擲骰子

我被金融數(shù)學(xué)所吸引的原因并不是對(duì)金融多感興趣，而是因?yàn)橄矚g那種在多變事物面前運(yùn)籌帷幄的感覺(jué)。1564年卡爾達(dá)諾(Girolamo Cardano)在其Liber de Ludo Aleae一書(shū)中對(duì)于賭博道德學(xué)開(kāi)始探討，并且在該書(shū)中首次提到了概率論的觀點(diǎn)?？栠_(dá)諾曾評(píng)論道，對(duì)于賭客來(lái)說(shuō)，知道一個(gè)骰子擲出6的概率是六分之一沒(méi)多大意義，因?yàn)楦怕什⒉荒茴A(yù)測(cè)未來(lái)。但如果衡量一場(chǎng)賭博是否公平公正，概率是具有很重要意義的；并且它對(duì)于做決策也非常有幫助。

擲骰子時(shí)的大數(shù)定律

除了帕斯卡(Pascal)的賭博（基本上講的是，相信上帝存在不會(huì)使你失去任何東西），概率論的初期發(fā)展從卡爾達(dá)諾到伽利略和費(fèi)馬，從帕斯卡到丹尼爾?伯努利，都是由賭博問(wèn)題所驅(qū)使的。這些概率論的想法經(jīng)由雅可比?伯努利(Jacob Bernoulli)（丹尼爾?伯努利的叔叔）整理收集在Ars Conjectandi一書(shū)。他給出并證明了大數(shù)法則：如果大量重復(fù)相同實(shí)驗(yàn)（例如擲骰子），則觀察的均值（你所擲之?dāng)?shù)的平均值）將會(huì)收斂于期望（例如一個(gè)均勻骰子每一面的概率基本相同，則期望是(1+2+3+4+5+6)/6=3.5)

測(cè)度論

基于雅可比?伯努利的工作，概率論由十八世紀(jì)的拉普拉斯(Laplace)、費(fèi)希爾(Fisher)，二十世紀(jì)的奈曼(Neyman)和皮爾遜(Pearson)等科學(xué)家所共同發(fā)展。結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，概率論當(dāng)時(shí)已成為科學(xué)家的基本工具。在二十世紀(jì)的前三分之一階段，通過(guò)數(shù)據(jù)觀察，概率論正被成功用來(lái)推斷結(jié)果，比如通過(guò)相關(guān)數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)一個(gè)人的壽命。但是作為一種歸納科學(xué)，（即其結(jié)果由實(shí)驗(yàn)觀察而產(chǎn)生，而不是根據(jù)由基本公理所構(gòu)成的數(shù)學(xué)推理所產(chǎn)生），概率論直到1933年才得以完全統(tǒng)一到數(shù)學(xué)當(dāng)中，這方面的重要先驅(qū)者是前蘇聯(lián)的偉大數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸?Andrey Kolmogorov)，他定義概率為一系列事件的某種測(cè)度，而并非只基于某些事件的發(fā)生頻率。這就是我們今天知道的概率測(cè)度論。

 

 

這幅畫(huà)如何估值？

如果你已經(jīng)習(xí)慣了數(shù)事件個(gè)數(shù)來(lái)計(jì)算概率，那么本概率測(cè)度論的觀點(diǎn)是反直覺(jué)的，但是這一觀點(diǎn)可以用一個(gè)簡(jiǎn)單例子來(lái)解釋清楚，如果你想估量一幅畫(huà)的價(jià)值，可以通過(guò)測(cè)量這幅畫(huà)所占面積、拍賣(mài)商的出價(jià)或者你自己的主觀評(píng)價(jià)來(lái)衡量。對(duì)于柯?tīng)柲缏宸蚨?，這些都是能轉(zhuǎn)化成概率測(cè)度的可接受方法。而你的決策方法，將取決于你要處理的問(wèn)題：如果你要用圖片覆蓋一面墻，那么面積測(cè)量法是最適合的；如果你是要投機(jī)買(mǎi)賣(mài)，那么衡量拍賣(mài)商出價(jià)則比較合理。

