劉徽（大約生于公元250年左右），三國后期魏國人，淄川（今山東鄒平）人。他是中國數(shù)學史上一位非常偉大的數(shù)學家，也是中國古典數(shù)學理論的奠基者之一，在世界數(shù)學史上，也占有杰出的地位。其生卒年月、生平事跡，史書上很少記載。下面從幾個方面來認識一下這位偉大的數(shù)學家。
一、數(shù)學著作

《九章算術注》
劉徽的數(shù)學著作留傳后世的很少，所留之作均為久經(jīng)輾轉傳抄。他的主要著作有：
1、《九章算術注》10卷，成書于公元263年（《隋書?律歷志》記載：“魏陳留王景元四年（263年），劉徽注《九章》）
《九章算術》是中國古代的一本重要數(shù)學著作，作者不祥，它是中國古代算法的基礎。書中記載了從先秦到東漢的數(shù)學成果，共提出了246個數(shù)學問題，并給出相應的解法，共分為九大類，分別是：
（1）方田：主要是田畝面積的計算和分數(shù)的計算，包括三角形、梯形、圓、弧與環(huán)形等形狀面積的計算方法，是世界上最早對分數(shù)進行系統(tǒng)敘述的著作；
（2）粟米：主要是糧食交易的計算方法，其中涉及許多比例問題；
（3）衰（讀作“翠”）分：主要內(nèi)容為比例，算術級數(shù)和幾何級數(shù)的算法；
（4）少廣：主要講開平方和開立方的方法；
（5）商功：主要是土石方和用工量等工程數(shù)學問題，以體積的計算為主；
（6）均輸：計算稅收等相關問題，比如繳稅的時間周期，按人口征稅等；
（7）盈不足：雙設法的問題，實質(zhì)上是已知兩點求通過兩點的直線方程；
（8）方程：主要是聯(lián)立一次方程組的解法和正負數(shù)的加減法，在世界數(shù)學史上是第一次出現(xiàn)；
（9）勾股：勾股定理的應用。
《九章算術》在許多方面：如解聯(lián)立方程、分數(shù)四則運算、正負數(shù)運算、幾何圖形的面積體積計算等，在當時，都屬于世界先進之列。但原書文字過于簡單，往往只有解法而缺乏證明過程，并且在傳抄的過程中，不可避免地會出現(xiàn)錯誤；所以劉徽為《九章算術》作注，在其中闡明了解題方法的步驟和推導過程，還給出了一些算法的證明，并糾正了原書中的一些錯誤。而在作注的過程中，他還做出了很多創(chuàng)造性的工作，提出了不少超出原著的新理論。有了劉徽的注釋，《九章算術》才得以成為一部完美的中國古代數(shù)學教科書。（劉徽注《九章算術》時年僅30歲左右。）
以《九章算術》代表的中國古代傳統(tǒng)數(shù)學，與歐幾里得《幾何原本》為代表的西方數(shù)學，代表著兩種迥然不同的體系?！毒耪滤阈g》著重應用和計算，其成果往往以算法形式表達?！稁缀卧尽分馗拍钆c推理，其成果以定理形式表達。從而形成東西輝映、大相徑庭的兩部數(shù)學名著。而劉徽和歐幾里得也成為了古代東西方兩大數(shù)學體系的代表人物。
公元元年前后，盛極一時的古希臘數(shù)學走向衰微，《九章算術》的出現(xiàn)，標志著世界數(shù)學研究中心從地中海沿岸轉到了中國，開創(chuàng)了東方以應用數(shù)學為中心占據(jù)世界數(shù)學舞臺主導地位千余年的局面。
2、《海島算經(jīng)》1卷
《海島算經(jīng)》是劉徽所著的一部運用幾何和三角知識測量“可望而不可即”目標的高、遠、深、廣的數(shù)學測量學著作，原名為《重差》（所謂“重差術”便是計算極高和極低的方法），附于劉徽《九章算術注》之后作為第十章。唐代將《重差》從《九章》分離出來，單獨成書，按第一題“今有望海島”，取名為《海島算經(jīng)》，是《算經(jīng)十書》(古代國子監(jiān)算學學習和考試用書) 之一，并且規(guī)定《海島算經(jīng)》的學習期限為三年，是其他算經(jīng)學習期限的三倍。
現(xiàn)傳版本的《海島算經(jīng)》是清初編輯《四庫全書》時，戴震從明朝《永樂大典》中重新抄錄出來的，但只剩下九個問題，并且只存劉徽文字，原劉徽作的圖和原劉徽所作的注釋不存。
1、望海島
2、望松生山上

