美國老師怎樣教數(shù)學(xué)

　　中國孩子在美國中小學(xué)“玩算術(shù)”是出了名的。
    我兒子礦礦在同班的美國小朋友只會掰手指算簡單加減法時，已會多位數(shù)乘除法。老師問：4＋3＝？大家還沒反應(yīng)，他答：4＋3＝21÷3。全班都傻了眼，就他得意洋洋。美國孩子和家長見到礦礦都豎拇指贊嘆“聰明！”我們當然自以為是。在我眼里，美國小學(xué)數(shù)學(xué)太淺，整個一個“磨洋工”。一年級時，我借來六年級的數(shù)學(xué)課本，礦礦一樣應(yīng)付自如。

　　第一學(xué)期結(jié)束后，我們向?qū)W校提出，能否讓礦礦插班到三年級上數(shù)學(xué)？我心里想，只要求上三年級，已經(jīng)很謙虛了。誰知，在我們很“謙虛”地提出讓礦礦每星期跳級到三年級去上一節(jié)數(shù)學(xué)課時，美國學(xué)校竟然不同意，并指出：礦礦擅長的是中國學(xué)校教的“算術(shù)”技巧，美國學(xué)校教的則是“數(shù)學(xué)”……

　　讀了那封礦礦的老師代表校長和學(xué)區(qū)（相當于國內(nèi)的教育局）寫的信，我們非常不服氣，不屑地扔到一邊。直到后來對美國教育有更多了解時，我才重新冷靜地閱讀了這封信（節(jié)錄）：

　　關(guān)于礦礦的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問題，我已和校長羅伯特博士說過了。她也跟學(xué)區(qū)主管教學(xué)和課程的助理督導(dǎo)邁克·威廉斯博士談了……

　　附上一年級數(shù)學(xué)課15個單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容和教學(xué)目標……我們更強調(diào)的是孩子對那些隱藏在數(shù)學(xué)后面的概念的理解，從而在口頭上和書寫中能夠運用他們所學(xué)的東西進行交流，而不是對算術(shù)的死記硬背。我們的目標是培養(yǎng)孩子成為解決問題的能手，學(xué)會思考，讓孩子把自信建立在自己的能力之上，從而去珍視數(shù)學(xué)。我們的課程是讓孩子積極參與到學(xué)習(xí)中，通過循序漸進、適當?shù)慕虒W(xué)活動去學(xué)習(xí)具體的操作計算。礦礦在中國學(xué)校學(xué)到的一些算術(shù)技巧，例如乘法和除法，對美國一年級小學(xué)生來說，不是循序漸進的適當?shù)幕顒?。我們運用的是絕對具有乘除法功能的組合法教學(xué)，從而使孩子在記住計算的數(shù)字之前已能理解乘除法的實際意義。

　　礦礦當然是一個具有計算技巧的優(yōu)秀學(xué)生。然而，算術(shù)僅僅是整個數(shù)學(xué)課程中的一個部分。我們在數(shù)學(xué)課里，會運用許多教學(xué)活動來挑戰(zhàn)礦礦的思維，從而也對他本身形成一種挑戰(zhàn)。

　　我們覺得，派一個邁阿密大學(xué)的在校生一對一地幫礦礦，將比到三年級上數(shù)學(xué)更適當。如果你們想借三年級的數(shù)學(xué)教材在家里使用，我將樂意作出安排……

　　重讀此信，我多了一份思考：這封信非常講究遣詞造句。比如，在講到礦礦及中國學(xué)校時，她始終用“算術(shù)”這個概念，而說到美國學(xué)校時，她都說“數(shù)學(xué)”。所謂“算術(shù)”，計“算”之技“術(shù)”也，似屬雕蟲小技。數(shù)學(xué)，是關(guān)于“數(shù)”的學(xué)問，是研究符號和數(shù)字之間的關(guān)系，以及如何用這些符號和數(shù)字來解釋世間與之有關(guān)的現(xiàn)象。因此，數(shù)學(xué)是學(xué)術(shù)中的極品。

