|
二次函數(shù)（quadratic function）是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)。二次函數(shù)可以表示為f(x)=ax^2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。 定義與定義表達式 一般的，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： 一般式 y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，頂點坐標為(-b/2a，(4ac-b^2/4a) ；
頂點式 y=a(x+h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù))或y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù))，頂點坐標為（-h，k）或（h,k）對稱軸為x=-h或x=h，頂點的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)ｙ＝ax²的圖像相同，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式；
交點式 y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸即y=0有交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線] ；
由一般式變?yōu)榻稽c式的步驟：
∵x1+x2=-b/a x1x2=c/a
∴y=ax^2+bx+c=a(x^2+b/ax+c/a) =a[﹙x^2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)
重要概念：a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向。a>0時，開口方向向上；a<0時，開口方向向下。a的絕對值可以決定開口大小。a的絕對值越大開口就越小,a的絕對值越小開口就越大。
牛頓插值公式（已知三點求函數(shù)解析式） y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引導(dǎo)出交點式的系數(shù)a=y1/(x1*x2) (y1為截距)
二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。
求根公式 x是自變量，y是x的二次函數(shù)
x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a
(即一元二次方程求根公式）（如右圖）
求根的方法還有因式分解法和配方法
二次函數(shù)與X軸交點的情況
當△b²-4ac>0時, 函數(shù)圖像與x軸有兩個交點。
當△b²-4ac=0時,函數(shù)圖像與x軸有一個交點。
當△b²-4ac<0時,函數(shù)圖像與x軸沒有交點。
編輯本段如何學(xué)習(xí)二次函數(shù) 1。要理解函數(shù)的意義。
2。要記住函數(shù)的幾個表達形式，注意區(qū)分。
3。一般式,頂點式,交點式，等，區(qū)分對稱軸，頂點，圖像等的差異性。
4。聯(lián)系實際對函數(shù)圖像的理解。
5。計算時，看圖像時切記取值范圍。
編輯本段二次函數(shù)的圖像 在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=a(x-h)^2+k的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。 如果所畫圖形準確無誤，那么二次函數(shù)圖像將是由一般式平移得到的。
注意：草圖要有 1本身圖像，旁邊注明函數(shù)。
2畫出對稱軸，并注明直線X=什么
3與X軸交點坐標，與Y軸交點坐標，頂點坐標。拋物線的性質(zhì)
軸對稱 1.二次函數(shù)圖像是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = h
對稱軸與二次函數(shù)圖像唯一的交點為二次函數(shù)圖像的頂點P。
特別地，當h=0時，二次函數(shù)圖像的對稱軸是y軸（即直線x=0）
頂點 2.二次函數(shù)圖像有一個頂點P，坐標為P ( h,x )
當h=0時，P在y軸上；當k=0時，P在x軸上。
開口 3.二次項系數(shù)a決定二次函數(shù)圖像的開口方向和大小。
當a＞0時，二次函數(shù)圖像向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則二次函數(shù)圖像的開口越小。
決定對稱軸位置的因素 4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 因為對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號
當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要異號
可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時
?。碼b＜ 0 ），對稱軸在y軸右。
事實上，b有其自身的幾何意義：二次函數(shù)圖像與y軸的交點處的該二次函數(shù)圖像切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的
斜率k的值?？赏ㄟ^對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。
決定二次函數(shù)圖像與y軸交點的因素 5.常數(shù)項c決定二次函數(shù)圖像與y軸交點。
二次函數(shù)圖像與y軸交于（0,k）
二次函數(shù)圖像與x軸交點個數(shù) 6.二次函數(shù)圖像與x軸交點個數(shù)
a<0;k>0或a>0;k<0時，二次函數(shù)圖像與x軸有2個交點。
k=0時，二次函數(shù)圖像與x軸有1個交點。
a<0;k<0或a>0,k>0時，二次函數(shù)圖像與X軸無交點
_______
當a>0時，函數(shù)在x=h處取得最小值ymix=k，在x<h范圍內(nèi)是減函數(shù)，在
x>h范圍內(nèi)是增函數(shù)（即y隨x的變大而變?。?，二次函數(shù)圖像的開口向
上，函數(shù)的值域是y>k
當a>0時，函數(shù)在x=h處取得最大值ymax=k，在x>h范圍內(nèi)事增函數(shù)，在
x<h范圍內(nèi)是減函數(shù)（即y隨x的變大而變大），二次函數(shù)圖像的開口向下
，函數(shù)的值域是y<k
當h=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數(shù)是偶函數(shù)
特殊值的形式 7.特殊值的形式
?、佼攛=１時 y=a+ah^2+2ah+k
?、诋攛=-1時 y=a+ah^2-2ah+k
?、郛攛=2時 y=4a+ah^2+8ah+k
?、墚攛=-2時 y=4a+ah^2-8ah+k