《海島算經(jīng)》
3、南望方邑
4、望深谷
5、登山望樓
6、南望波口
7、望清淵
8、登山望津
9、登山臨邑
這九個問題的所有計算都是用籌算進行的。
《重差》和《九章重差圖》是陳子（公元前六、七世紀的中國數(shù)學家）測日法的推廣。
《海島算經(jīng)》所提及的“重差術”是透過對事物對象的反覆觀測（第一、三、四問要觀測兩次，第二、五、六、八問要觀測三次，第七、九問要觀測四次），在不引入三角函數(shù)的情況下，劉徽借助于相似勾股形的比例關系將中國古代的“重差”理論進一步發(fā)展，從而計算出精確的結果，同時展示了兩者的演化歷程，這標志著中國古代數(shù)學家在測量技術及理論方面達到了新的高度。
《中國數(shù)學史大系》一書中評價《海島算經(jīng)》：“使中國測量學達到登峰造極的地步。
3、《九章重差圖》l卷
《九章重差圖》記錄了《九章算術》注及《重差》中的圖形，及是一本圖冊。劉徽以后，學習和研究《九章算術》的人要把圖冊和書相配合，直至宋代圖冊失傳。
4、《魯史欹器圖》1卷
《魯史欹器圖》出現(xiàn)在隋朝，為“儀同劉徽注”，此劉徽可能為數(shù)學家劉徽，這個問題在中國古代數(shù)學史上不同看法。
（3、4的看法，節(jié)選自吳文俊主編，《中國數(shù)學史大系》第三卷第二編）
二、數(shù)學成就
劉徽的數(shù)學成就大致為兩方面：
1、清理中國古代數(shù)學體系并奠定了它的理論基礎，這方面集中體現(xiàn)在《九章算術注》中，它實已形成為一個比較完整的理論體系：
①在數(shù)系理論方面
用數(shù)的同類(是指用同一度量單位『即法，即現(xiàn)在分數(shù)中的分母』所得之數(shù)，后劉徽又在正負數(shù)的概念中用同類來指正數(shù))與異類（即實，即現(xiàn)在分數(shù)中的分子，后也指負數(shù)）闡述了通分（劉徽概之為“齊同以通之” ，即現(xiàn)在分數(shù)運算、比較時，把分母相乘以達到分母相等，即得到“同”）、約分（用各分數(shù)的分母除“同”而得各分數(shù)的率，用“率”乘各分子即得“齊”，“齊”就可以比較了），這樣就可進行分數(shù)的四則運算，以及繁分數(shù)化簡等的運算。
（比如 ，“同”即為 ，各分數(shù)的“率”即為 ， ， ，直接用它們乘以 、 ， ，即得到相應的“齊” ，然后就可進行計算、比較）
在少廣章開方術的注釋中，他從“開之不盡”的意義出發(fā)，論述了無理方根的存在；并且為了開方運算的方便而“以面命之” ，即從幾何的觀點出發(fā)，在“量之不盡”時用線段（如 ，用正方形的對角線表示）來表示無理方根。并創(chuàng)造了用十進制小數(shù)來表示無理數(shù)的立方根。他是世界上最早提出十進制小數(shù)概念的人。
另外，他還方程章中正確地提出了正負數(shù)的概念及其加減運算的法則。（劉徽注中的正負數(shù)的定義是“今兩算得失相反，要令正負以名之”。另外，中國古代數(shù)學家在用算籌解方程時，一般用紅色的算籌來代表正數(shù)，黑色的算籌來代表負數(shù)；也有用三角形算籌代表正數(shù)，四邊形算籌代表負數(shù)的。）
【算籌的發(fā)明和十位進制的創(chuàng)立】

古代的象牙算籌
中國古代有一句諺語，叫做“運籌策帷幄之中，決勝于千里之外”。其實，籌策的本意是指中國古代的一種計算工具----算籌，又稱算子，在中國歷史上曾經(jīng)使用了幾千年之久，直到明代以后才被算盤所替代而退出歷史舞臺。
根據(jù)史書的記載和考古材料的發(fā)現(xiàn)，古代的算籌實際上是一根根同樣長短和粗細的小棍子，一般長為13-14厘米，直徑2至4毫米，多用竹子制成，也有用木頭、獸骨、象牙、金屬等材料制成的，大約二百七十幾枚為一束，放在一個布袋里，系在腰部隨身攜帶。需要記數(shù)和計算的時候，就把它們?nèi)〕鰜?，放在桌上、炕上或地上都能擺弄。
算籌是在結繩記數(shù)、契刻記數(shù)等記數(shù)方法的歷史發(fā)展中逐漸產(chǎn)生的。它最早出現(xiàn)在何時，現(xiàn)在已經(jīng)不可查考了，但至遲到春秋戰(zhàn)國，算籌的使用已經(jīng)非常普遍了。
那么怎樣用這些小棍子來表示各種各樣的數(shù)目呢？
古代的數(shù)學家們創(chuàng)造了縱式和橫式兩種擺法，這兩種擺法都可以表示1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數(shù)碼。下圖便是算籌記數(shù)的兩種擺法：