　　到底美國小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)是“磨洋工”，抑或是我們把數(shù)學(xué)這門大學(xué)問當成了計算的技巧？我在潛心研究美國教育時，終于有了一些感悟。比如關(guān)于《雞兔同籠》的計算：

　　籠里有5個頭和14只腳，一共幾只兔幾只雞？在許多人眼里，這完全是一個計算問題。設(shè)兔為X，雞為Y，x+y=5；4(x)+2(y)=14。

　　到底我們該把它看作算術(shù)教學(xué)，還是數(shù)學(xué)教學(xué)？讓我們來看美國的數(shù)學(xué)教育是怎樣處理類似問題的：

　　某個住在湖邊的老人養(yǎng)有狗和鴨子。某天，老人看到5個頭和14只腳。老人看到的是多少條狗？多少只鴨？

　　老師：能不能找到解決問題的方法？

　　學(xué)生們紛紛要求回答問題。

　　學(xué)生A：要找到答案并不難，只要兩個公式：一個解決腳的問題，另一個解決頭的問題……

　　老師制止學(xué)生A繼續(xù)往下講，說道：“很好！誰來設(shè)計這兩個公式？”

　　學(xué)生B：設(shè)狗為X，設(shè)鴨為Y；4(x)+2(y)=14。

　　學(xué)生C寫道：x+y=5。

　　老師：這兩個公式對不對？

　　學(xué)生七嘴八舌：“對啦！”

　　老師：現(xiàn)在我們不要去計算答案。我們按照這兩個公式來推理，看看答案是否合理……

　　大家你望我，我望你。不讓計算，卻去猜答案。老師葫蘆里賣的什么藥？

　　老師：犯愁了？不錯！我們現(xiàn)在不打算去計算準確的答案，我們只是去猜測大致的答案。

　　學(xué)生仍然丈二和尚摸不著頭腦……

　　老師：既然你們不回答，那我就來問你們，5條狗和4只鴨，對不對？

　　學(xué)生哄然：不對！5條狗和4只鴨，一共是9個頭，老人只看到5個頭。

　　老師：那么，誰能告訴我，狗腳和鴨腳的數(shù)目？

　　學(xué)生們又是你望我，我望你，不知所措……

　　老師：如果我告訴你們，狗不少于4條。你們認為怎么樣？

　　學(xué)生B：不對，請看看我設(shè)計的公式：腳的總數(shù)是14，而4條狗就有16條腿。除非老人喝醉了，把自己的腳也數(shù)進去了！

　　哄堂大笑！

　　老師：非常好！那能不能是3條狗呢？

　　學(xué)生們陷入思考……

　　學(xué)生C：那也不對！

　　老師很感興趣地問：“為什么？”

　　學(xué)生C：除非有1只鴨子，少了兩條腿。您看我設(shè)計的公式，總共有5個頭。3條狗有12只腳。要符合5個頭，14只腳的條件，就只剩兩個鴨頭，兩只鴨腳。因此，除非有1只鴨沒有腳……

