最近看到幾個有趣的數(shù)學(xué)謬證，想寫下來與大家分享；結(jié)果寫到這個又想到那個，一寫就寫個沒完，于是想到干脆做一篇謬證大全，收集各種荒謬的證明。
    如果你有什么更棒的“證明”，歡迎來信與我分享，我會更新到這篇日志中。我的郵箱是 matrix67 at tom.com ，或者 gs.matrix67 at gmail.com 。
1=2？史上最經(jīng)典的“證明”
    設(shè) a = b ，則 a·b = a^2 ，等號兩邊同時減去 b^2 就有 a·b - b^2 = a^2 - b^2 。注意，這個等式的左邊可以提出一個 b ，右邊是一個平方差，于是有 b·(a - b) = (a + b)(a - b) 。約掉 (a - b) 有 b = a + b 。然而 a = b ，因此 b = b + b ，也即 b = 2b 。約掉 b ，得 1 = 2 。
    這可能是有史以來最經(jīng)典的謬證了。 Ted Chiang 在他的短篇科幻小說 Division by Zero 中寫到：
There is a well-known “proof” that demonstrates that one equals two. It begins with some definitions: “Let a = 1; let b = 1.” It ends with the conclusion “a = 2a,” that is, one equals two. Hidden inconspicuously in the middle is a division by zero, and at that point the proof has stepped off the brink, making all rules null and void. Permitting division by zero allows one to prove not only that one and two are equal, but that any two numbers at all—real or imaginary, rational or irrational—are equal.
    這個證明的問題所在想必大家都已經(jīng)很清楚了：等號兩邊是不能同時除以 a - b 的，因為我們假設(shè)了 a = b ，也就是說 a - b 是等于 0 的。
無窮級數(shù)的力量 (1)
    小學(xué)時，這個問題困擾了我很久：下面這個式子等于多少？
      1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …
    一方面，
        1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …
      = [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + …
      = 0 + 0 + 0 + …
      = 0
    另一方面，
        1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …
      = 1 + [(-1) + 1] + [(-1) + 1] + [(-1) + …
      = 1 + 0 + 0 + 0 + …
      = 1
    這豈不是說明 0 = 1 嗎？
    后來我又知道了，這個式子還可以等于 1/2 。不妨設(shè) S = 1 + (-1) + 1 + (-1) + … ， 于是有 S = 1 - S ，解得 S = 1/2 。
    學(xué)習(xí)了微積分之后，我終于明白了，這個無窮級數(shù)是發(fā)散的，它沒有一個所謂的“和”。無窮個數(shù)相加的結(jié)果是多少，這個是需要定義的。
無窮級數(shù)的力量 (2)
    同樣的戲法可以變出更多不可思議的東西。例如，令
      x = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …
    則有
      2x = 2 + 4 + 8 + 16 + …
    于是
      2x - x = x = (2 + 4 + 8 + 16 + …) - (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = -1
    也就是說
      1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = -1
平方根的陰謀 (1)
    定理：所有數(shù)都相等。
    證明：取任意兩個數(shù) a 和 b ，令 t = a + b 。于是，
      a + b = t
      (a + b)(a - b) = t(a - b)
      a^2 - b^2 = t·a - t·b
      a^2 - t·a = b^2 - t·b
      a^2 - t·a + (t^2)/4 = b^2 - t·b + (t^2)/4
      (a - t/2)^2 = (b - t/2)^2
      a - t/2 = b - t/2
      a = b
    怎么回事兒？

    問題出在倒數(shù)第二行。
    永遠記住， x^2 = y^2 并不能推出 x = y ，只能推出 x = ±y 。
平方根的陰謀 (2)
    1 = √1 = √(-1)(-1) = √-1·√-1 = -1
    嗯？