古代算籌記數(shù)的擺法





那么為什么又要有縱式和橫式兩種不同的擺法呢？這就是因為十進位制的需要了。所謂十進位制，又稱十進位值制，包含有兩方面的含義。其一是“十進制”，即每滿十數(shù)進一個單位，十個一進為十，十個十進為百……；其二是“位值制”，即每個數(shù)碼所表示的數(shù)值，不僅取決于這個數(shù)碼本身，而且取決于它在記數(shù)中所處的位置。如同樣是一個數(shù)碼“2”，放在個位上表示2，放在十位上就表示20，放在百位上就表示200，放在千位上就表示2000……在我國商代的文字記數(shù)系統(tǒng)中，就已經(jīng)有了十進位值制的蔭芽，到了算籌記數(shù)和運算時，就更是標準的十進位值制了。
按照中國古代的籌算規(guī)則，算籌記數(shù)的表示方法為：個位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式……這樣從右到左，縱橫相間，遇零則置空，以此類推，就可以用算籌表示出任意大的自然數(shù)了。由于它位與位之間的縱橫變換，且每一位都有固定的擺法，所以既不會混淆，也不會錯位。毫無疑問，這樣一種算籌記數(shù)法和現(xiàn)代通行的十進位制記數(shù)法是完全一致的。
中國古代十進位制的算籌記數(shù)法在世界數(shù)學史上是一個偉大的創(chuàng)造。把它與世界其他古老民族的記數(shù)法作一比較，其優(yōu)越性是顯而易見的。古羅馬的數(shù)字系統(tǒng)沒有位值制，只有七個基本符號，如要記稍大一點的數(shù)目就相當繁難。古美洲瑪雅人雖然懂得位值制，但用的是20進位；古巴比倫人也知道位值制，但用的是60進位。20進位至少需要19個數(shù)碼，60進位則需要59個數(shù)碼，這就使記數(shù)和運算變得十分繁復，遠不如只用9個數(shù)碼便可表示任意自然數(shù)的十進位制來得簡捷方便。中國古代數(shù)學之所以在計算方面取得許多卓越的成就，在一定程度上應該歸功于這一符合十進位制的算籌記數(shù)法。
馬克思在他的《數(shù)學手稿》一書中稱十進位記數(shù)法為“最妙的發(fā)明之一”，確實是一點也不過分的。
②在籌式演算理論方面
先給“率”以比較明確的定義，又以遍乘、通約、齊同等三種基本運算為基礎，建立了數(shù)與式運算的統(tǒng)一的理論基礎。
他還用“率”來定義中國古代數(shù)學中的“方程”，即現(xiàn)代數(shù)學中線性方程組的增廣矩陣。
如方程章第一問：
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？
【古代解釋】答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一，
　　 中禾一秉，四斗、四分斗之一，
　　 下禾一秉，二斗、四分斗之三。
方程術曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。余如中禾秉數(shù)而一，即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。余如上禾秉數(shù)而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。

【現(xiàn)代解釋】解：設上、中、下禾每秉各有x、y、z斗，則據(jù)題意可列成聯(lián)立一次方程組

其術文演算過程可以用矩陣的知識表示如下：




綜上：上、中、下禾每秉各有 ， ， 斗。
③在勾股理論方面

劉徽勾股證明
逐一論證了有關勾股定理與解勾股形的計算原理，建立了相似勾股形理論，發(fā)展了勾股測量術，通過對“勾中容橫”與“股中容直”之類的典型圖形的論析，形成了中國特色的相似理論。
④在面積與體積理論方面
用出入相補、以盈補虛的原理及“割圓術”的極限方法提出了劉徽原理，并解決了多種平面幾何圖形、空間幾何體的面積及體積計算問題。這些方面的理論價值至今仍閃爍著余輝。
2、在繼承的基礎上提出了自己的創(chuàng)見。這方面主要體現(xiàn)為以下幾項有代表性的創(chuàng)見：
①“割圓術”與圓周率
他在《九章算術 圓田術》注中，劉徽創(chuàng)造了“割圓術”，并用“割圓術”證明了圓面積的精確公式，在得到圓面積公式的過程中又準確的求解了圓周率（即π），并給出了計算的過程。他首先從圓內(nèi)接六邊形開始割圓，每次邊數(shù)倍增，算到192邊形的面積，得到π=157/50=3.14，稱為“徽率”（有些書上提到說：劉徽算到3072邊形的面積，得到π=3927/1250=3.1416，但是，經(jīng)論證，這個結果應該是祖沖之用劉徽的方法得到的，據(jù)《中國數(shù)學史大系》）。劉徽在割圓術中提出的"割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣"，這可視為中國古代極限觀念的佳作。

