最近看到幾個(gè)有趣的數(shù)學(xué)謬證，想寫(xiě)下來(lái)與大家分享；結(jié)果寫(xiě)到這個(gè)又想到那個(gè)，一寫(xiě)就寫(xiě)個(gè)沒(méi)完，于是想到干脆做一篇謬證大全，收集各種荒謬的證明。
    如果你有什么更棒的“證明”，歡迎來(lái)信與我分享，我會(huì)更新到這篇日志中。我的郵箱是 matrix67 at tom.com ，或者 gs.matrix67 at gmail.com 。
1=2？史上最經(jīng)典的“證明”
    設(shè) a = b ，則 a·b = a^2 ，等號(hào)兩邊同時(shí)減去 b^2 就有 a·b - b^2 = a^2 - b^2 。注意，這個(gè)等式的左邊可以提出一個(gè) b ，右邊是一個(gè)平方差，于是有 b·(a - b) = (a + b)(a - b) 。約掉 (a - b) 有 b = a + b 。然而 a = b ，因此 b = b + b ，也即 b = 2b 。約掉 b ，得 1 = 2 。
    這可能是有史以來(lái)最經(jīng)典的謬證了。 Ted Chiang 在他的短篇科幻小說(shuō) Division by Zero 中寫(xiě)到：
There is a well-known “proof” that demonstrates that one equals two. It begins with some definitions: “Let a = 1; let b = 1.” It ends with the conclusion “a = 2a,” that is, one equals two. Hidden inconspicuously in the middle is a division by zero, and at that point the proof has stepped off the brink, making all rules null and void. Permitting division by zero allows one to prove not only that one and two are equal, but that any two numbers at all—real or imaginary, rational or irrational—are equal.
    這個(gè)證明的問(wèn)題所在想必大家都已經(jīng)很清楚了：等號(hào)兩邊是不能同時(shí)除以 a - b 的，因?yàn)槲覀兗僭O(shè)了 a = b ，也就是說(shuō) a - b 是等于 0 的。
無(wú)窮級(jí)數(shù)的力量 (1)
    小學(xué)時(shí)，這個(gè)問(wèn)題困擾了我很久：下面這個(gè)式子等于多少？
      1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …
    一方面，
        1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …
      = [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + …
      = 0 + 0 + 0 + …
      = 0
    另一方面，
        1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …
      = 1 + [(-1) + 1] + [(-1) + 1] + [(-1) + …
      = 1 + 0 + 0 + 0 + …
      = 1
    這豈不是說(shuō)明 0 = 1 嗎？
    后來(lái)我又知道了，這個(gè)式子還可以等于 1/2 。不妨設(shè) S = 1 + (-1) + 1 + (-1) + … ， 于是有 S = 1 - S ，解得 S = 1/2 。
    學(xué)習(xí)了微積分之后，我終于明白了，這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)是發(fā)散的，它沒(méi)有一個(gè)所謂的“和”。無(wú)窮個(gè)數(shù)相加的結(jié)果是多少，這個(gè)是需要定義的。
無(wú)窮級(jí)數(shù)的力量 (2)
    同樣的戲法可以變出更多不可思議的東西。例如，令
      x = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …
    則有
      2x = 2 + 4 + 8 + 16 + …
    于是
      2x - x = x = (2 + 4 + 8 + 16 + …) - (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = -1
    也就是說(shuō)
      1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = -1
平方根的陰謀 (1)
    定理：所有數(shù)都相等。
    證明：取任意兩個(gè)數(shù) a 和 b ，令 t = a + b 。于是，
      a + b = t
      (a + b)(a - b) = t(a - b)
      a^2 - b^2 = t·a - t·b
      a^2 - t·a = b^2 - t·b
      a^2 - t·a + (t^2)/4 = b^2 - t·b + (t^2)/4
      (a - t/2)^2 = (b - t/2)^2
      a - t/2 = b - t/2
      a = b
    怎么回事兒？

    問(wèn)題出在倒數(shù)第二行。
    永遠(yuǎn)記住， x^2 = y^2 并不能推出 x = y ，只能推出 x = ±y 。
平方根的陰謀 (2)
    1 = √1 = √(-1)(-1) = √-1·√-1 = -1
    嗯？

