“無窮”是一個非常神奇的東西。一旦考慮到了無窮，就會出現(xiàn)各種不可思議的事情。這里，我們?yōu)榇蠹沂占砹宋鍌€最有趣的無窮悖論，大家來體驗一次前所未有的“頭腦風暴”吧。
希爾伯特旅館悖論（Hilbert's paradox of Grand Hotel）
希爾伯特旅館有無限個房間，并且每個房間都住了客人。一天來了一個新客人，旅館老板說：“雖然我們已經(jīng)客滿，但你還是能住進來的。我讓 1 號房間的客人搬到 2 號房間，2 號房間搬到 3 號房間??n 號房間搬到 n+1 號房間，你就可以住進 1 號房間了。”又一天，來了無限個客人，老板又說：“不用擔心，大家仍然都能住進來。我讓 1 號房間的客人搬到 2 號房間，2 號搬到 4 號，3 號搬到 6 號??n 號搬到 2n 號，然后你們排好隊，依次住進奇數(shù)號的房間吧。”
這就是德國大數(shù)學家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）提出的著名悖論。每個學過集合論的學生，都應(yīng)該“拜訪”過這個奇妙的希爾伯特旅館。雖然人們把它叫做一個“悖論”，它在邏輯上卻是完全正確的，只不過大大出乎我們的意料罷了。一扯上無限，有趣的事說也說不完。意大利數(shù)學家伽利略（Galileo Galilei）在他的最后一本科學著作《兩種新科學》（Two New Science）中提到一個問題：正整數(shù)集合 {1, 2, 3, 4, ??} 和平方數(shù)集合 {1, 4, 9, 16, ??} 哪個大呢？一方面，正整數(shù)集合里包含了所有的平方數(shù)，前者顯然比后者大；可另一方面，每個正整數(shù)平方之后都唯一地對應(yīng)了一個平方數(shù)，兩個集合大小應(yīng)該相等才對。伽利略比較早地使用了一一對應(yīng)的思想，可惜沒有沿著這個思路更進一步思考下去。最后他得出的結(jié)論就是，無限集是無法比較大小的。說到這里，我們不得不提到德國另一位偉大的數(shù)學家喬治·康托（George Cantor），他建立了集合論（set theory），并系統(tǒng)地研究了集合（尤其是無窮集合）的大小，只不過這個大小不是簡單地叫做“大小”了，而是叫勢（cardinality）。如果兩個集合間的元素能建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，我們就說它們等勢，這也是我們比較集合大小的方式。希爾伯特悖論形象地說明了正整數(shù)集合和正偶數(shù)集合是等勢的。一切和自然數(shù)集合等勢的集合都稱為“可數(shù)集合”（countable set），否則就叫做“不可數(shù)集合”（uncountable set）。
托里拆利小號（Torricelli‘s Horn）
 
又到幾何悖論時間了。上面這個小號狀的圖形有什么特點？
意大利數(shù)學家托里拆利（Evangelista Torricelli）將 y=1/x 中 x≥1 的部分繞著 x 軸旋轉(zhuǎn)了一圈，得到了上面的小號狀圖形（注意，上圖只顯示了這個圖形的一部分）。然后他算出了這個小號的一個十分牛 B 的性質(zhì)——它的表面積無窮大，可它的體積卻是 π。這明顯有悖于人的直覺：體積有限的物體，表面積卻可以是無限的！換句話說，填滿整個托里拆利小號只需要有限的油漆，但把托里拆利小號的表面刷一遍，卻需要無限多的油漆！
類似的二維幾何悖論中，最著名的要屬“科赫雪花”（Koch Snowflake）了?？坪昭┗ㄊ且环N經(jīng)過無窮多次迭代生成的分形圖形，下圖就是前三次迭代的過程，迭代過程的極限便是科赫雪花了。它也有一個類似的性質(zhì)：它的面積有限，周長卻是無限的。用無限的周長包圍了一塊有限的面積，真是另類的“無中生有”??！
 
芝諾悖論（Zeno's paradoxes）
芝諾悖論是由古希臘哲學家芝諾（Zeno）提出的一組悖論。其中的幾個悖論還可以在亞里士多德（Aristotle）的《物理學》（Physics）一書中找到。最有名的是以下兩個。
阿基里斯與烏龜?shù)你Ｕ摚ˋchilles and the tortoise Paradox）：在跑步比賽中，如果跑得最慢的烏龜一開始領(lǐng)先跑得最快的希臘勇士阿基里斯，那么烏龜永遠也不會被阿基里斯追上。因為要想追到烏龜，阿基里斯必須先到達烏龜現(xiàn)在的位置；而等阿基里斯到了這個位置之后烏龜已經(jīng)又前進了一段距離。如此下去，阿基里斯永遠追不上烏龜。
二分法悖論（Dichotomy Paradox）：運動是不可能的。你要到達終點，必須首先到達全程的 1/2 處；而要到達 1/2 處，必須要先到 1/4 處??每當你想到達一個點，總有一個中點需要先到，因此你是永遠也到不了終點的。其實，你根本連動都動不了，運動是不可能的。