二次函數(shù)的性質(zhì) 8.定義域：R
值域：（對應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷）①[(4ac-b^2)/4a，
正無窮）；②[t，正無窮）
奇偶性：當b=0時為偶函數(shù)，當b≠0時為非奇非偶函數(shù) 。
周期性：無
解析式：
?、賧=ax^2+bx+c[一般式]
?、臿≠0
?、芶＞0，則拋物線開口朝上；a＜0，則拋物線開口朝下；
?、菢O值點：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；
?、?#916;=b^2-4ac,
Δ＞0，圖象與x軸交于兩點：
?。╗-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
Δ＝0，圖象與x軸交于一點：
?。?b/2a，0）；
Δ＜0，圖象與x軸無交點；
②y=a(x-h)^2+k[頂點式]
此時，對應(yīng)極值點為（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；
?、踶=a(x-x1)(x-x2)[交點式（雙根式）]（a≠0）
對稱軸X=(X1+X2)/2 當a>0 且X≧(X1+X2)/2時，Y隨X的增大而增大，當a>0且X≦（X1+X2）/2時Y隨X
的增大而減小
此時，x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連
用）。
交點式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道兩個x軸交點和另一個點坐標設(shè)交點式。兩交點X值就是相應(yīng)X1 X2值。
兩圖像對稱 ?、賧=ax^2+bx+c與y=ax^2-bx+c兩圖像關(guān)于y軸對稱；
?、趛=ax^2+bx+c與y=-ax^2-bx-c兩圖像關(guān)于x軸對稱；
③y=ax^2+bx+c與y=-a(x-h)^2+k關(guān)于頂點對稱；
?、躽=ax^2+bx+c與y=-a(x+h)^2-k關(guān)于原點對稱。
編輯本段二次函數(shù)與一元二次方程 特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2+bx+c，
當y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），
即ax^2+bx+c=0
此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。
函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
1．二次函數(shù)y=ax²;，y=a(x-h)²;，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
解析式 頂點坐標 對 稱 軸
y=ax^2 (0，0) x=0
y=ax^2+K (0，K) x=0
y=a(x-h)^2 (h，0) x=h
y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h
y=ax^2+bx+c (-b/2a，4ac-b²/4a) x=-b/2a
當h>0時，y=a(x-h)^2;的圖象可由拋物線y=ax^2;向右平行移動h個單位得到，
當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到。
當h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2;向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象；
當h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2;向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2-k的圖象；
當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x+h)^2+k的圖象；
當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x+h)^2-k的圖象；在向上或向下。向左或向右平移拋物線時，可以簡記為“上加下減，左加右減”。
因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了。這給畫圖象提供了方便。
2．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2;]/4a)。
3．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減?。划?em>x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大。若a<0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減小。
4．拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；
(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x?-x?| =√△/∣a∣（a絕對值分之根號下△）另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×（-b/2a）－A |（A為其中一點的橫坐標）
當△=0．圖象與x軸只有一個交點；
當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數(shù)時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數(shù)時，都有y<0。
5．拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a。
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值。
6．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)。
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸或極大（小）值時，可設(shè)解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)。
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)。
7．二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現(xiàn)。
編輯本段中考典例 1．( 北京東城區(qū))有一個二次函數(shù)的圖象，三位學(xué)生分別說出了它的一些特點：
甲：對稱軸是直線x=4；
乙：與x軸兩個交點的橫坐標都是整數(shù)；
丙：與y軸交點的縱坐標也是整數(shù)，且以這三個交點為頂點的三角形面積為3．
請你寫出滿足上述全部特點的一個二次函數(shù)解析式：?。?
