(shì)。只有以簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)描述、形式化的數(shù)學(xué)模型表達(dá)“形”的特性，才能更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象化與形式化的魅力，使兒童更準(zhǔn)確地把握“形”。

　　　　對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)要用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的描述加以深化。如“直線”的教學(xué)，由于在生活中無(wú)法找到原型，畫(huà)出來(lái)的也只是線段，而輔之以數(shù)學(xué)語(yǔ)言“直”、“無(wú)限”、“延伸”等，就能較好地建立相應(yīng)的表象。

　幾何圖形的周長(zhǎng)、面積、體積計(jì)算公式的歸納都是兒童對(duì)形體直觀知覺(jué)的深化。如對(duì)長(zhǎng)方形面積大小觀念的建立從定性到定量，從直觀比較到數(shù)方格，從擺小正方形（面積單位）到發(fā)現(xiàn)面積與長(zhǎng)寬的關(guān)系，最終獲得面積計(jì)算公式，使兒童從更深層面上認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方形。

　　對(duì)幾何圖形性質(zhì)的判斷有時(shí)需要通過(guò)計(jì)算才能獲得正確結(jié)論。如：“周長(zhǎng)相同的三角形、正方形和圓，哪個(gè)面積最大？哪個(gè)最??？”由于作圖困難，憑圖形直觀難以判斷，而通過(guò)具體計(jì)算，結(jié)論就不辨自明。   

2.例題：

1.  3年前，父親的年齡是兒子的5倍；5年后，父親的年齡是兒子的3倍。今

年父親（  ）歲，兒子（  ）歲。

2.  高中學(xué)生人數(shù)是初中學(xué)生人數(shù)的5/6,高中畢業(yè)生是初中畢業(yè)生人數(shù)的12/17,高、初中畢業(yè)生畢業(yè)后，高、初中剩下的人數(shù)都是520人。那么高、初中畢業(yè)生共多少人？

高中畢業(yè)生12份人比初中畢業(yè)生17份人少5份人，說(shuō)明高中生有5×5=25份人，初中生5×6=30份人，520人是25-12=13份人，每份520÷13=40人，畢業(yè)生共40×（12+17）=1160人。

3.  寒假中，小明興致勃勃地讀《西游記》，第一天讀83頁(yè)，第二天讀74頁(yè)，第三天讀71頁(yè)，第四天讀64頁(yè)，第五天讀的頁(yè)數(shù)，比五天中平均讀的頁(yè)數(shù)還多3.2頁(yè)，問(wèn)小明在第五天讀了多少？

4.  陳輝問(wèn)王老師今年有多少歲，王老師說(shuō)：“當(dāng)我像你這么大時(shí)，你才3歲；當(dāng)你像我這么大時(shí)，我已經(jīng)42歲了?！眴?wèn)王老師今年多少歲？

【分析與解答】：我們先要明白：如果我比你大a歲，那么“當(dāng)我像你這么大時(shí)”就是在a年前，“當(dāng)你像我這么大時(shí)”就在a年后。這樣便可根據(jù)題意畫(huà)出下圖，　從圖上可看出，a=13，進(jìn)一步推算得王老師今年29歲。