（2）全等三角形：能夠完全重合的三角形叫做全等三角形。

    （3）全等三角形的表示方法：比如△BCD≌△AEF

    （4）全等三角形的性質(zhì)：

    ①全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；

    ②全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；

    ③全等三角形周長(zhǎng)、面積相等。

  4. 三角形全等的判定定理

    （1）一般三角形：SAS，ASA，AAS，SSS。

    （2）直角三角形：HL，SAS，ASA，AAS，SSS。

  5. 直角三角形：

    （1）直角三角形的性質(zhì)：

    ①直角三角形中兩銳角互余。

    ②如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

    ③在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。

    ④在直角三角形中，有一個(gè)角為90°。

    ⑤在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30°。

    ⑥在直角三角形中，兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即a2＋b2＝c2。

    （2）直角三角形的判定：

    ①有一個(gè)角為90°的三角形為直角三角形。

    ②有兩個(gè)角互余的三角形為直角三角形。

    ③如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c，有下面關(guān)系：

    a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

  6. 作三角形

    （1）已知三邊作三角形。

    （2）已知兩邊及其夾角作三角形

    （3）已知兩角及其夾邊作三角形

六、規(guī)律與方法

  1. 三角形的邊角關(guān)系：

    （1）三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。

    （2）三角形內(nèi)角和等于180°。

    （3）三角形的任一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。

  2. 三角形的分類：

 

  3. 證明線段相等的方法：

    （1）可證明它們所在的兩個(gè)三角形全等。

    （2）角平分線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。

    （3）等角對(duì)等邊。

    （4）等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。

    （5）垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。

    （6）等式的性質(zhì)。

    （7）中點(diǎn)的定義。

  4. 證明角相等的方法：

    （1）同角（等角）的余角相等。

    （2）同角（等角）的補(bǔ)角相等。

    （3）平行線的性質(zhì)：

    ①兩直線平行，同位角相等。

    ②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。

    （4）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

    （5）等邊對(duì)等角。

    （6）角平分線的定義。

    （7）等式的性質(zhì)。

    （8）對(duì)頂角相等。

  5. 證明垂直的方法

    （1）證鄰補(bǔ)角相等。

    （2）證和已知直角三角形全等。

    （3）勾股定理的逆定理。

  6. 常見(jiàn)輔助線的作法：

    （1）在△ABC中，如AD是中線，常采用的作法是：

    ①延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連結(jié)BE（或過(guò)B作BE∥AC，交AD的延長(zhǎng)線于E），如圖甲。

    ②取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE（或過(guò)D作DE∥BA，交AC于E），如圖乙。

    ③延長(zhǎng)BA至E，使AE＝AB，連結(jié)CE（或過(guò)C作CE∥AD交BA的延長(zhǎng)線于E），如圖丙。

    （2）在△ABC中，若AD是∠BAC的平分線，常采用的作法是：

    ①延長(zhǎng)BA至E，使AE＝AC，連結(jié)CE（或過(guò)C作CE∥AD，交BA的延長(zhǎng)線于E），如圖甲。

    ②在較長(zhǎng)邊AB上截取AE＝AC，連結(jié)DE，如圖乙。

    ③過(guò)C作CE∥AB，交AD的延長(zhǎng)線于E，如圖丙。

    ④過(guò)D作DE∥AB，交AC于E，如圖丁。

    （3）在△ABC中，若D是AB的中點(diǎn)，常采用的作法是：

 ①過(guò)D作DE∥BC，交AC于E。

    ②取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE。

    ③連結(jié)CD，用中線的性質(zhì)。

    ④若已知△ABC為特殊三角形，可利用特殊三角形的性質(zhì)：如為等腰三角形，考慮頂點(diǎn)平分線；若為直角三角形，考慮斜邊中線；若為有一個(gè)角是30°的直角三角形，考慮斜邊中線及30°角所對(duì)邊之間的關(guān)系，?？勺鞒鲋芯€。

七、數(shù)學(xué)思想方法

  1. 通過(guò)學(xué)習(xí)，逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用分析、綜合、歸納、概括及類比的方法，逐步發(fā)展有條理的思考和表達(dá)能力。

  2. 轉(zhuǎn)化的思想：將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化，分解，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何問(wèn)題解決。

  3. 圖形處理方法：

    （1）分解圖形法：

    復(fù)雜圖形都是由較簡(jiǎn)單的基本圖形組成，故可將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。

    （2）構(gòu)造圖形的方法：

    當(dāng)直接說(shuō)明問(wèn)題有困難時(shí)，常添加輔助線，構(gòu)造圖形達(dá)到解題目的。

八、掌握以下8類問(wèn)題及其解法，并領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想：

  1. 能夠利用三角形全等的判定及其性質(zhì)，證明線段或角相等，領(lǐng)會(huì)全等形的思想。

  2. 能夠利用等腰三角形和直角三角形的特殊性質(zhì)解題，領(lǐng)會(huì)一般與特殊的關(guān)系。

  3. 能夠理解旋轉(zhuǎn)，角平分線的概念及其性質(zhì)，領(lǐng)會(huì)對(duì)稱思想。

  4. 能夠理解逆命題與逆定理的概念，領(lǐng)會(huì)對(duì)立統(tǒng)一的思想。

  5. 通過(guò)幾何問(wèn)題一題多解的研究和推理論證分析綜合的訓(xùn)練，滲透轉(zhuǎn)化思想和辨證唯物主義觀點(diǎn)。

  6. 通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的研究體現(xiàn)理論聯(lián)系實(shí)際的思想。