    只有 x 、 y 都是正數(shù)時(shí)， √x·y = √x·√y 才是成立的。
    -1 的平方根有兩個(gè)， i 和 -i 。 √(-1)(-1) 展開(kāi)后應(yīng)該寫(xiě)作 i·(-i) ，它正好等于 1 。
復(fù)數(shù)才是王道
    考慮方程
      x^2 + x + 1 = 0
    移項(xiàng)有
      x^2 = - x - 1
    等式兩邊同時(shí)除以 x ，有
      x = - 1 - 1/x
    把上式代入原式中，有
      x^2 + (-1 - 1/x) + 1 = 0
    即
      x^2 - 1/x = 0
    即
      x^3 = 1
    也就是說(shuō) x = 1。
    把 x = 1 代回原式，得到 1^2 + 1 + 1 = 0 。也就是說(shuō)， 3 = 0 ，嘿嘿！
    其實(shí)， x = 1 并不是方程 x^2 + x + 1 = 0 的解。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，方程 x^2 + x + 1 = 0 是沒(méi)有解的，但在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有兩個(gè)解。
    另一方面， x = 1 只是 x^3 = 1 的其中一個(gè)解。 x^3 = 1 其實(shí)一共有三個(gè)解，只不過(guò)另外兩個(gè)解是復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的。考慮方程 x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 ，容易看出 x^3 = 1 的兩個(gè)復(fù)數(shù)解正好就是 x^2 + x + 1 的兩個(gè)解。因此， x^2 + x + 1 = 0 與 x^3 = 1 同時(shí)成立并無(wú)矛盾。
    注意，一旦引入復(fù)數(shù)后，這個(gè)謬論才有了一個(gè)完整而漂亮的解釋?；蛟S這也說(shuō)明了引入復(fù)數(shù)概念的必要性吧。
頗具喜劇色彩的錯(cuò)誤
    眾所周知，
      1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2
    讓我們用 n - 1 去替換 n ，可得
      1 + 2 + 3 + … + (n-1) = (n-1)n / 2
    等式兩邊同時(shí)加 1 ，得：
      1 + 2 + 3 + … + n = (n-1)n / 2 + 1
    也就是
      n(n+1) / 2 = (n-1)n / 2 + 1
    展開(kāi)后有
      n^2 / 2 + n / 2 = n^2 / 2 - n / 2 + 1
    可以看到 n = 1 是這個(gè)方程的唯一解。
    也就是說(shuō)?? 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2 僅在 n = 1 時(shí)才成立！


    這個(gè)推理過(guò)程中出現(xiàn)了一個(gè)非常隱蔽而搞笑的錯(cuò)誤。等式兩邊同時(shí)加 1 后，等式左邊得到的應(yīng)該是
      1 + 2 + 3 + … + (n-2) + (n-1) + 1
1 塊錢等于 1 分錢？
    我要用數(shù)學(xué)的力量掏空你的錢包！請(qǐng)看：
      1 元 = 100 分 = (10 分)^2 = (0.1 元)^2 = 0.01 元 = 1 分

    用這個(gè)來(lái)騙小孩子們簡(jiǎn)直是屢試不爽，因?yàn)樾W(xué)（甚至中學(xué)）教育忽視了一個(gè)很重要的思想：?jiǎn)挝灰彩且獏⑴c運(yùn)算的。事實(shí)上， “100 分 = (10 分)^2” 是不成立的， “10 分” 的平方應(yīng)該是 “100 平方分” ，正如 “10 米” 的平方是 “100 平方米” 一樣。
數(shù)學(xué)歸納法的杯具 (1)
    下面這個(gè)“證明”是由數(shù)學(xué)家 George Pólya 給出的：任意給定 n 匹馬，可以證明這 n 匹馬的顏色都相同。
    對(duì) n 施歸納：首先，當(dāng) n = 1 時(shí)命題顯然成立。若命題對(duì) n = k 成立，則考慮 n = k + 1 的情形：由于 {#1, #2, …, #k} 這 k 匹馬的顏色相同， {#2, #3, …, #k+1 } 這 k 匹馬也相同，而這兩組馬是有重疊的，可知這 k+1 匹馬的顏色也都相同了。

