集合

一、章節(jié)結(jié)構(gòu)圖

二、復(fù)習(xí)指導(dǎo)

1．新課標(biāo)知識(shí)點(diǎn)梳理

在高中數(shù)學(xué)中，集合的初步知識(shí)與常用邏輯用語(yǔ)知識(shí)，與其它內(nèi)容有著密切聯(lián)系，它們是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的基礎(chǔ)，準(zhǔn)確表述數(shù)學(xué)內(nèi)容，更好交流的基礎(chǔ)．

集合知識(shí)點(diǎn)及其要求如下：

1．集合的含義與表示

(1)通過(guò)實(shí)例，了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系．

(2)能選擇自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列舉法或描述法)描述不同的具體問(wèn)題，感受

集合語(yǔ)言的意義和作用．

2．集合間的基本關(guān)系

(1)理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集．

(2)在具體情境中，了解全集與空集的含義．

3．集合的基本運(yùn)算

(1)理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集．

(2)理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集．

(3)能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會(huì)直觀圖示對(duì)理解抽象概念的作用．

1．1  集合的概念及其運(yùn)算(一)

(一)復(fù)習(xí)指導(dǎo)

本節(jié)主要內(nèi)容：理解集合、子集、交集、并集、補(bǔ)集的概念，了解空集和全集的意義，了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義，會(huì)用集合的有關(guān)術(shù)語(yǔ)和符號(hào)表示一些簡(jiǎn)單\的集合．高考中經(jīng)常把集合的概念、表示和運(yùn)算放在一起考查．因此，復(fù)習(xí)中要把重點(diǎn)放在準(zhǔn)確理解集合概念、正確使用符號(hào)及準(zhǔn)確進(jìn)行集合的運(yùn)算上．

1．集合的基本概念

(1)某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合．集合中每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素．集合中的元素是確定的、互異的，又是無(wú)序的．

(2)不含任何元素的集合叫做空集，記作．

(3)集合可分為有限集與無(wú)限集．

(4)集合常用表示方法：列舉法、描述法、大寫(xiě)字母法、圖示法及區(qū)間法．

(5)元素與集合間的關(guān)系運(yùn)算；屬于符號(hào)記作“∈”；不屬于，符號(hào)記作“”．

2．集合與集合的關(guān)系

對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，就說(shuō)集合B包含集合A，記作AB(讀作A包含于B)，這時(shí)也說(shuō)集合A是集合B的子集．也可以記作B A(讀作B包含A)

①子集有傳遞性，若AB，BC，則有AC.

②空集是任何集合的子集，即A

③真子集：若AB，且至少有一個(gè)元素b∈B，而bA，稱A是B的真子集．記作AB(或BA)．

④若AB且BA，那么A=B

⑤含n(n∈N*)個(gè)元素的集合A的所有子集的個(gè)數(shù)是：2的n次方個(gè)．

(二)解題方法指導(dǎo)

例1．選擇題：

(1)不能形成集合的是(    )

(A)大于2的全體實(shí)數(shù)

(B)不等式3x－5＜6的所有解

(C)方程y=3x+1所對(duì)應(yīng)的直線上的所有點(diǎn)

(D)x軸附近的所有點(diǎn)

(2)設(shè)集合，則下列關(guān)系中正確的是(    )

(A)xA                        (B)xA                    (C){x}∈A                (D){x}A

(3)設(shè)集合，則(    )

(A)M=N                                                       (B)MN

(C)MN                                                       (D)M∩N=

例2．已知集合，試求集合A的所有子集．

例3．已知A={x｜－2＜x＜5}，B={x｜m+1≤x≤2m－1}，B≠，且BA，求m的取值范圍．

例4*．已知集合A={x｜－1≤x≤a}，B={y｜y=3x－2，x∈A}，C={z｜z=x²，x∈A}，若CB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

1．2集合的概念及其運(yùn)算(二)

(一)復(fù)習(xí)指導(dǎo)

(1)補(bǔ)集：如果AS，那么A在S中的補(bǔ)集_sA={x｜x∈S，且x≠A}．

(2)交集：A∩B={x｜x∈A，且x ∈B}

(3)并集：A∪B={x｜x∈A，或x∈B}這里“或”包含三種情形：

①x∈A，且x∈B；②x∈A，但xB；③x∈B，但xA；這三部分元素構(gòu)成了A∪B

(4)交、并、補(bǔ)有如下運(yùn)算法則

全集通常用U表示．

_U(A∩B)=(_UA)∪(_UB)；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

_U(A∪B)=(_UA)∩(_UB)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

(5)集合間元素的個(gè)數(shù)：

card(A∪B)=card(A)+card(B)－card(A∩B)