　　又是一陣哄堂大笑！

　　老師：好吧，讓我們假設(shè)所有的狗和鴨子都是進化完整的，沒有缺胳膊少腿的。那么，該有多少只鴨子呢？

　　學(xué)生再沒有像前面那樣沉默，而是議論紛紛。

　　學(xué)生D：不管怎么說，前提是不能超過5個頭，14只腳。

　　老師：如果狗少于3只，我們能在鴨子的數(shù)量上做什么文章呢？

　　學(xué)生E：這就是說，鴨子必須是3只以上。因為，頭的總數(shù)是5個，狗少于3只，鴨子沒有3只以上湊不夠5只。

　　老師：有道理。狗只能少于3只，鴨不能少于3只。那么，我們應(yīng)該尋找的下一個線索是什么呢？

　　學(xué)生思索……

　　老師：如果是3只鴨子，鴨腳應(yīng)該是……

　　學(xué)生們：6只鴨腳。

　　老師：對！如果是3只鴨子，6只鴨腳，狗的數(shù)目又該怎么算呢？

　　學(xué)生A：如果狗腳不能多于12只，這就是說，狗不能多于3條，鴨子至少得有3只才能湊夠5個頭。3只鴨，鴨腳就是6只。于是，狗只能是2條，狗腳……

　　老師高興地大笑：“好！不要往下說了。請大家用公式計算吧?！?BR>
　　到了這一步，再用公式計算，簡直是吃豆腐：狗是2條，鴨是3只。

　　學(xué)生B有些不太高興：“老師，看到您那么高興，我倒有些費解了。這2條狗、3只鴨的答案，我們推理來推理去，花了快一節(jié)課的時間。其實，一開始就讓我們拿公式來算，早就該做完了……”

　　老師微笑著點頭：“你提出了一個非常好的問題，甚至超過了‘2條狗，3只鴨’的答案。請大家想一想，為什么我們沒有一開始就用公式來計算，而是花了一節(jié)課的時間來走完整個推理的過程？”

　　學(xué)生E：我們浪費了不少時間去推論那些不正確的答案。

　　學(xué)生C：我不同意“浪費”的說法。有時候，你不能證實一個答案是錯的，你就不能證實另一個答案是對的。

　　學(xué)生F：但是，值不值得花那么多時間？

　　學(xué)生們七嘴八舌……

　　老師會心地笑了：“謝謝大家！數(shù)學(xué)課不是算術(shù)，更不是用一個似懂非懂的公式去計算一個只有公式才能告訴你的答案。公式告訴你做什么？怎么做？我們充其量像個計算器。要真正理解：為什么這么做是對的？為什么那么做是不對的？問題就不那么簡單了。就像知道點擊電腦的什么鍵，電腦會怎么反應(yīng)一樣，那是電腦操作員的工作。只有理解：為什么點擊電腦的這里會產(chǎn)生這個結(jié)果？為什么點擊那里會產(chǎn)生那個結(jié)果？那才能成為電腦程序員。我們要的是通過演繹推理和歸納推理來證實和證偽某些答案，以及在這個過程中所培養(yǎng)和鍛煉的推理能力?！?BR>
　　數(shù)學(xué)的實質(zhì)是一種思維方式

　　其實，美國的數(shù)學(xué)教學(xué)是在企圖回答學(xué)數(shù)學(xué)的目的問題：數(shù)學(xué)不僅僅是計算和應(yīng)用公式。數(shù)學(xué)的實質(zhì)是一種思維方式，是演繹推理和歸納推理的邏輯思維方式。對許多美國人來說，學(xué)數(shù)學(xué)并不一定是目的，而是通過學(xué)數(shù)學(xué)來培養(yǎng)自己的能力。同時，通過學(xué)數(shù)學(xué)來理解世界、理解世間與之有關(guān)的各種現(xiàn)象。

　　許多美國人相信，學(xué)數(shù)學(xué)的目的是掌握一種思維方式，是一種解釋世間許多現(xiàn)象的工具，是訓(xùn)練思維能力的手段。

　　我到過國內(nèi)不少地方聽數(shù)學(xué)課，情況卻剛好相反。老師總是“趕集”式地、急急忙忙地直奔最簡單的方式和答案。有一次，我到某重點小學(xué)去聽數(shù)學(xué)課，老師踩著步點趕時間，課上得似乎挺活，但只給答對問題的學(xué)生一顆糖，答不對的，不給糖。沒得到糖的孩子，心思都在別人的糖上。更要命的是，老師也不解釋為什么不對。

　　課后，我問老師，為什么不向?qū)W生解釋錯的原因？這位年輕的老師很不好意思，但又頗有些理直氣壯地說：“根據(jù)教學(xué)大綱的進度，時間不夠?！蔽医ㄗh道：能不能在課后，由知道的同學(xué)給不知道的同學(xué)解釋為什么錯。后來，她給我來電話，說是我的建議收到了很好的效果。

