老黃也是個懶惰之人，昨天研究問題，要用到x^(n+1)D(x)的可導(dǎo)性，雖然知道它只在x=0一階可導(dǎo)，但并不知道是為什么。老黃又是一個愛裝()的人，不能說個所以然，感覺心里就空蕩蕩。因此網(wǎng)上四處搜索“x^(n+1)D(x)為什么只在x=0一階可導(dǎo)”，結(jié)果竟然找不到一個完整的答案。迫使老黃不得不自己動手探究這個問題。下面就是老黃的探究結(jié)果，分享給大家，以滿足老黃愛裝()的心理。

首先證明f(x)=x^(n+1)D(x)在x=0一階可導(dǎo)，其中D(x)是迪利克雷函數(shù)，就是當(dāng)x是有理數(shù)時,D(x)=1, 當(dāng)x是無理數(shù)時，D(x)=0. 這一步非常簡單，只要運用導(dǎo)數(shù)的定義公式，求得f(x)在x=0的值，就證明導(dǎo)數(shù)存在，從而證明了f(x)=x^(n+1)D(x)在x=0可導(dǎo).

f'(0)=lim(h->0)(f(h)-f(0))/h=lim(h->0)(h^(n+1)D(h))/h=lim(h->0)h^nD(h),

因為lim(h->0)h^n=0是無窮小量，且D(h)有界，所以f'(0)=0. 從而第一步得證。

接下來證明f(x)=x^(n+1)D(x)在x=x0不等于0不存在一階導(dǎo)數(shù)。我們可以通過證明在x=x0不等于0，f(x)不連續(xù)，來證明一階導(dǎo)數(shù)不存在，即不可導(dǎo)。因為連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件。

為此，我們設(shè)任意x0不等于0，取ε0=|x0^(n+1)|/2，注意，這里的x0和n都是定值，所以ε0是一個定值。雖然n可以取不同的正整數(shù)，但一經(jīng)取定，它就是一個定值了。

則對任意δ>0，

若x0是有理數(shù)，則總存在無理數(shù)x∈U(x0,δ),使得|x-x0|<δ，

且|x^(n+1)D(x)-x0^(n+1)|=|x0^(n+1)|>ε0，到這里就證明了f(x)=x^(n+1)D(x)在所有的非0有理數(shù)點上不連續(xù)，從而也不可導(dǎo)。

若x0是無理數(shù)，則總存在有理數(shù)x∈U(x0,δ),使得|x-x0|<δ，

且|x^(n+1)D(x)|=|x^(n+1)|>|x0^(n+1)|>ε0，注意，如果x0>0，就在U+(x0,δ)上取得x；如果x0<0，就要U-(x0,δ)上取得x. 總之符合條件的x總是存在的。到這里就證明了x^(n+1)D(x)在所有的無理數(shù)點上不連續(xù)，從而也不可導(dǎo)。

因此f(x)在x0不連續(xù)，從而f'(x0)不存在。那自然f(x)在x0的高階導(dǎo)數(shù)更不可能存在了。那么f'(0)為什么不存在呢？

因為f'(0)=lim(h->0)(f'(h)-f'(0))/h，而f'(h)不存在，自然f'(0)就不存在了。這就證明了x^(n+1)D(x)只在x=0一階可導(dǎo)。

不過如果n同時也趨于無窮大，那么問題就會變得復(fù)雜得多，有興趣的小伙伴們可以自己探究一下。