中考復習之二次函數(shù)（一）

知識考點：

掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及拋物線的平移規(guī)律；會確定拋物線的頂點坐標、對稱軸及最值等。

精典例題：

【例1】二次函數(shù)的圖像如圖所示，那么、、、這四個代數(shù)式中，值為正的有（    ）

A、4個    B、3個    C、2個    D、1個

解析：∵＜1

      ∴＞0

答案：A

評注：由拋物線開口方向判定的符號，由對稱軸的位置判定的符號，由拋物線與軸交點位置判定的符號。由拋物線與軸的交點個數(shù)判定的符號，若軸標出了1和－1，則結合函數(shù)值可判定、、的符號。

【例2】已知，≠0，把拋物線向下平移1個單位，再向左平移5個單位所得到的新拋物線的頂點是（－2，0），求原拋物線的解析式。

分析：①由可知：原拋物線的圖像經(jīng)過點（1，0）；②新拋物線向右平移5個單位，再向上平移1個單位即得原拋物線。

解：可設新拋物線的解析式為，則原拋物線的解析式為，又易知原拋物線過點（1，0）

∴，解得

∴原拋物線的解析式為：

評注：解這類題的關鍵是深刻理解平移前后兩拋物線間的關系，以及所對應的解析式間的聯(lián)系，并注意逆向思維的應用。

另外，還可關注拋物線的頂點發(fā)生了怎樣的移動，常見的幾種變動方式有：①開口反向（或旋轉(zhuǎn)1800），此時頂點坐標不變，只是反號；②兩拋物線關于軸對稱，此時頂點關于軸對稱，反號；③兩拋物線關于軸對稱，此時頂點關于軸對稱；

探索與創(chuàng)新：

【問題】已知，拋物線（、是常數(shù)且不等于零）的頂點是A，如圖所示，拋物線的頂點是B。

（1）判斷點A是否在拋物線上，為什么？

（2）如果拋物線經(jīng)過點B，①求的值；②這條拋物線與軸的兩個交點和它的頂點A能否構成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，請說明理由。

解析：（1）拋物線的頂點A（，），而當時，＝，所以點A在拋物線上。

（2）①頂點B（1，0），，∵，∴；②設拋物線與軸的另一交點為C，∴B（1，0），C（，0），由拋物線的對稱性可知，△ABC為等腰直角三角形，過A作AD⊥軸于D，則AD＝BD。當點C在點B的左邊時，，解得或（舍）；當點C在點B的右邊時，，解得或（舍）。故。

評注：若拋物線的頂點與軸兩交點構成的三角形是直角三角形時，它必是等腰直角三角形，常用其“斜邊上的中線（高）等于斜邊的一半”這一關系求解有關問題。

跟蹤訓練：

一、選擇題：

1、二次函數(shù)的圖像如圖所示，OA＝OC，則下列結論：

  ①＜0；

②；

③；

④；

⑤；

⑥。其中正確的有（    ）

  A、2個            B、3個              C、4個          D、5個 

2、二次函數(shù)的圖像向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到函數(shù)圖像的解析式為，則與分別等于（    ）

    A、6、4           B、－8、14 

C、4、6           D、－8、－14

3、如圖，已知△ABC中，BC＝8，BC邊上的高，D為BC上一點，EF∥BC交AB于E，交AC于F（EF不過A、B），設E到BC的距離為，△DEF的面積為，那么關于的函數(shù)圖像大致是（    ）

         A                B                  C                D

4、若拋物線與四條直線，，，圍成的正方形有公共點，則的取值范圍是（    ）

    A、≤≤1        B、≤≤2      C、≤≤1      D、≤≤2

5、如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)的大致圖像是（    ）

          A                  B               C                D

二、填空題：

1、若拋物線的最低點在軸上，則的值為        。

2、二次函數(shù)，當時，隨的增大而減??；當時，隨的增大而增大。則當時，的值是          。

3、已知二次函數(shù)的圖像過點（0，3），圖像向左平移2個單位后的對稱軸是軸，向下平移1個單位后與軸只有一個交點，則此二次函數(shù)的解析式為                。

4、已知拋物線的對稱軸是，且它的最高點在直線上，則它的頂點為          ，＝          。

三、解答題：

1、已知函數(shù)的圖像過點（－1，15），設其圖像與軸交于點A、B，點C在圖像上，且，求點C的坐標。

2、某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程。下面的二次函數(shù)圖象（部分）刻畫了該公司年初以來累積利潤S（萬元）與銷售時間（月）之間的關系（即前個月的利潤總和S與之間的關系）。根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題： 

（1）由已知圖象上的三點坐標，求累積利潤S（萬元）與時間（月）之間的函數(shù)關系式；

（2）求截止到幾月末公司累積利潤可達到30萬元；

（3）求第8個月公司所獲利潤是多少萬元？

3、拋物線，和直線（＞0）分別交于A、B兩點，已知∠AOB＝900。

（1）求過原點O，把△AOB面積兩等分的直線解析式；

（2）為使直線與線段AB相交，那么值應是怎樣的范圍才適合？

4、如圖，拋物線與軸的一個交點為A（－1，0）。

（1）求拋物線與軸的另一個交點B的坐標；

（2）D是拋物線與軸的交點，C是拋物線上的一點，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式；

（3）E是第二象限內(nèi)到軸、軸的距離的比為5∶2的點，如果點E在（2）中的拋物線上，且它與點A在此拋物線對稱軸的同側(cè)。問：在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△APE的周長最??？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

參考答案

一、選擇題：BCDDC

二、填空題：

1、2；2、－7；3、；4、（2，2），；

三、解答題：

1、C（，1）或（，1）、（3，－1）

2、（1）；（2）10月；（3）5.5萬元

3、（1）；（2）－3≤≤0

4、（1）B（－3，0）；（2）或；

  （3）在拋物線的對稱軸上存在點P（－2，），使△APE的周長最小。