二輪復(fù)習(xí)專題講座：集合與簡(jiǎn)易邏輯、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分 

第1講  集合的基本概念與運(yùn)算

第2講  簡(jiǎn)易邏輯

第3講  函數(shù)的概念與性質(zhì)

【典型例題】

二. 知識(shí)分析：

第1講  集合的基本概念與運(yùn)算

例1. 指出下列幾個(gè)集合的異同處

解：集合A是指指數(shù)函數(shù)的定義域，；

集合B是指指數(shù)函數(shù)的值域，

集合C是指指數(shù)函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合，是一個(gè)點(diǎn)集；

集合D是一個(gè)單元素集合，這個(gè)元素是一個(gè)方程；

集合A、B、C是描述法表示集合，集合D是列舉法表示集合。

例2. 設(shè)集合，，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（   ）

A. 1                     B. 2                     C. 3                    D. 4

解：選B．如上圖，在同一坐標(biāo)系畫出兩個(gè)點(diǎn)集所表示的圖象．由圖象可知，兩曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)元素．

例3. 設(shè)、為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合，若，則中元素的個(gè)數(shù)是_______________．

解：因?yàn)?/SPAN>，所以．當(dāng)時(shí)，分別取1，2，6可得分別為1，2，6；當(dāng)時(shí)，分別取1，2，6可得分別為3，4，8；當(dāng)時(shí)，分別取1，2，6可得分別為6，7，11．綜上：，故中有8個(gè)元素．

例4. 已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值構(gòu)成的集合為______________________．

解：方程兩根分別為：，因此．

由得或{2}或{－3}，

所以，實(shí)數(shù)的取值構(gòu)成的集合為．

例5. 已知，二次函數(shù)．設(shè)不等式的解集為A，又知集合，若，求的取值范圍．

解：易知，由得：，，

由此可得：．

（1）當(dāng)時(shí)，，的充要條件是，

即，解得；

（2）當(dāng)時(shí)，，的充要條件是，

即，解得．

綜上所述，使成立的的取值范圍為．

例6. 設(shè)集合A中不含有元素－1，0，1，且滿足條件：若，則有，請(qǐng)考慮以下問題：（Ⅰ）已知，求出A中其它所有元素；

（Ⅱ）自己設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)數(shù)屬于A，再求出A中其它所有元素；

（Ⅲ）根據(jù)已知條件和前面（Ⅰ）（Ⅱ）你能悟出什么道理來，并證明你的猜想．

解：（Ⅰ）由，則，

所以集合；

（Ⅱ）任取一常數(shù)，如3，則同理（Ⅰ）可得：；

（Ⅲ）猜想任意的，則集合．

下面作簡(jiǎn)要證明：

，則．

這四個(gè)元素互不相等，否則．

第2講  簡(jiǎn)易邏輯

例1. 直線與平行（不重合）的充要條件是（     ）

A.             B.            C.             D. 或

解：，所以；故選C．

例2. 命題p：若、∈R，則是的充要條件；

命題q：函數(shù)的定義域是則（    ）

A. “p或q”為假                           B. “p且q”為真  

C. p真q假                                     D. p假q真

解：由三角形不等式知：是的必要不充分條件，即p為假命題；由可得或，即為真命題．故選D．

例3. 在空間中：①若四點(diǎn)不共面，則這四點(diǎn)中任何三點(diǎn)都不共線；②若兩條直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線是異面直線．以上兩個(gè)命題中逆命題為真命題的是            ．

解：①的逆命題為：若四點(diǎn)中任何三點(diǎn)都不共線，則這四點(diǎn)不共面．例如：正方形的四個(gè)頂點(diǎn)不共線但共面，故其不正確；②的逆命題為：若兩條直線是異面直線，則這兩條直線沒有公共點(diǎn)．由異面直線定義知，異面直線沒有公共點(diǎn)，故②的逆命題為真命題．

例4. 已知；­?是­?的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

解：由得，

由，得，

∴?即，或，而?即，或；

由?是?的必要不充分條件，知­?，

設(shè)A=，B=，

則有A，故且不等式中的第一、二兩個(gè)不等式不能同時(shí)取等號(hào)，

解得，此即為“?是­的必要不充分條件”時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍。

例5. 已知條件和條件，請(qǐng)選取適當(dāng)?shù)膶?shí)數(shù)的值，分別利用所給的兩個(gè)條件作為A、B構(gòu)造命題：“若A則B”，并使得構(gòu)造的原命題為真命題，而其逆命題為假命題。則這樣的一個(gè)原命題可以是什么？并說明為什么這一命題是符合要求的命題。

解：已知條件即，或，∴，或，

已知條件即，∴，或；

令，則即，或，此時(shí)必有成立，反之不然.

故可以選取的一個(gè)實(shí)數(shù)是，A為，B為，對(duì)應(yīng)的命題是若則，

由以上過程可知這一命題的原命題為真命題，但它的逆命題為假命題.