柯?tīng)柲缏宸虍?dāng)時(shí)制定的概率論公理，現(xiàn)在正被人們普遍接受。第一，一個(gè)事件的發(fā)生概率是一非負(fù)實(shí)數(shù)(P(E)≥0)。第二，如果你知道一個(gè)事件所有可能的結(jié)果，那么這個(gè)事件產(chǎn)生其中一個(gè)結(jié)果的概率是1（例如：對(duì)于一個(gè)六面骰子來(lái)說(shuō)，擲出1,2,3,4,5或6的概率為1，即P(1,2,3,4,5,6)=1)。第三，互斥事件的概率可以相加（例如，擲出偶數(shù)的概率為：P(2,4,6)=P(2)+P(4)+P(6)=1/2)。（你可以在Understanding Uncertainty網(wǎng)站看到更多關(guān)于概率論及其發(fā)展的文章，另外《Measure for measure》是一篇介紹測(cè)度論非常好的延伸閱讀文章。）

制定一個(gè)公平的價(jià)格

為什么測(cè)度論方法在金融中如此重要？金融數(shù)學(xué)家基于一個(gè)很簡(jiǎn)單的前提調(diào)查市場(chǎng)：衡量一份資產(chǎn)的價(jià)值時(shí)，沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)的收益是不可能發(fā)生的；同樣，沒(méi)有收益的風(fēng)險(xiǎn)也是不可能存在的。如果好好思考這個(gè)前提，人們應(yīng)該意識(shí)到這個(gè)前提和實(shí)際的業(yè)務(wù)并無(wú)太大關(guān)系。實(shí)際業(yè)務(wù)的目標(biāo)是沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)地賺取資金，這就是所謂的“套利”。金融機(jī)構(gòu)往往會(huì)在幫助他們確定套利時(shí)機(jī)的技術(shù)上投入重金。

一份資產(chǎn)在評(píng)估的時(shí)候需要避免這種“套利”。金融數(shù)學(xué)家意識(shí)到一份資產(chǎn)的價(jià)值，可以用一種特殊測(cè)度的期望所表示，叫做“風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度”。這種測(cè)度方法與那些通過(guò)過(guò)往觀察所得出的資產(chǎn)漲價(jià)和降價(jià)的自然概率沒(méi)有任何關(guān)聯(lián)。（風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度的解釋非常容易，在這篇文章中有詳細(xì)描述。你也可以通過(guò)延伸閱讀《Rogue Trading》學(xué)到套利和期權(quán)的基本知識(shí)。）

和概率論中的許多定理一樣，看上去簡(jiǎn)單的東西，其實(shí)卻是十分精巧的。一個(gè)無(wú)套利的價(jià)格并不僅僅是通過(guò)使用特殊概率而得到的期望。如果價(jià)格是中性風(fēng)險(xiǎn)的，并不會(huì)引起任何盈利與虧損，那么這種價(jià)格就是無(wú)套利的。另外，你還必須采取一種稱(chēng)之為“對(duì)沖”的投資策略將所有贏錢(qián)或輸錢(qián)的概率消除。注意到在現(xiàn)實(shí)世界中，還要涉及到諸如稅收和交易成本等復(fù)雜的事情，要想找到一種能將所有的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖掉的風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度是不可能的。金融數(shù)學(xué)中，最基本的目標(biāo)之一就是在現(xiàn)實(shí)世界中去建立使風(fēng)險(xiǎn)最小化的最優(yōu)投資策略。