　　我發(fā)現(xiàn)，國內(nèi)的一些老師總是爭分奪秒地“趕”教學(xué)內(nèi)容，像上了發(fā)條似地踩著步點上課，“好”的老師可以按照設(shè)計好的教案在剛講完課、對學(xué)生說“下課”時，鈴聲正好響起。已經(jīng)有好幾個美國老師跟我說到這種讓他們嘆為觀止的現(xiàn)象：“怎么上課可以像發(fā)射宇宙飛船一樣精確？好像遙控一樣?！逼鋵?，“以老師為中心”和“以內(nèi)容為中心”的教學(xué)，是完全可以做到的。該講的內(nèi)容講完了，至于結(jié)果怎么樣就無法顧及了。正像美國老師無法理解中國老師可以踩點下課一樣，中國老師在聽了我介紹美國的教學(xué)以后，也搖著頭說：“好是好啦，可是他們怎么能完成教學(xué)內(nèi)容呢？”

　　然而，只講已知的正確的東西，忽略讓學(xué)生去證實或證偽自己的假設(shè)，就是忽略了學(xué)生的懷疑精神的培養(yǎng)。鼓勵學(xué)生去證實或證偽某個假設(shè)，強調(diào)的是自我教育。上面那位美國老師，通過證實和證偽的過程培養(yǎng)學(xué)生演繹推理和歸納推理的能力，可謂用心良苦！

　　“聰明”的孩子與“智慧”的學(xué)生

　　為什么年齡越小時，中國孩子領(lǐng)先美國孩子越多，隨著年齡的增長這種差距卻越來越小，到高中以后，中國孩子與優(yōu)秀的美國孩子就基本沒有差距了？

　　經(jīng)過多年的觀察與研究，我發(fā)現(xiàn)，中國教育培養(yǎng)的是聰明的孩子，美國教育培養(yǎng)的是智慧的學(xué)生。聰明的孩子和智慧的孩子有什么本質(zhì)的區(qū)別？

　　我們以“西安事變”的教學(xué)為例子，可清晰地看出兩者的巨大差別：

　　中國的大多數(shù)學(xué)校，老師講完史實后，要求學(xué)生記時間、地點、人物、事件等，以“學(xué)會”為目的，滿足于考試結(jié)果。

　　美國的教育則是八仙過海：比如，可能什么都不教，讓孩子們分成幾組，分別制做一份當時各黨各派報紙，或者只給幾個辯論題，讓孩子組成正反方進行辯論。即便是常規(guī)教學(xué)，老師也會啟發(fā)孩子的發(fā)散性思維：如果蔣不妥協(xié)？如果張、楊不和共產(chǎn)黨合作？如果張、楊把蔣處死？如果蔣逃出西安……甚至讓學(xué)生自己設(shè)想發(fā)散性的問題。無論哪種方式，學(xué)生都在收集材料、研究材料、組織觀點的過程中，培養(yǎng)了“會學(xué)”的能力。

　　美國學(xué)者賈尼絲·薩博把培養(yǎng)“聰明的孩子”還是培養(yǎng)“智慧的學(xué)生”概括為兩種教育：

　　  聰明的孩子　　智慧的學(xué)生

　　1.能夠知道答案　1.能夠提出問題

　　2.帶著興趣去聽　2.表達有力的觀點

　　3.能理解他人的意思3.能抽象概括

　　4.能抓住要領(lǐng)　4.能演繹推理

　　5.完成作業(yè)　　5.尋找課題

　　6.樂于接受　　6.長于出擊

　　7.吸收知識　　7.運用知識

　　8.善于操作　　8.善于發(fā)明

　　9.長于記憶　　9.長于猜想

　　10.喜歡自己學(xué)習(xí)　　10.善于反思

　　從很多教學(xué)的比較看，中國教育培養(yǎng)的學(xué)生包攬了“聰明的孩子”的所有特點；美國教育培養(yǎng)的學(xué)生囊括了“智慧的學(xué)生”的所有表現(xiàn)。