    只有 x 、 y 都是正數(shù)時， √x·y = √x·√y 才是成立的。
    -1 的平方根有兩個， i 和 -i 。 √(-1)(-1) 展開后應(yīng)該寫作 i·(-i) ，它正好等于 1 。
復(fù)數(shù)才是王道
    考慮方程
      x^2 + x + 1 = 0
    移項有
      x^2 = - x - 1
    等式兩邊同時除以 x ，有
      x = - 1 - 1/x
    把上式代入原式中，有
      x^2 + (-1 - 1/x) + 1 = 0
    即
      x^2 - 1/x = 0
    即
      x^3 = 1
    也就是說 x = 1。
    把 x = 1 代回原式，得到 1^2 + 1 + 1 = 0 。也就是說， 3 = 0 ，嘿嘿！
    其實， x = 1 并不是方程 x^2 + x + 1 = 0 的解。在實數(shù)范圍內(nèi)，方程 x^2 + x + 1 = 0 是沒有解的，但在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有兩個解。
    另一方面， x = 1 只是 x^3 = 1 的其中一個解。 x^3 = 1 其實一共有三個解，只不過另外兩個解是復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的。考慮方程 x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 ，容易看出 x^3 = 1 的兩個復(fù)數(shù)解正好就是 x^2 + x + 1 的兩個解。因此， x^2 + x + 1 = 0 與 x^3 = 1 同時成立并無矛盾。
    注意，一旦引入復(fù)數(shù)后，這個謬論才有了一個完整而漂亮的解釋。或許這也說明了引入復(fù)數(shù)概念的必要性吧。
頗具喜劇色彩的錯誤
    眾所周知，
      1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2
    讓我們用 n - 1 去替換 n ，可得
      1 + 2 + 3 + … + (n-1) = (n-1)n / 2
    等式兩邊同時加 1 ，得：
      1 + 2 + 3 + … + n = (n-1)n / 2 + 1
    也就是
      n(n+1) / 2 = (n-1)n / 2 + 1
    展開后有
      n^2 / 2 + n / 2 = n^2 / 2 - n / 2 + 1
    可以看到 n = 1 是這個方程的唯一解。
    也就是說?? 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2 僅在 n = 1 時才成立！


    這個推理過程中出現(xiàn)了一個非常隱蔽而搞笑的錯誤。等式兩邊同時加 1 后，等式左邊得到的應(yīng)該是
      1 + 2 + 3 + … + (n-2) + (n-1) + 1
1 塊錢等于 1 分錢？
    我要用數(shù)學(xué)的力量掏空你的錢包！請看：
      1 元 = 100 分 = (10 分)^2 = (0.1 元)^2 = 0.01 元 = 1 分

    用這個來騙小孩子們簡直是屢試不爽，因為小學(xué)（甚至中學(xué)）教育忽視了一個很重要的思想：單位也是要參與運算的。事實上， “100 分 = (10 分)^2” 是不成立的， “10 分” 的平方應(yīng)該是 “100 平方分” ，正如 “10 米” 的平方是 “100 平方米” 一樣。
數(shù)學(xué)歸納法的杯具 (1)
    下面這個“證明”是由數(shù)學(xué)家 George Pólya 給出的：任意給定 n 匹馬，可以證明這 n 匹馬的顏色都相同。
    對 n 施歸納：首先，當 n = 1 時命題顯然成立。若命題對 n = k 成立，則考慮 n = k + 1 的情形：由于 {#1, #2, …, #k} 這 k 匹馬的顏色相同， {#2, #3, …, #k+1 } 這 k 匹馬也相同，而這兩組馬是有重疊的，可知這 k+1 匹馬的顏色也都相同了。

    這個證明錯在，從 n = 1 推不出 n = 2 ，雖然當 n 更大的時候，這個歸納是正確的。這是數(shù)學(xué)歸納法出錯的一個比較奇特的例子：基礎(chǔ)情形和歸納推理都沒啥問題，偏偏卡在歸納過程中的某一步上。
數(shù)學(xué)歸納法的杯具 (2)
    下面，我來給大家證明，所有正整數(shù)都相等。
    為了證明這一點，只需要說明對于任意兩個正整數(shù) a 、 b ，都有 a = b 。
    為了證明這一點，只需要說明對于所有正整數(shù) n ，如果 max(a, b) = n ，那么 a = b 。
    我們對 n 施歸納。當 n = 1 時，由于 a 、 b 都是正整數(shù)，因此 a 、 b 必須都等于 1 ，所以說 a = b 。若當 n = k 時命題也成立，現(xiàn)在假設(shè) max(a, b) = k + 1 。則 max(a - 1, b - 1) = k ，由歸納假設(shè)知 a - 1 = b - 1 ，即 a = b 。

    這個問題出在， a - 1 或者 b - 1 有可能不是正整數(shù)了，因此不能套用歸納假設(shè)。
所有三角形都是等腰三角形
    別以為謬證都是隱藏在數(shù)字和字母之中的。下面就是一個經(jīng)典的幾何謬論。
    畫一個任意三角形 ABC 。下面我將證明， AB = AC ，從而說明所有三角形都是等腰三角形。
   

    令 BC 的中垂線與 ∠A 的角平分線交于點 P 。過 P 作 AB 、 AC 的垂線，垂足分別是 E 、 F 。由于 AP 是角平分線，因此 P 到兩邊的距離相等，即 PE = PF 。于是，由 AAS 可知 △APE ≌ △APF 。由于 DP 是中垂線，因此 P 到 B 、 C 的距離相等，由 SSS 可知 △BPD ≌ △CPD 。另外，由于 PE = PF ， PB = PC ，且 ∠BEP = ∠CFP = 90° ，由 HL 可知 △BEP ≌ △CFP 。現(xiàn)在，由第一對全等三角形知 AE = AF ，由最后一對全等三角形知 BE = CF ，因此 AE + BE = AF + CF ，即 AB = AC 。