劉徽割圓術
而根據(jù)他提出的方法，大約兩百年后，祖沖之父子突破性地把圓周率計算到了小數(shù)點后的第七位。
②劉徽原理
在《九章算術》陽馬術注中，他在用無限分割的方法解決錐體體積時，提出了關于多面體體積計算的劉徽原理。
③“牟合方蓋”說
在《九章算術》開立圓術注中，他指出了球體積公式V=9D3/16(D為球直徑)的不精確性，并引入了“牟合方蓋”這一著名的幾何模型?！澳埠戏缴w”是指正方體的兩個軸互相垂直的內(nèi)切圓柱體的貫交部分。
④重差術
在白撰《海島算經(jīng)》中，他提出了重差術，采用了重表、連索和累矩等測高測遠方法。他還運用“類推衍化”的方法，使重差術由兩次測望，發(fā)展為“三望”、“四望”。而印度在7世紀，歐洲在15～16世紀才開始研究兩次測望的問題。

《海島算經(jīng)》望海島圖
如《海島算經(jīng)》第一問望海島：
今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表三相直。從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末三合。從后表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末三合。問島高及去表各幾何？
【古代解釋】答曰：島高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。
術曰：以表高乘表間為實；相多為法，除之。所得加表高，即得島高。求前表去島遠近者：以前表卻行乘表間為實；相多為法。除之，得島去表里數(shù)。
古代所用的長度單位有里、丈、步、尺、寸；１里＝180丈=1800尺；1丈=10尺：1步=6尺，1尺=10寸。
【現(xiàn)代解釋】分析：望海島二次測量示意圖由于前表去島的距離不能直接測量，劉徽用同樣高度的表桿前后測量，表桿與地面垂直，人眼貼地，望表桿頂和島上山頂對齊，這時測得人眼和前表桿的水平距離叫“前表卻行”(DG=123步)；再將表桿往后移動，兩表桿間距稱為“表間”(DF=1000步)，依法測出“后表卻行”FH=127步。
解：設島高為AB，前表桿離島的距離為BD
已知表高CD=3丈=5步，前表卻行DG=123步，后表卻行FH127步，則相多為FH-DG=4步，表間為DF=1000步，
因為： ，
所以： ,
所以： 即
所以：
所以： , 帶回，得
所以：得島高 步 尺
前表去島遠近 步 尺
三、貢獻和地位
劉徽的一生是為數(shù)學刻苦探求的一生。他雖然地位不高，但人格高尚。劉徽思想敏捷、方法靈活，既提倡推理又主張直觀，他是中國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數(shù)學命題的人。劉徽治學態(tài)度嚴肅，為后世樹立了楷模。在求園面積公式時，在當時計算工具很簡陋的情況下，他開方即達12位有效數(shù)字。他在注釋“方程”章節(jié)18題時，共用1500余字，反復消元運算達124次，無一差錯，答案正確無誤，即使作為今天大學代數(shù)課答卷亦毫無遜色。
他善于在深入實踐的基礎上精煉出一般的數(shù)學原理, 并解決了許多重大的理論性問題。后人把劉徽的數(shù)學成就集中起來, 認為他為我國古代數(shù)學在世界上取得了十個領先, 它們是:
　　1、他最早提出了分數(shù)除法法則；
　　2、他最早給出最小公倍數(shù)的嚴格定義；
　　3、他最早應用小數(shù)；
　　4、他最早提出非平方數(shù)開方的近似值公式；
　　5、他最早提出負數(shù)的定義及加法法則；
6、他最早把比例和三數(shù)法則結合起來 (若 , 則 ) ；
7、他最早提出一次方程的定義及其完整解法；
　　8、他最早創(chuàng)造出割圓術, 計算出圓周率即“徽率” ；
　　9、他最早用無窮分割法證明了圓錐體的體積公式；
10、他最早創(chuàng)造“重差術”, 解決了可望而不可及目標的測量問題。
經(jīng)他注釋的《九章算術》影響、支配中國古代數(shù)學的發(fā)展1000余年，成為東方數(shù)學的典范之一，在劉徽的《九章算術注》之后中國古代數(shù)學才真正形成了自己的理論體系。
同時，中外學者對《海島算經(jīng)》的成就，也給予很高的評價?！逗u算經(jīng)》的英譯者和研究者，美國數(shù)學家弗蘭克?斯委特茲說：“直到文藝復興時期，西方測量學才差強達到《海島算經(jīng)》水準。中國在數(shù)學測量學的成就，超越西方約一千年?！?
因此，他的工作對中國古代數(shù)學發(fā)展產(chǎn)生了深遠影響，為我國古代數(shù)學的發(fā)展做出了重要的貢獻，并且在世界數(shù)學史上也確立了崇高的歷史地位。當代數(shù)學史學家李迪說：“劉徽是中國歷史上最偉大的數(shù)學家