    這個(gè)證明錯(cuò)在，從 n = 1 推不出 n = 2 ，雖然當(dāng) n 更大的時(shí)候，這個(gè)歸納是正確的。這是數(shù)學(xué)歸納法出錯(cuò)的一個(gè)比較奇特的例子：基礎(chǔ)情形和歸納推理都沒(méi)啥問(wèn)題，偏偏卡在歸納過(guò)程中的某一步上。
數(shù)學(xué)歸納法的杯具 (2)
    下面，我來(lái)給大家證明，所有正整數(shù)都相等。
    為了證明這一點(diǎn)，只需要說(shuō)明對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù) a 、 b ，都有 a = b 。
    為了證明這一點(diǎn)，只需要說(shuō)明對(duì)于所有正整數(shù) n ，如果 max(a, b) = n ，那么 a = b 。
    我們對(duì) n 施歸納。當(dāng) n = 1 時(shí)，由于 a 、 b 都是正整數(shù)，因此 a 、 b 必須都等于 1 ，所以說(shuō) a = b 。若當(dāng) n = k 時(shí)命題也成立，現(xiàn)在假設(shè) max(a, b) = k + 1 。則 max(a - 1, b - 1) = k ，由歸納假設(shè)知 a - 1 = b - 1 ，即 a = b 。

    這個(gè)問(wèn)題出在， a - 1 或者 b - 1 有可能不是正整數(shù)了，因此不能套用歸納假設(shè)。
所有三角形都是等腰三角形
    別以為謬證都是隱藏在數(shù)字和字母之中的。下面就是一個(gè)經(jīng)典的幾何謬論。
    畫(huà)一個(gè)任意三角形 ABC 。下面我將證明， AB = AC ，從而說(shuō)明所有三角形都是等腰三角形。
   

    令 BC 的中垂線與 ∠A 的角平分線交于點(diǎn) P 。過(guò) P 作 AB 、 AC 的垂線，垂足分別是 E 、 F 。由于 AP 是角平分線，因此 P 到兩邊的距離相等，即 PE = PF 。于是，由 AAS 可知 △APE ≌ △APF 。由于 DP 是中垂線，因此 P 到 B 、 C 的距離相等，由 SSS 可知 △BPD ≌ △CPD 。另外，由于 PE = PF ， PB = PC ，且 ∠BEP = ∠CFP = 90° ，由 HL 可知 △BEP ≌ △CFP 。現(xiàn)在，由第一對(duì)全等三角形知 AE = AF ，由最后一對(duì)全等三角形知 BE = CF ，因此 AE + BE = AF + CF ，即 AB = AC 。

   

    這個(gè)證明過(guò)程其實(shí)字字據(jù)理，并無(wú)破綻。證明的問(wèn)題出在一個(gè)你完全沒(méi)有意識(shí)到的地方——這個(gè)圖形就是錯(cuò)的！事實(shí)上， BC 的中垂線與 ∠A 的角平分線不可能交于三角形的內(nèi)部。我們可以證明， P 點(diǎn)總是落在 △ABC 的外接圓上。如圖， P 是 BC 的中垂線與外接圓的交點(diǎn)，顯然 P 就是弧 BC 的中點(diǎn)，即弧 BP = 弧 PC 。因此， ∠BAP = ∠CAP ，換句話說(shuō) P 恰好就在 ∠A 的角平分線上。
   

    P 在 △ABC 外的話，會(huì)對(duì)我們的證明產(chǎn)生什么影響呢？你會(huì)發(fā)現(xiàn)，垂足的位置發(fā)生了本質(zhì)上的變化—— F 跑到 AC 外面去了！也就是說(shuō)，結(jié)論 AE + BE = AF + CF 并不錯(cuò)，只是 AF + CF 并不等于 AC 罷了。
一個(gè)可怕的邏輯錯(cuò)誤
    下面這個(gè)勾股定理的“證明”曾經(jīng)發(fā)表在 1896 年的 The American Mathematical Monthly 雜志上：
   