   

    這個證明過程其實字字據(jù)理，并無破綻。證明的問題出在一個你完全沒有意識到的地方——這個圖形就是錯的！事實上， BC 的中垂線與 ∠A 的角平分線不可能交于三角形的內(nèi)部。我們可以證明， P 點總是落在 △ABC 的外接圓上。如圖， P 是 BC 的中垂線與外接圓的交點，顯然 P 就是弧 BC 的中點，即弧 BP = 弧 PC 。因此， ∠BAP = ∠CAP ，換句話說 P 恰好就在 ∠A 的角平分線上。
   

    P 在 △ABC 外的話，會對我們的證明產(chǎn)生什么影響呢？你會發(fā)現(xiàn)，垂足的位置發(fā)生了本質(zhì)上的變化—— F 跑到 AC 外面去了！也就是說，結(jié)論 AE + BE = AF + CF 并不錯，只是 AF + CF 并不等于 AC 罷了。
一個可怕的邏輯錯誤
    下面這個勾股定理的“證明”曾經(jīng)發(fā)表在 1896 年的 The American Mathematical Monthly 雜志上：
   

    假設(shè)勾股定理是正確的，于是我們可以得到
      AB^2 = AC^2 + BC^2
      BC^2 = CD^2 + BD^2
      AC^2 = AD^2 + CD^2
    把后兩式代入第一個式子，有
      AB^2 = AD^2 + 2·CD^2 + BD^2
    但 CD^2 = AD·BD ，因此
      AB^2 = AD^2 + 2·AD·BD + BD^2
    即
      AB^2 = (AD + BD)^2
    即
       AB = AD + BD
    而這顯然成立。因此，我們的假設(shè)也是成立的。
    這個證明是錯誤的。假設(shè)結(jié)論正確，推出一個矛盾，確實能說明這個假設(shè)是錯誤的（這就是反證法）；但假設(shè)結(jié)論正確，推出它與條件吻合，這卻并不能說明假設(shè)真的就是正確的。錯誤的假設(shè)也有可能推出正確的結(jié)果來。最經(jīng)典的例子就是，不妨假設(shè) 1 = 2 ，由等式的對稱性可知 2 = 1 ，等量加等量有 1+2 = 2+1 ，即 3 = 3 。但 3 = 3 是對的并不能表明 1 = 2 是對的。
如此反證
    下面這個有趣的故事來源于 Lewis Carroll 的一篇題為 A Logical Paradox 的小論文。
    Joe 去理發(fā)店理發(fā)。理發(fā)店有 A 、 B 、 C 三位師傅，但他們并不總是待在理發(fā)店里。 Joe 最喜歡 C 的手藝，他希望此時 C 在理發(fā)店里。他遠遠地看見理發(fā)店還開著，說明里面至少有一位師傅。另外， A 是一個膽小鬼，沒有 B 陪著的話 A 從不離開理發(fā)店。
    Joe 推出了這么一個結(jié)論： C 必然在理發(fā)店內(nèi)。讓我們來看看他的推理過程。
    反證，假設(shè) C 不在理發(fā)店。這樣的話，如果 A 也不在理發(fā)店，那么 B 就必須在店里了，因為店里至少有一個人；然而，如果 A 不在理發(fā)店， B 也理應(yīng)不在理發(fā)店，因為沒有 B 陪著的話 A 是不會離開理發(fā)店的。因此，由 “C 不在理發(fā)店” 同時推出了 “若 A 不在則 B 一定在” 和 “若 A 不在則 B 也一定不在” 兩個矛盾的結(jié)論。這說明， “C 不在理發(fā)店” 的假設(shè)是錯誤的。
    從已有的條件看， C 當然有可能不在理發(fā)店。但是，為什么 Joe 竟然證出了 C 一定在理發(fā)店呢？因為他的證明是錯的。其實， “若 A 不在則 B 一定在” 和 “若 A 不在則 B 也一定不在” 并不矛盾——如果事實上 A 在理發(fā)店，那么這兩個條件判斷句都是真的。 “若 A 不在則 B 一定在” 真正的否定形式應(yīng)該是 “A 不在并且 B 也不在” 。
自然語言的表達能力
    我曾在 另類搞笑：自我指涉例句不完全收集 一文中寫過：
定理：所有的數(shù)都可以用 20 個以內(nèi)的漢字表達（比如 25852016738884976640000 可以表達為“二十三的階乘”， 100000000000000000000000 可以表達為“一后面二十三個零”）
證明：反證，假設(shè)存在不能用 20 個以內(nèi)的漢字表達的數(shù)，則必有一個最小的不能用 20 個以內(nèi)的漢字表達的數(shù)，而這個數(shù)已經(jīng)用“最小的不能用 20 個以內(nèi)的漢字表達的數(shù)”表達出來了，矛盾。
    當然，這個定理明顯是錯的，因為 20 個漢字的組合是有限的，而數(shù)是無限多的。這個證明錯在哪兒了呢？我也沒辦法一針見血地道出個所以然來，大家一起來討論吧。
    有趣的是，我們有一個與之相關(guān)的（正確的）定理：存在一個實數(shù)，它不能用有限個漢字來表達。這是因為，有限長的漢字字符串是可數(shù)的，而實數(shù)是不可數(shù)的。更有趣的是，這個定理的證明必然是非構(gòu)造性的。