考點：二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的求法
評析：設(shè)所求解析式為y=a(x-x1)(x-x2)，且設(shè)x1＜x2，則其圖象與x軸兩交點分別是A(x1，0)，B(x2，0)，與y軸交點坐標是(0，ax1x2). 『因為交點式a(x-x1)(x-x2),又因為與y軸交點的橫坐標為0，所以a(0+x1)(0+x2),也就是ax1x2
∵拋物線對稱軸是直線x=4，
∴x2-4=4 - x1即：x1+ x2=8?、?∵S△ABC=3，∴(x2- x1)·|a x1 x2|= 6，
即：x2- x1= ②
?、佗趦墒较嗉訙p，可得：x2=4+，x1=4-
∵x1，x2是整數(shù)，ax1x2也是整數(shù)，∴ax1x2是3的約數(shù)，共可取值為：±1，±3。
當ax1x2=±1時，x2=7，x1=1，a=± 1
當ax1x2=±3時，x2=5，x1=3，a=± 1
因此，所求解析式為：y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3)
即：y=x2-x+1 或y=-x2+x-1 或y=x2-x+3 或y=-x2+x-3
說明：本題中，只要填出一個解析式即可，也可用猜測驗證法。例如：猜測與x軸交點為A(5，0)，B(3，0)。再由題設(shè)條件求出a，看C是否整數(shù)。若是，則猜測得以驗證，填上即可。
2．( 安徽省)心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x(單位：分)之間滿足函數(shù)關(guān)系：y=-0.1x2+2.6x+43(0＜x＜30)。y值越大，表示接受能力越強。
(1)x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步增強？x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步降低？
(2)第10分時，學(xué)生的接受能力是什么？
(3)第幾分時，學(xué)生的接受能力最強？
考點：二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)。
評析：將拋物線y=-0.1x2+2.6x+43變?yōu)轫旤c式為：y=-0.1(x-13)²+59.9，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知開口向下，當x＜13時，y隨x的增大而增大，當x>13時，y隨x的增大而減小。而該函數(shù)自變量的范圍為：0＜x3＜0，所以兩個范圍應(yīng)為0＜x＜13；13＜x＜30。將x=10代入，求函數(shù)值即可。由頂點解析式可知在第13分鐘時接受能力為最強。解題過程如下：
解：(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)²+59.9
所以，當0＜x＜13時，學(xué)生的接受能力逐步增強。
當13＜x＜30時，學(xué)生的接受能力逐步下降。
(2)當x=10時，y=-0.1(10-13)2+59.9=59。
第10分時，學(xué)生的接受能力為59。
(3)x=13時，y取得最大值，
所以，在第13分時，學(xué)生的接受能力最強。
3．( 河北省)某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品．據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克．針對這種水產(chǎn)品的銷售情況，請解答以下問題：
(1)當銷售單價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤；
(2)設(shè)銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出x的取值范圍)；
(3)商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應(yīng)定為多少？
解：(1)當銷售單價定為每千克55元時，月銷售量為：500–(55–50)×10=450(千克)，所以月銷售利潤為
:(55–40)×450=6750(元)．
(2)當銷售單價定為每千克x元時，月銷售量為：[500–(x–50)×10]千克而每千克的銷售利潤是:(x–40)元，所以月銷售利潤為：
y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x^2+1400x–40000(元)，
∴y與x的函數(shù)解析式為：y =–10x^2+1400x–40000．
(3)要使月銷售利潤達到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000，
即：x2–140x+4800=0，
解得：x1=60，x2=80．
當銷售單價定為每千克60元時，月銷售量為：500–(60–50)×10=400(千克)，月銷售成本為：
40×400=16000(元)；
當銷售單價定為每千克80元時，月銷售量為：500–(80–50)×10=200(千克)，月銷售單價成本為：
40×200=8000(元)；
由于8000＜10000＜16000，而月銷售成本不能超過10000元，所以銷售單價應(yīng)定為每千克80元．
5．2006義烏市經(jīng)濟繼續(xù)保持平穩(wěn)較快的增長態(tài)勢，全市實現(xiàn)生產(chǎn)總值Y元，已知全市生產(chǎn)總值＝全市戶籍人口×全市人均生產(chǎn)產(chǎn)值，設(shè)義烏市2006年戶籍人口為x（人），人均生產(chǎn)產(chǎn)值為y（元）．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
?。?）2006年義烏市戶籍人口為706 684人，求2006年義烏市人均生產(chǎn)產(chǎn)值（單位：元，結(jié)果精確到個位）：若按2006年全年美元對人民幣的平均匯率計（1美元＝7.96元人民幣），義烏市2006年人均生產(chǎn)產(chǎn)值是否已跨越6000美元大關(guān)？
6．(北京西城區(qū))拋物線y=x2-2x+1的對稱軸是( ) (A)直線x=1 (B)直線x=-1 (C)直線x=2 (D)直線x=-2 考點：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸． 評析：因為拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸方程是：x=-b/2a，將已知拋物線中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故選項A正確． 另一種方法：可將拋物線配方為y=a(x-h)2+k的形式，對稱軸為x=h，已知拋物線可配方為y=(x-1)2，所以對稱軸x=1，應(yīng)選A．
解析式求法
?、僖话闶剑焊鶕?jù)y=ax2+bx+c將（a,b）（c,d）（m,n）同時帶入y=ax2+bx+c 可得解析式
?、陧旤c式：y=（x-h）2+k , h為頂點橫坐標 k為頂點的縱坐標 將頂點和一個任意坐標帶入頂點式后化簡 可得解析式
?、劢稽c式：y=a(x-x1)(x-x2) -x1 -x2為與x軸的交點橫坐標 將x1 x2帶入交點式 在帶入任意一個坐標 可得交點式 化簡后可得解析式
|
|
|