    假設(shè)勾股定理是正確的，于是我們可以得到
      AB^2 = AC^2 + BC^2
      BC^2 = CD^2 + BD^2
      AC^2 = AD^2 + CD^2
    把后兩式代入第一個(gè)式子，有
      AB^2 = AD^2 + 2·CD^2 + BD^2
    但 CD^2 = AD·BD ，因此
      AB^2 = AD^2 + 2·AD·BD + BD^2
    即
      AB^2 = (AD + BD)^2
    即
       AB = AD + BD
    而這顯然成立。因此，我們的假設(shè)也是成立的。
    這個(gè)證明是錯(cuò)誤的。假設(shè)結(jié)論正確，推出一個(gè)矛盾，確實(shí)能說(shuō)明這個(gè)假設(shè)是錯(cuò)誤的（這就是反證法）；但假設(shè)結(jié)論正確，推出它與條件吻合，這卻并不能說(shuō)明假設(shè)真的就是正確的。錯(cuò)誤的假設(shè)也有可能推出正確的結(jié)果來(lái)。最經(jīng)典的例子就是，不妨假設(shè) 1 = 2 ，由等式的對(duì)稱性可知 2 = 1 ，等量加等量有 1+2 = 2+1 ，即 3 = 3 。但 3 = 3 是對(duì)的并不能表明 1 = 2 是對(duì)的。
如此反證
    下面這個(gè)有趣的故事來(lái)源于 Lewis Carroll 的一篇題為 A Logical Paradox 的小論文。
    Joe 去理發(fā)店理發(fā)。理發(fā)店有 A 、 B 、 C 三位師傅，但他們并不總是待在理發(fā)店里。 Joe 最喜歡 C 的手藝，他希望此時(shí) C 在理發(fā)店里。他遠(yuǎn)遠(yuǎn)地看見(jiàn)理發(fā)店還開(kāi)著，說(shuō)明里面至少有一位師傅。另外， A 是一個(gè)膽小鬼，沒(méi)有 B 陪著的話 A 從不離開(kāi)理發(fā)店。
    Joe 推出了這么一個(gè)結(jié)論： C 必然在理發(fā)店內(nèi)。讓我們來(lái)看看他的推理過(guò)程。
    反證，假設(shè) C 不在理發(fā)店。這樣的話，如果 A 也不在理發(fā)店，那么 B 就必須在店里了，因?yàn)榈昀镏辽儆幸粋€(gè)人；然而，如果 A 不在理發(fā)店， B 也理應(yīng)不在理發(fā)店，因?yàn)闆](méi)有 B 陪著的話 A 是不會(huì)離開(kāi)理發(fā)店的。因此，由 “C 不在理發(fā)店” 同時(shí)推出了 “若 A 不在則 B 一定在” 和 “若 A 不在則 B 也一定不在” 兩個(gè)矛盾的結(jié)論。這說(shuō)明， “C 不在理發(fā)店” 的假設(shè)是錯(cuò)誤的。
    從已有的條件看， C 當(dāng)然有可能不在理發(fā)店。但是，為什么 Joe 竟然證出了 C 一定在理發(fā)店呢？因?yàn)樗淖C明是錯(cuò)的。其實(shí)， “若 A 不在則 B 一定在” 和 “若 A 不在則 B 也一定不在” 并不矛盾——如果事實(shí)上 A 在理發(fā)店，那么這兩個(gè)條件判斷句都是真的。 “若 A 不在則 B 一定在” 真正的否定形式應(yīng)該是 “A 不在并且 B 也不在” 。
自然語(yǔ)言的表達(dá)能力
    我曾在 另類搞笑：自我指涉例句不完全收集 一文中寫(xiě)過(guò)：
定理：所有的數(shù)都可以用 20 個(gè)以內(nèi)的漢字表達(dá)（比如 25852016738884976640000 可以表達(dá)為“二十三的階乘”， 100000000000000000000000 可以表達(dá)為“一后面二十三個(gè)零”）
證明：反證，假設(shè)存在不能用 20 個(gè)以內(nèi)的漢字表達(dá)的數(shù)，則必有一個(gè)最小的不能用 20 個(gè)以內(nèi)的漢字表達(dá)的數(shù)，而這個(gè)數(shù)已經(jīng)用“最小的不能用 20 個(gè)以內(nèi)的漢字表達(dá)的數(shù)”表達(dá)出來(lái)了，矛盾。
    當(dāng)然，這個(gè)定理明顯是錯(cuò)的，因?yàn)?20 個(gè)漢字的組合是有限的，而數(shù)是無(wú)限多的。這個(gè)證明錯(cuò)在哪兒了呢？我也沒(méi)辦法一針見(jiàn)血地道出個(gè)所以然來(lái)，大家一起來(lái)討論吧。
    有趣的是，我們有一個(gè)與之相關(guān)的（正確的）定理：存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它不能用有限個(gè)漢字來(lái)表達(dá)。這是因?yàn)?，有限長(zhǎng)的漢字字符串是可數(shù)的，而實(shí)數(shù)是不可數(shù)的。更有趣的是，這個(gè)定理的證明必然是非構(gòu)造性的。

兩邊同時(shí)取導(dǎo)數(shù) (1)
    取一個(gè)正整數(shù) N 。則有
      N^2 = N + N + N + … + N （ N 個(gè) N ）
    兩邊同時(shí)取導(dǎo)數(shù)，有
      2N = 1 + 1 + 1 + … + 1 = N
    兩邊同時(shí)除以 N ，得
      2 = 1
    數(shù)學(xué)威武！