  7. 通過(guò)用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題又體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和方程的思想。

  8. 能夠運(yùn)用尺規(guī)作圖，將作圖問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本作圖，領(lǐng)會(huì)化歸思想。

【典型例題】

（一）構(gòu)造全等三角形法：

  例1. 已知：如圖，AB∥CD，AD∥BC，證明：AB＝DC，AD＝BC

    分析：需得到AB＝DC，AD＝BC，需構(gòu)造三角形，因此可添加輔助線：連結(jié)AC。

    證明：連結(jié)AC

    ∵AB∥CD             ∴∠1＝∠2

    又∵AD∥BC          ∴∠3＝∠4

    在△ADC和△CBA中

           ∴△ADC≌△CBA（ASA）

    ∴AB＝DC，AD＝BC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） 

  例2. 如圖，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，CE⊥BD的延長(zhǎng)線于E，求證：BD＝2CE。

    分析：和CE⊥BD”，想到延長(zhǎng)CE、BA相交于F，因此先證明CF＝2CE，再證明BD＝CF。由此知需要證明△ABD≌△ACF。

    證明：延長(zhǎng)CE、BA相交于F

    在△FBE和△CBE中   

         ∴△BEF≌△BEC

    

               ∴CF＝2CE

    在Rt△BEF中，∠2＝90°－∠F

    同理∠1＝90°－∠F                     ∴∠1＝∠2

    在△ABD和△ACF中   

     ∴△ABD≌△ACF        ∴BD＝CF

    ∴BD＝2CE

    小結(jié)：①在題目中如果含有角平分線且含有和這條角平分線垂直的條件時(shí)，要想到翻折圖形，此題所作的輔助線，實(shí)質(zhì)上是將Rt△BCE以BE所在的直線為軸翻折過(guò)去得Rt△BFE。

    ②此題圖中，可以把BE、CA看成是△FBC的兩條高，注意“∠1＝∠2”這個(gè)結(jié)論。

（二）巧用勾股定理

  例3. 已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，D為BC上任一點(diǎn)，求證：AB2－AD2＝BD·DC（AB＞AD）

    分析：此題的求證中出現(xiàn)了AB2和AD2，由此可聯(lián)想到把它們放到兩個(gè)直角三角形中，利用勾股定理可得有AB2和AD2的式子，因此想到作輔助線AE⊥BC于E。

    證明：過(guò)A作AE⊥BC于E

    ∵AB＝AC，AE⊥BC

    ∴BE＝CE，∠AEB＝∠AEC＝90°

    在Rt△AEB和Rt△AED中，由勾股定理得：  

 

  例4. 如圖，已知四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD邊上，且AF

    求證：EF⊥CE

    分析：此題中的已知條件告訴了我們邊之間的關(guān)系，若設(shè)AF＝a，則可得正方形邊長(zhǎng)為4a，AE＝BE＝2a，DF＝3a，由直角三角形和這些邊的關(guān)系，我們很容易想到勾股定理和其逆定理來(lái)證明兩條直線互相垂直。

    證明：連結(jié)FC，設(shè)AF＝a，則正方形邊長(zhǎng)為4a，    AE＝BE＝2a，DF＝3a

    由勾股定理得：    在Rt△AEF中，   

 

    在Rt△BCE中，        

    在Rt△CDF中，    

        

           

    由勾股定理的逆定理知△EFC為直角三角形

    且CF為斜邊               ∴EF⊥EC

（三）截長(zhǎng)補(bǔ)短法：

  例5. 如圖甲，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求證：AB＝AC＋CD

                

    分析：此題是證兩條線段的和等于第三邊，這類型的題我們通常采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法，①截長(zhǎng)法即為在這三條最長(zhǎng)的線段截取一段使它等于較短線段中的一條，然后證明剩下的一段等于另一條較短的線段。②補(bǔ)短法即為在較短的一條線段上延長(zhǎng)一段，使它們等于最長(zhǎng)的線段，然后證明延長(zhǎng)的這一線段等于另一條較短的線段。

    證明一：截長(zhǎng)法：

    如圖乙，在AB上截取AE＝AC，連結(jié)DE

    在△ADE和△ADC中   

         ∴△ADE≌△ADC（SAS）         ∴DE＝DC，∠AED＝∠C

    ∵∠C＝∠AED＝∠B＋∠BDE＝2∠B

    ∴∠EBD＝∠EDB                ∴BE＝DE                    ∴BE＝DC

    ∴AB＝AE＋EB＝AC＋DC

    即AB＝AC＋DC

    證明二：補(bǔ)短法

    如圖丙，延長(zhǎng)AC至E，使AE＝AB，連結(jié)DE

    在△ABD和△AED中 

             ∴△ABD≌△AED         ∴∠B＝∠E

    ∵∠ACB＝2∠B＝∠E＋∠EDC

                   ＝∠B＋∠EDC                ∴∠E＝∠EDC        ∴CD＝CE

    ∴AB＝AE＝AC＋CE＝AC＋CD                 即AB＝AC＋CD