優(yōu)秀的公司

金融數(shù)學(xué)十分有趣，因?yàn)樗Y(jié)合了數(shù)學(xué)中技術(shù)與抽象的多個(gè)分支，而測(cè)度概率論與相應(yīng)的實(shí)際應(yīng)用影響著人們每天的生活。金融數(shù)學(xué)又令人無(wú)比興奮，因?yàn)橥ㄟ^(guò)運(yùn)用高端的數(shù)學(xué)知識(shí)，我們正在發(fā)展金融學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論基礎(chǔ)。為了體會(huì)到這項(xiàng)工作的影響，我們需要意識(shí)到許多當(dāng)代的金融理論，包括獲諾貝爾獎(jiǎng)的工作，都是基于某些假設(shè)，而并非因?yàn)樗鼈兎从衬承┍挥^察到的現(xiàn)象，這些人為的合理的假設(shè)能夠讓數(shù)學(xué)更易表示。就如同物理能夠激發(fā)新的數(shù)學(xué)分支一樣，金融數(shù)學(xué)現(xiàn)在正在發(fā)展一種全新的數(shù)學(xué)，用來(lái)刻畫(huà)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象而不是物理現(xiàn)象。

金融創(chuàng)新目前擁有的聲譽(yù)不佳，有些人覺(jué)得數(shù)學(xué)家們?cè)诰砣脒@個(gè)“不義之財(cái)”之前應(yīng)該三思。但是，亞里士多德告訴我們，西方科學(xué)之父泰勒斯(Thales)，通過(guò)將其科學(xué)知識(shí)應(yīng)用于投機(jī)而變得富有，伽利略則是在離開(kāi)了帕多瓦大學(xué)之后為Cosimo II de Medici工作，并撰寫(xiě)了“對(duì)骰子的發(fā)現(xiàn)”一書(shū)后，從而成為第一個(gè)定量分析師。在伽利略離開(kāi)帕多瓦之后差不多一百年后，牛頓離開(kāi)劍橋并成為皇家造幣廠的管理人，卻在南海騙局中損失了現(xiàn)在價(jià)值三百萬(wàn)英鎊的財(cái)產(chǎn)。從個(gè)人方面來(lái)說(shuō)，這讓牛頓學(xué)到很多，也使我受益匪淺。此外，當(dāng)數(shù)學(xué)與金融結(jié)合，有趣的事情便會(huì)發(fā)生：概率論的許多新概念就是從這個(gè)交叉處產(chǎn)生。最近，美國(guó)國(guó)防部先進(jìn)研究項(xiàng)目局在數(shù)學(xué)上提出了23個(gè)挑戰(zhàn)，其中一些問(wèn)題如大腦中的數(shù)學(xué)、網(wǎng)絡(luò)中的動(dòng)力學(xué)、捕捉與利用大自然的隨機(jī)性和超越凸優(yōu)化，都與金融相關(guān)。

信貸危機(jī)并沒(méi)有影響到所有的銀行。一些銀行如摩根大通(J. P. Morgan)，結(jié)合了數(shù)學(xué)并做出了很好的決策，而其它的一些銀行就沒(méi)有這樣做，于是就導(dǎo)致了一片混亂（參考Gillian Tett《Fools’ Gold》一書(shū)）。自從Cardano開(kāi)始，金融數(shù)學(xué)已經(jīng)成為一門(mén)探索人們?nèi)绾卧诓淮_定事件面前做決定，并建立最優(yōu)決策的學(xué)科創(chuàng)造財(cái)富，或者至少不使財(cái)富縮水，僅僅是這門(mén)學(xué)科的一個(gè)副產(chǎn)品。正如在牛津大學(xué)研究行為經(jīng)濟(jì)嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的周迅宇教授近期評(píng)論道：

“金融數(shù)學(xué)不僅需要告訴人們什么應(yīng)該做，同時(shí)也要讓他們了解自己正在干什么。而這也恰恰將金融數(shù)學(xué)研究提高到了一個(gè)新的水平線上：我們是否能模擬和分析人類(lèi)缺陷中的一致性與可預(yù)測(cè)性，從而使得這種缺陷能夠被解釋、被避免或被利用來(lái)產(chǎn)生效益呢？”

這是一種理論的說(shuō)法。而在現(xiàn)實(shí)生活中，一位投資銀行的業(yè)務(wù)員說(shuō)的話更加簡(jiǎn)單明了：

“銀行需要高等數(shù)學(xué)的技能，因?yàn)檫@是銀行如何賺錢(qián)的方法?！?/p>