集合關(guān)系運(yùn)算常與函數(shù)的定義域、方程與不等式解集，解析幾何中曲線間的相交問(wèn)題等結(jié)合，體現(xiàn)出集合語(yǔ)言、集合思想在其他數(shù)學(xué)問(wèn)題中的運(yùn)用，因此集合關(guān)系運(yùn)算也是高考?？贾R(shí)點(diǎn)之一．

(二)解題方法指導(dǎo)

例1．(1)設(shè)全集U={a，b，c，d，e}．集合M={a，b，c}，集合N={b，d，e}，那么(_UM)∩(_UN)是(    )

(A)                           (B){d}                      (C){a，c}                 (D){b，e}

(2)全集U={a，b，c，d，e}，集合M={c，d，e}，N={a，b，e}，則集合｛a，b}可表示為(    )

(A)M∩N                      (B)(_UM)∩N              (C)M∩(_UN)              (D)(_UM)∩(_UN)

例2．如圖，U是全集，M、P、S為U的3個(gè)子集，則下圖中陰影部分所表示的集合為(    )

(A)(M∩P)∩S                                                (B)(M∩P)∪S

(C)(M∩P)∩(_US)                                          (D)(M∩P)∪(_US)

例3．(1)設(shè)A={x｜x²－2x－3=0}，B={x｜ax=1}，若A∪B=A，則實(shí)數(shù)a的取值集合為____；

(2)已知集合M={x｜x－a=0}，N={x｜ax－1=0}，若M∩N=M，則實(shí)數(shù)a的取值集合為____．

例4．定義集合A－B={x｜x∈A，且xB}．

(1)若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}則N－M等于(    )

(A)M                           (B)N                         (C)｛1，4，5 }        (D){6}

(2)設(shè)M、P為兩個(gè)非空集合，則M－(M－P)等于(    )

(A)P                            (B)M∩P                   (C)M∪P                  (D)M

例5．全集S={1，3，x³+3x²+2x}，A={1，|2x－1|}.如果sA={0}，則這樣的實(shí)數(shù)x是否存在?若存在，求出x；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

例 題解 析

1．1  集合的概念及其運(yùn)算(1)

例1分析：(1)集合中的元素是確定的、互異的，又是無(wú)序的；(2)注意“∈”與“”以及x與{x}的區(qū)別；(3)可利用特殊值法，或者對(duì)元素表示方法進(jìn)行轉(zhuǎn)換．

解：(1)選D．“附近”不具有確定性．(2)選D．(3)選B．

方法一：故排除(A)、(C)，又，故排除(D)．

方法二：集合M的元素集合N的元素

．而2k＋1為奇數(shù)，k＋2為全體整數(shù)，因此MN．

小結(jié)：解答集合問(wèn)題，集合有關(guān)概念要準(zhǔn)確，如集合中元素的三性；使用符號(hào)要正確；表示方法會(huì)靈活轉(zhuǎn)化．

例2分析：本題是用{x｜x∈P}形式給出的集合，注意本題中豎線前面的代表元素x∈N．

解：由題意可知(6－x)是8的正約數(shù)，所以(6－x)可以是1，2，4，8；

可以的x為2，4，5，即A={2，4，5}．

∴A的所有子集為，{2}，{4}，{5}，{2，4}，{2，5}，{4，5}，{2，4，5}．

小結(jié)：一方面，用{x｜x∈P}形式給出的集合，要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質(zhì)P；另一方面，含n(n∈N*)個(gè)元素的集合A的所有子集的個(gè)數(shù)是：個(gè)．

例3分析：重視發(fā)揮圖示法的作用，通過(guò)數(shù)軸直觀地解決問(wèn)題，注意端點(diǎn)處取值問(wèn)題．

解：由題設(shè)知，

解之得，2≤m＜3．

小結(jié)：(1)要善于利用數(shù)軸解集合問(wèn)題．(2)此類題常見(jiàn)錯(cuò)誤是：遺漏“等號(hào)”或多“等號(hào)”，可通過(guò)驗(yàn)證“等號(hào)”問(wèn)題避免犯錯(cuò)．(3)若去掉條件“B≠”，則不要漏掉A的情況．

