2010年高考全國卷Ⅰ第21題如下：

已知拋物線的焦點為，過點直線與相交于兩點，點關(guān)于軸的對稱點為．

（1）       證明：點在在直線上；

（2）       設(shè)，求的內(nèi)切圓的方程．

注意到點就是拋物線的準(zhǔn)線與對稱軸的交點即為準(zhǔn)點，故點和點恰為拋物線的一對“伴侶點”，一般地對于圓錐曲線的焦點軸上的任意一對“伴侶點”有如下性質(zhì)．

性質(zhì)1  已知點是拋物線的一對“伴侶點”，過點作與坐標(biāo)軸不平行的直線交拋物線于兩點，過點作軸的對稱點，則直線必過點．

圖1                                 圖2

證明  如圖1圖2，設(shè)，因為兩點關(guān)于軸對稱，所以點的坐標(biāo)為．又直線過點，故可設(shè)直線的方程為，將其代入拋物線方程得．因是此方程的兩個根，由根與系數(shù)關(guān)系得．又點在直線上，所以， 所以．

又

，

所以，故三點共線從而直線必過點．

性質(zhì)2  已知是橢圓的一對“伴侶點”，過點作與坐標(biāo)軸不平行的直線與橢圓相交于兩點，過點作軸的對稱點，則直線必過點．

圖3                                      圖4

證明  如圖3圖4，設(shè)，因為兩點關(guān)于軸對稱，所以點的坐標(biāo)為．又直線過點，故可設(shè)直線的方程為，將其代入橢圓方程化簡得．因是此方程的兩個根，由根與系數(shù)關(guān)系得，．又點在直線上，所以．

所以，

又

，

所以，故三點共線從而直線必過點．

同理可證明如下結(jié)論：

性質(zhì)3  已知是雙曲線的一對“伴侶點”，過點作與坐標(biāo)軸不平行的直線與雙曲線相交于兩點，過點作軸的對稱點，則直線必過點．

綜合上述3個結(jié)論，可得圓錐曲線的一個統(tǒng)一的性質(zhì)如下：

性質(zhì)4  已知是圓錐曲線的一對“伴侶點”，過點作與對稱軸不平行的直線與曲線相交于兩點，過點作焦點軸的對稱點，則直線必過點．

由此可以看出，2010年高考全國卷Ⅰ第21題就是圓錐曲線這個共性的一個特例．命題人將其在解析幾何中的某一研究成果或他人的研究成果具體化，就可命制出背景新穎內(nèi)容厚重的優(yōu)質(zhì)高考題，這類試題往往具有較好的研究性、探索性和延展性．在課堂教學(xué)中，若能引導(dǎo)學(xué)生對試題進行適度的引申和推廣，將有利于培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理和類比推理的能力，有利于提高學(xué)生自主探究問題和創(chuàng)造性地解決問題的能力．充分挖掘和拓展高考試題的教育功能，體現(xiàn)和展示高考試題的教學(xué)價值，這對打造高效課堂、提高教學(xué)質(zhì)量很有裨益．

參考文獻：