例6. 已知p：是的反函數(shù)，且；

q：集合，B = { x | x >0}，且AB=．

求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使“p或q”為真命題，“p且q”為假命題．

解：先考慮：∵是f （x ）=1－3x的反函數(shù)，∴，由，可得，解得：；

再考慮：①當(dāng)△＜0時(shí)，，，此時(shí)：由得；

②當(dāng)△≥0時(shí)，由可得：，解得．

由①②可知．

要使p真q假，則；要使p假q真，則，綜上所述，當(dāng)的范圍是時(shí)，p、q中有且只有一個(gè)為真命題．

第3講  函數(shù)的概念與性質(zhì)

例1. 設(shè)，則的定義域?yàn)椋?/SPAN>   ）

A.                             B.       

C.                             D.

解：∵在中，由，得， ∴，

∴的定義域滿足，．

故選B．

例2. 已知是上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是（   ）

A. （0，1）         B.              C.              D.

解：∵是上的減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，∴；

又當(dāng)時(shí)，，∴，∴，

且，解得：．

∴綜上，，故選C．

例3. 函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若，則    ．

解：∵函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，

∴，即的周期為4，

∴，

∴．

例4. 設(shè)的反函數(shù)為，若，則              ．

解：∵，∴．

例5. 已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)為何值時(shí)，大于3且小于3？

解：令，

則方程的兩個(gè)實(shí)根可以看成是

拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)（如圖所示），故有：，

所以：，解之得：．

例6. 定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，有

（1）求證：是上的增函數(shù)；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，

解：（1）任取，且，

則

因?yàn)?/SPAN>，所以

所以，是上的增函數(shù)。

（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，，

所以，當(dāng)時(shí)，

【模擬試題】

1、已知，則（   ）

A.                           B.

C.                           D.

2、設(shè)集合，，

，那么滿足點(diǎn)P（2，3）條件是（    ）

A. m＞—1，n＜5                            B. m＜—1，n＜5

C. m＞—1，n＞5                       D. m＜—1 ，n＞5

3、不等式的解集為Q，，若，則（    ）

4、“”是“直線與圓相切”的（    ）

A. 充分不必要條件                           B. 必要不充分條件

C. 充分必要條件                              D. 既不充分又不必要條件

5、不等式成立的一個(gè)必要而不充分條件是（    ）

A.               B.            C.        D.

6、給出下列三個(gè)命題：

①若，則；

②若正整數(shù)m和n滿足，則；

③設(shè)為圓上任一點(diǎn)，圓O₂以為圓心且半徑為1．當(dāng)時(shí)，圓O₁與圓O₂相切．

其中假命題的個(gè)數(shù)為           （    ）

A. 0                     B. 1                     C. 2                     D. 3

7、函數(shù)的反函數(shù)是（   ）

A.                         B.

C.                         D.

8、是定義在R上的偶函數(shù)，是奇函數(shù)，又知，且，則的值是  （    ）

A. 150                   B. －150              C. 2008                 D. －2008

9、若函數(shù)，則該函數(shù)在上是（  ）

A. 單調(diào)遞減無(wú)最小值                  B. 單調(diào)遞減有最小值

C. 單調(diào)遞增無(wú)最大值                  D. 單調(diào)遞增有最大值

10、函數(shù)，若，則的所有可能值為（    ）

A. 1              B.                      C. 1，          D. 1，

11、已知集合，若AB =，則實(shí)數(shù)P的取值范圍是______________________．

12、定義運(yùn)算：  則函數(shù)的值域?yàn)?/SPAN>        ．

13、已知在其定義域上為增函數(shù)，，則不等式的解集是_________________

14、以下同個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：

①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；

②設(shè)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)點(diǎn)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；

③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

④雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn).

其中真命題的序號(hào)為                 （寫出所有真命題的序號(hào)）

15、集合，，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

16、設(shè)集合，，問是否存在非零整數(shù)，使？若存在，請(qǐng)求出的值及；若不存在，請(qǐng)說明理由．

17、已知設(shè)：函數(shù)在R上單調(diào)遞減；：不等式的解集為R．如果p或q為真，p且q為假，求的取值范圍．

18、定義在R上的奇函數(shù)有最小正周期2，且時(shí)，．

（1）求在[－1，1]上的解析式；

（2）判斷在（0，1）上的單調(diào)性，并給予證明．

【試題答案】

1、A   2、A   3、B   4、A   5、D   6、B   7、A   8、B   9、C    10、C

11、  12、   13、  14、③④

15、解：

（1）當(dāng)時(shí)，，滿足；

（2）當(dāng)時(shí)，是二次函數(shù)，

若，，則；

若，；

由得，

綜合（1）（2）得．

16、由知，a是否存在，取決于方程組是否有x的正整數(shù)解，

消去y得：①，

由，即，解得．

因?yàn)?/SPAN>a為非零整數(shù)，所以a可能取的值為．

當(dāng)時(shí)，代入①解得，這與矛盾，故；

當(dāng)時(shí)，代入①解得，符合題意．

所以存在，使得，此時(shí)．

17、對(duì)于命題p:函數(shù)在R上單調(diào)遞減；對(duì)于命題q：不等式的解集為R函數(shù)，所以函數(shù)在R上最小值為，故不等式的解集R．

由“p或q為真，p且q為假”p、q中一真一假．如果p 真q假，即，

解得；如果p假q真，即，解得，綜上的取值范圍為．

18、（1）當(dāng)時(shí)，，

∵為奇函數(shù)，∴，

又，，，

∴．∴

（2）在（0，1）上是減函數(shù)。

下面證明：任取且，

因?yàn)?/SPAN>。

由于，則，則，

由知，即，

所以，即，所以在（0，1）上為減函數(shù)．