例4*分析：要首先明確集合B、C的意義，并將其化簡(jiǎn)，再利用CB建立關(guān)于a的不等式．

解：∵A＝[－1，a]，

∴B={y｜y=3x－2，x∈A}，

B=[－5，3a－2]

(1)當(dāng)－1≤a＜0時(shí)，由CB，得a²≤1≤3a－2無(wú)解；

(2)當(dāng)0≤a＜1時(shí)，1≤3a－2，得a=1；

(3)當(dāng)a≥1時(shí)，a²≤3a－2得1≤a≤2

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，2]．

小結(jié)：準(zhǔn)確理解集合B和C的含義(分別表示函數(shù)y=3x－2，y=x²的值域，其中定義域?yàn)?em>A)是解本題的關(guān)鍵．分類討論二次函數(shù)在運(yùn)動(dòng)區(qū)間的值域是又一難點(diǎn)．若結(jié)合圖象分析，結(jié)果更易直觀理解．

1．2  集合的概念及其運(yùn)算(2)

例1分析：注意本題含有求補(bǔ)、求交兩種運(yùn)算．求補(bǔ)集要認(rèn)準(zhǔn)全集，多種運(yùn)算可以考慮運(yùn)算律．

解：(1)方法一：∵_UM={b，c}，_UN={a，c}

∴(_UM)∩(_UN)=，答案選A

方法二：(_UM)∩(_UN)=_U(M∪N)=

∴答案選A

方法三：作出文氏圖，將抽象的關(guān)系直觀化．

∴答案選A

(2)同理可得答案選B

小結(jié)：交、并、補(bǔ)有如下運(yùn)算法則

_U(A∩B)=(_UA)∪(_UB)；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

_U(A∪B)=(_UA)∩(_UB)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

例2分析：此題為通過(guò)觀察圖形，利用圖形語(yǔ)言進(jìn)行符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化與集合運(yùn)算的判斷．

解：∵陰影中任一元素x有x∈M，且x∈P，但xS，∴x∈_US．

由交集、并集、補(bǔ)集的意義．

∴x∈(M∩P)∩(_US)答案選D．

小結(jié)：靈活進(jìn)行圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要能力．

例3解：(1)由已知，集合A={－1，3}，

∵A∪B=A得BA

∴分B=和兩種情況．

當(dāng)B＝時(shí)，解得a=0；

當(dāng)時(shí)，解得a的取值

綜上可知a的取值集合為

(2)由已知，

∵M∩N=MMN

當(dāng)N=時(shí)，解得a=0；M={0}  即M∩N≠M  ∴a=0舍去

當(dāng)時(shí)，解得

綜上可知a的取值集合為{1，－1}．

小結(jié)：(Ⅰ)要重視以下幾個(gè)重要基本關(guān)系式在解題時(shí)發(fā)揮的作用：(A∩B)A，(A∩B)B；(A∪B)A，(A∪B)B；A∩_U A=，A∪_UA=U；A∩B=AAB，A∪B=BAB等．

(Ⅱ)要注意是任何集合的子集．但使用時(shí)也要看清題目條件，不要盲目套用．

例4解：(1)方法一：由已知，得N－M={x｜x∈N，且xM}={6}，∴選D

方法二：依已知畫(huà)出圖示

∴選D．

(2)方法一：M－P即為M中除去M∩P的元素組成的集合，故M－(M－P)則為M中除去不為M∩P的元素的集合，所以選B．

方法二：由圖示可知M=(M∩P)∪(M－P)

選B．

方法三：計(jì)算(1)中N－(N－M)={2，3}，比較選項(xiàng)知選B．

小結(jié)：此題目的檢測(cè)學(xué)生的閱讀理解水平及適應(yīng)、探索能力，考查學(xué)生在新情境中分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．事實(shí)證明，雖然這類問(wèn)題內(nèi)容新穎，又靈活多樣，但其涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)顯得相對(duì)簡(jiǎn)單和基礎(chǔ)，要勇于嘗試解題．

例5^*解：假設(shè)這樣的x存在，∵_SA={0}，∴0∈S，且｜2x－1｜∈S．

易知x³＋3x²＋2x＝0，且｜2x－1｜=3，

解之得，x=－1．

當(dāng)x=－1時(shí)，S={1，3，0}，A={1，3}，符合題設(shè)條件．

∴存在實(shí)數(shù)x=－1滿足_S A={0}．