一、Poisson分布的概念

Poisson分布更多地專用于研究單位時(shí)間、單位人群、單位空間內(nèi)，某罕見事件發(fā)生次數(shù)的分布。

如某種細(xì)菌在單位容積空氣或水中出現(xiàn)的情況，某段時(shí)間特定人群中某種惡性腫瘤患者的分布或出生缺陷的發(fā)病情況，放射性物質(zhì)在單位時(shí)間內(nèi)的放射次數(shù)，單位空間某種昆蟲數(shù)的分布等等。

Poisson分布在 π 很小，樣本含量n趨向于無窮大時(shí)，二項(xiàng)分布的極限形式。當(dāng)試驗(yàn)中成功事件出現(xiàn)的概率很小，如π＜0.05,試驗(yàn)的次數(shù)n很大`時(shí)，用二項(xiàng)分布計(jì)算成功事件出現(xiàn)的次數(shù)X（X=0，1，2，…, n）的概率很困難，用Poisson分布可簡化計(jì)算。Poisson分布發(fā)展成為描述小概率事件出現(xiàn)規(guī)律性的一種重要的離散型分布。

Poisson分布的概率函數(shù)

    X=1,2,3…（7.13）

意義：單位時(shí)間（單位人群、單位空間內(nèi)，單位容積）內(nèi)，某罕見事件發(fā)生次數(shù)的概率分布

式中μ=nπ 為Poisson分布的總體均數(shù)，總體中某單位中的平均陽性數(shù)，X為單位時(shí)間或單位空間內(nèi)某事件的發(fā)生數(shù)（陽性數(shù)），e為自然對數(shù)的底，約等于2.71828。

    （7.14）

二、Poisson分布的性質(zhì)

1．Poisson分布是一種單參數(shù)的離散型分布，其參數(shù)為μ，它表示單位時(shí)間或空間內(nèi)某事件平均發(fā)生的次數(shù)，又稱強(qiáng)度參數(shù)。

2．Poisson分布的方差σ2與均數(shù)μ相等，即σ2=μ

3．Poisson分布是非對稱性的，在μ不大時(shí)呈偏態(tài)分布，隨著μ的增大，迅速接近正態(tài)分布。一般來說，當(dāng)μ=20時(shí)，可以認(rèn)為近似正態(tài)分布，Poisson分布資料可按正態(tài)分布處理。

4．Poisson分布的累計(jì)概率常用的有左側(cè)累計(jì)和右側(cè)累計(jì)兩種。單位時(shí)間或空間內(nèi)事件發(fā)生的次數(shù)

最多為k次的概率

（X= 0,1,2,…）

最少為k次的概率

（X= 0,1,2,…）

5．Poisson分布的圖形已知μ，就可按公式計(jì)算得出X= 0，1，2，…時(shí)的P（X）值，以X為橫坐標(biāo)，以P（X）為縱坐標(biāo)作圖，即可繪出Poisson分布的圖形，如圖7.2。

Poisson分布的形狀取決于μ的大小。μ值越小，分布越偏，隨著μ的增大，分布越趨于對稱，當(dāng)μ=20時(shí)，分布接近正態(tài)分布，當(dāng)μ=50時(shí)，可以認(rèn)為Poisson分布呈正態(tài)分布N（μ, μ），按正態(tài)分布處理。

由圖7.2可以看到Poisson分布當(dāng)總體均數(shù)值小于5時(shí)為偏峰，愈小分布愈偏，隨著增大，分布趨向?qū)ΨQ。

圖7.2取不同值時(shí)的Poisson分布圖

6．Poisson分布是二項(xiàng)分布的極限形式二項(xiàng)分布中，當(dāng)π很小而n很大，nπ→μ時(shí)，二項(xiàng)分布趨于Poisson分布。

7．Poisson分布的觀察結(jié)果有可加性。若從總體均數(shù)為的Poisson分布總體中隨機(jī)抽出一份樣本，其中稀有事件的發(fā)生次數(shù)為X1，再獨(dú)立地從總體均數(shù)為的Poisson分布總體中隨機(jī)抽出另一份樣本，其中稀有事件的發(fā)生次數(shù)為X2，則它們的合計(jì)發(fā)生數(shù)T（）也服從Poisson分布，總體均數(shù)為。

上述性質(zhì)還可以推廣到多個(gè)Poisson分布的情形。例如，從同一水源獨(dú)立地取水樣5次，進(jìn)行細(xì)菌培養(yǎng)，每次水樣中的菌落數(shù)分別為，，均服從Poisson分布，分別記為，那么把5份水樣混合，其合計(jì)菌落數(shù)也服從Poisson分布，記為。醫(yī)學(xué)研究中常利用其可加性，將小的觀察單位合并，來增大發(fā)生次數(shù)X，以便用后面講到的正態(tài)近似法作統(tǒng)計(jì)推斷。

三、Poisson分布的應(yīng)用條件

Poisson分布的應(yīng)用條件與二項(xiàng)分布相同，即要求事件的發(fā)生是相互獨(dú)立的，發(fā)生的概率相等，結(jié)果是二分類的。

Poisson分布主要用于研究單位時(shí)間或單位空間內(nèi)某事件的發(fā)生數(shù)，理論上單位時(shí)間或單位空間內(nèi)的發(fā)生數(shù)可為無窮大。而用于研究單位人群中某疾病發(fā)生數(shù)的分布時(shí)，單位人群的人數(shù)要求大一些，比如以1000人或更多作為單位人群，某些發(fā)病率極低的疾病要求更多。