羅素（Bertrand Russell）曾經(jīng)說過，這組悖論“為從他那時起到現(xiàn)在所創(chuàng)立的幾乎所有關(guān)于時間、空間以及無限的理論提供了土壤”。阿爾弗雷德·諾斯·懷特海德（Alfred North Whitehead）這樣形容芝諾：“知道芝諾的人沒有一個不想去否定他的，所有人都認為這么做是值得的”，可見爭議之大。無數(shù)熱愛思考的人也被這些悖論吸引，試圖給這些出人意料的結(jié)論以合理的解釋。
當古希臘哲學家第歐根尼（Diogenes）聽到芝諾的“運動是不可能的”這個命題時，他開始四處走動，以證明芝諾的荒謬，可他并沒有指出命題的證明錯在哪里。
亞里士多德對阿基里斯悖論的解釋是：當追趕者與被追者之間的距離越來越小時，追趕所需的時間也越來越小。他說，無限個越來越小的數(shù)加起來的和是有限的，所以可以在有限的時間追上。不過他的解釋并不嚴格，因為我們很容易舉出反例：調(diào)和級數(shù) 1+1/2+1/3+1/4+…… 的每一項都遞減，可是它的和卻是發(fā)散的。
阿基米德（Archimedes）發(fā)明了一種類似于幾何級數(shù)求和的方法，而問題中所需的時間是成倍遞減的，正是一個典型的幾何級數(shù)，所以追上的總時間是一個有限值。這個悖論才總算是得到了一個過得去的解釋。直到 19 世紀末，數(shù)學家們才為無限過程的問題給出了一個形式化的描述。
盡管我們可以用數(shù)學方法算出阿基里斯在哪里以及什么時候追上烏龜，但一些哲學家認為，這些證明依然沒有解決悖論提出的問題。出人意料的是，芝諾悖論在作家之中非常受歡迎，列夫·托爾斯泰在《戰(zhàn)爭與和平》中就談到了阿基里斯和烏龜?shù)墓适?，路易?#183;卡羅爾（Lewis Carroll）寫了一篇阿基里斯和烏龜之間的對話，阿根廷作家豪爾赫·路易斯·博爾赫斯（Jorge Luis Borges）也多次在他的作品中談到阿基里斯悖論。
球與花瓶（Balls and Vase Problem）
我們有無限個球和一個花瓶，現(xiàn)在我們要對它們進行一系列操作。每次操作都是一樣的：往花瓶里放 10 個球，然后取出 1 個球。那么，無窮多次這樣的操作之后，花瓶里有多少個球呢？
有人或許會說，這個問題顯然是荒謬的——這個過程需要耗費無窮的時間，我們不可能等到那個時候。那么，我們不妨換一個問法，避開所需時間無窮的問題：在差一分鐘到正午 12 點時進行第 1 次操作，在差 30 秒（1/2 分鐘）到正午 12 點時進行第 2 次操作，在差 1/2 n-1 分鐘到 12 點時進行第 n 次操作。那么，12 點的時候，花瓶里有幾個球呢？
看似簡單的描述，經(jīng)過數(shù)學家的解釋，卻出現(xiàn)了千奇百怪的答案。最直觀的答案當然就是花瓶里有無限個球了，因為每次都增加了 9 個球，無限次之后，當然有無限個球。數(shù)學家 Allis 和 Koetsier 卻不這么認為。他們認為，12 點時瓶子里沒有球，因為我們第 1 次放進 1 至 10 號球，然后取出 1 號球，第 2 次放入 11 至 20 號球，然后取出 2 號球??注意到，n 號球總是在第 n 次操作時被取出來了，因此無限操作下去，每個球都會被取出來！細心的讀者會發(fā)現(xiàn)，這個說法也有問題：前面的證明假設(shè)我們?nèi)〕龅囊来问?1 號球、2 號球、3 號球等等，如果我們改成依次取 10 號球、20 號球、30 號球，那么最后瓶子里又出現(xiàn)了無限個球了。哪種觀點是正確的呢？于是邏輯學家詹姆斯·亨勒（James M. Henle）和托馬斯·泰馬祖科（Thomas Tymoczko）認為，花瓶里有任意個球。他們還給出了具體的構(gòu)造方法，說明最終花瓶里的球可以是任意數(shù)目。
1953 年，這個悖論由英國數(shù)學家利特爾伍德（John Edensor Littlewood）在他的書《一個數(shù)學家的集錦》（A Mathematician‘s miscellany）中首先提出，1976 年謝爾登·羅斯（Sheldon Ross）在他的《概率論第一課》（A First Course in Probability）又一次介紹了這個問題，所以它又被稱為“羅斯·利特爾伍德悖論”（Ross-Littlewood Paradox）。
無限長的桿（Infinite Rod）
有一張無限大的桌子，上面豎直地插著一根有限長的支柱。然后取一根無窮長的金屬桿，把它的一頭鉸接在支柱頂端，另一頭則伸向無窮遠處。金屬桿可以繞著支柱頂端自由地上下轉(zhuǎn)動。假設(shè)金屬桿和桌子都是無比堅硬的剛體。你會發(fā)現(xiàn)，這根無限長的金屬桿根本不會往下轉(zhuǎn)動！因為金屬桿和桌子都很堅硬，如果它們相交，必然會損壞一個，所以唯一的辦法就是金屬桿與桌面平行。那么我們看到的現(xiàn)象就是一根無限長的金屬桿，在空中僅僅靠一個點就保持水平！
這個有趣的問題是由數(shù)學家雷蒙德·斯穆里安（Raymond Smullyan）在一本慶祝馬丁·加德納 90 歲生日的書中介紹的。另外，如果我們把鉸接的點移到金屬桿的中部，那么金屬桿就動彈不得，穩(wěn)穩(wěn)地和桌面平行了！