    這個(gè)推理是有問(wèn)題的（廢話）。隨著 N 的增加，等式右邊的 N 的個(gè)數(shù)卻沒(méi)變，因此 N^2 的增長(zhǎng)率比等式右邊更大。
兩邊同時(shí)取導(dǎo)數(shù) (2)
    令 x = 1 ，兩邊同時(shí)取導(dǎo)數(shù)， 1 = 0 。哈哈！
    問(wèn)題出在哪兒？這里有意略去答案不寫(xiě)，呵呵。
鏈?zhǔn)椒▌t也出錯(cuò)？
    下面這個(gè)例子告訴我們，數(shù)學(xué)符號(hào)混淆不得，分清每個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)的意義有多重要。
    定義 f(x, y) := (x + y)^2 ，然后令 x = u - v ，令 y = u + v 。我們有：
      ∂f/∂x = ∂f/∂y = 2(x + y)
      ∂x/∂v = -1
      ∂y/∂v = +1
    根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，有
      ∂f/∂v = (∂f/∂x)·(∂x/∂v) + (∂f/∂y)·(∂y/∂v)
        = 2(x + y)·(-1) + 2(x + y)·(1)
        = 0
    但是， f(u, v) = (u + v)^2 ，因此 ∂f/∂v = 2(u + v) = 2y 。這豈不是說(shuō)明 y = 0 了么？但是，條件里并沒(méi)有什么地方規(guī)定 y = 0 呀？這怎么回事？

    問(wèn)題出在，整個(gè)推理過(guò)程把兩個(gè)不同的函數(shù)都用 f 來(lái)表示了。事實(shí)上，一個(gè)函數(shù)是 f(x, y) := (x + y)^2，另一個(gè)函數(shù)是 F(u, v) = f(u - v, u + v) = (2u)^2 。鏈?zhǔn)椒▌t求的并不是 ∂f/∂v ，而是 ∂F/∂v 。
不定積分的困惑
    我們嘗試用分部積分法求解 ∫ (1/x) dx 。
    令 u = 1/x ， dv = dx
      du = -1/x^2 dx ， v = x
    于是 ∫ (1/x) dx = (1/x)x - ∫ x(-1/x^2) dx = 1 + ∫ (1/x) dx
    怎么回事？

    不怎么回事。這個(gè)等式是成立的。別忘了，不定積分的最后結(jié)果要加上一個(gè)常數(shù) C 。
    記得學(xué)高數(shù)時(shí)，求一積分，兩哥們兒做出來(lái)的答案差別很大，而且試了很久也沒(méi)能把其中一個(gè)答案變形成另外一個(gè)。后來(lái)終于恍然大悟：他們的答案是有可能不相同的，可以差一個(gè)常數(shù)嘛！
貌似漏掉了什么
    很多 Goldbach 猜想、孿生素?cái)?shù)猜想的“證明”都栽在了下面這個(gè)有時(shí)候很不容易注意到漏洞。
    讓我們來(lái)證明一個(gè)看上去有些不可思議的結(jié)論： π^e 是一個(gè)有理數(shù)。首先注意到，對(duì)任意有理數(shù) r ， logπr 都是無(wú)理數(shù)，否則令 s = logπr ，我們就有 π^s = r ，這與 π 是超越數(shù)矛盾。
    現(xiàn)在，假設(shè) π^e 是無(wú)理數(shù)，也就是說(shuō)對(duì)任意有理數(shù) r ， π^e 都不等于 r 。這也就是說(shuō)，對(duì)任意一個(gè) r ， logππ^e 都不等于 logπr 。由前面的結(jié)論， logππ^e 就不等于任意一個(gè)無(wú)理數(shù)。但 logππ^e 是等于 e 的，這與 e 的無(wú)理性矛盾了。因此，我們的假設(shè)是錯(cuò)的—— π^e 是一個(gè)有理數(shù)。

    對(duì)于有理數(shù) r ， logπr 確實(shí)是無(wú)理數(shù)；但遍歷所有的有理數(shù) r ，并不能讓 logπr 遍歷所有的無(wú)理數(shù)，而 e 正好就等于某個(gè)漏掉的無(wú)理數(shù)。
    不過(guò)，也不要想當(dāng)然地認(rèn)為， π^e 當(dāng)然是一個(gè)無(wú)理數(shù)。目前為止， π^e 是否有理還是一個(gè)謎。