兩邊同時取導(dǎo)數(shù) (1)
    取一個正整數(shù) N 。則有
      N^2 = N + N + N + … + N （ N 個 N ）
    兩邊同時取導(dǎo)數(shù)，有
      2N = 1 + 1 + 1 + … + 1 = N
    兩邊同時除以 N ，得
      2 = 1
    數(shù)學(xué)威武！

    這個推理是有問題的（廢話）。隨著 N 的增加，等式右邊的 N 的個數(shù)卻沒變，因此 N^2 的增長率比等式右邊更大。
兩邊同時取導(dǎo)數(shù) (2)
    令 x = 1 ，兩邊同時取導(dǎo)數(shù)， 1 = 0 。哈哈！
    問題出在哪兒？這里有意略去答案不寫，呵呵。
鏈式法則也出錯？
    下面這個例子告訴我們，數(shù)學(xué)符號混淆不得，分清每個數(shù)學(xué)符號的意義有多重要。
    定義 f(x, y) := (x + y)^2 ，然后令 x = u - v ，令 y = u + v 。我們有：
      ∂f/∂x = ∂f/∂y = 2(x + y)
      ∂x/∂v = -1
      ∂y/∂v = +1
    根據(jù)鏈式法則，有
      ∂f/∂v = (∂f/∂x)·(∂x/∂v) + (∂f/∂y)·(∂y/∂v)
        = 2(x + y)·(-1) + 2(x + y)·(1)
        = 0
    但是， f(u, v) = (u + v)^2 ，因此 ∂f/∂v = 2(u + v) = 2y 。這豈不是說明 y = 0 了么？但是，條件里并沒有什么地方規(guī)定 y = 0 呀？這怎么回事？

    問題出在，整個推理過程把兩個不同的函數(shù)都用 f 來表示了。事實上，一個函數(shù)是 f(x, y) := (x + y)^2，另一個函數(shù)是 F(u, v) = f(u - v, u + v) = (2u)^2 。鏈式法則求的并不是 ∂f/∂v ，而是 ∂F/∂v 。
不定積分的困惑
    我們嘗試用分部積分法求解 ∫ (1/x) dx 。
    令 u = 1/x ， dv = dx
      du = -1/x^2 dx ， v = x
    于是 ∫ (1/x) dx = (1/x)x - ∫ x(-1/x^2) dx = 1 + ∫ (1/x) dx
    怎么回事？

    不怎么回事。這個等式是成立的。別忘了，不定積分的最后結(jié)果要加上一個常數(shù) C 。
    記得學(xué)高數(shù)時，求一積分，兩哥們兒做出來的答案差別很大，而且試了很久也沒能把其中一個答案變形成另外一個。后來終于恍然大悟：他們的答案是有可能不相同的，可以差一個常數(shù)嘛！
貌似漏掉了什么
    很多 Goldbach 猜想、孿生素數(shù)猜想的“證明”都栽在了下面這個有時候很不容易注意到漏洞。
    讓我們來證明一個看上去有些不可思議的結(jié)論： π^e 是一個有理數(shù)。首先注意到，對任意有理數(shù) r ， logπr 都是無理數(shù)，否則令 s = logπr ，我們就有 π^s = r ，這與 π 是超越數(shù)矛盾。
    現(xiàn)在，假設(shè) π^e 是無理數(shù)，也就是說對任意有理數(shù) r ， π^e 都不等于 r 。這也就是說，對任意一個 r ， logππ^e 都不等于 logπr 。由前面的結(jié)論， logππ^e 就不等于任意一個無理數(shù)。但 logππ^e 是等于 e 的，這與 e 的無理性矛盾了。因此，我們的假設(shè)是錯的—— π^e 是一個有理數(shù)。

    對于有理數(shù) r ， logπr 確實是無理數(shù)；但遍歷所有的有理數(shù) r ，并不能讓 logπr 遍歷所有的無理數(shù)，而 e 正好就等于某個漏掉的無理數(shù)。
    不過，也不要想當然地認為， π^e 當然是一個無理數(shù)。目前為止， π^e 是否有理還是一個謎。