有100個(gè)無(wú)期囚徒，被關(guān)在100個(gè)獨(dú)立的小房間，互相無(wú)法通信。
每天會(huì)有一個(gè)囚徒被隨機(jī)地抽出來(lái)放風(fēng)，隨機(jī)就是說(shuō)可能被抽到多次。
放風(fēng)的地方有一盞燈，囚徒可以打開(kāi)或者關(guān)上，除囚徒外，沒(méi)有別人會(huì)去動(dòng)這個(gè)燈。每個(gè)人除非出來(lái)防風(fēng)，是看不到這個(gè)燈的。

一天，全體囚徒大會(huì)，國(guó)王大赦，給大家一個(gè)機(jī)會(huì)：如果某一天，某個(gè)囚徒能夠明確表示，所有的囚徒都已經(jīng)被放過(guò)風(fēng)了，而且的確如此，那么所有囚徒釋放；如果仍有囚徒未被放過(guò)風(fēng)，那么所有的囚徒一起處死！
囚徒大會(huì)后給大家20分鐘時(shí)間討論，囚徒們能找到方法么？

這個(gè)問(wèn)題是著名的謎題之一，如果大家認(rèn)為自己找到了方法，再仔細(xì)想想，有沒(méi)有效率更高的？
世界七大數(shù)學(xué)難題
[編輯本段]難題的提出
　　20世紀(jì)是數(shù)學(xué)大發(fā)展的一個(gè)世紀(jì)。數(shù)學(xué)的許多重大難題得到完滿解決， 如費(fèi)馬大定理的證明，有限單群分類(lèi)工作的完成等， 從而使數(shù)學(xué)的基本理論得到空前發(fā)展。
　　計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)是20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的重大成就，同時(shí)極大推動(dòng)了數(shù)學(xué)理論的深化和數(shù)學(xué)在社會(huì)和生產(chǎn)力第一線的直接應(yīng)用?；厥?0世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展， 數(shù)學(xué)家們深切感謝20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)大師大衛(wèi)·希爾伯特。希爾伯特在1900年8月8日于巴黎召開(kāi)的第二屆世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上的著名演講中提出了23個(gè)數(shù)學(xué)難題。希爾伯特問(wèn)題在過(guò)去百年中激發(fā)數(shù)學(xué)家的智慧，指引數(shù)學(xué)前進(jìn)的方向，其對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響和推動(dòng)是巨大的，無(wú)法估量的。
　　效法希爾伯特， 許多當(dāng)代世界著名的數(shù)學(xué)家在過(guò)去幾年中整理和提出新的數(shù)學(xué)難題，希冀為新世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展指明方向。 這些數(shù)學(xué)家知名度是高的， 但他們的這項(xiàng)行動(dòng)并沒(méi)有引起世界數(shù)學(xué)界的共同關(guān)注。
　　2000年初美國(guó)克雷數(shù)學(xué)研究所的科學(xué)顧問(wèn)委員會(huì)選定了七個(gè)“千年大獎(jiǎng)問(wèn)題”，克雷數(shù)學(xué)研究所的董事會(huì)決定建立七百萬(wàn)美元的大獎(jiǎng)基金，每個(gè)“千年大獎(jiǎng)問(wèn)題”的解決都可獲得百萬(wàn)美元的獎(jiǎng)勵(lì)?？死讛?shù)學(xué)研究所“千年大獎(jiǎng)問(wèn)題”的選定，其目的不是為了形成新世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的新方向， 而是集中在對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展具有中心意義、數(shù)學(xué)家們夢(mèng)寐以求而期待解決的重大難題。
　　2000年5月24日，千年數(shù)學(xué)會(huì)議在著名的法蘭西學(xué)院舉行。會(huì)上，98年費(fèi)爾茲獎(jiǎng)獲得者伽沃斯以“數(shù)學(xué)的重要性”為題作了演講，其后，塔特和阿啼亞公布和介紹了這七個(gè)“千年大獎(jiǎng)問(wèn)題”。克雷數(shù)學(xué)研究所還邀請(qǐng)有關(guān)研究領(lǐng)域的專(zhuān)家對(duì)每一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了較詳細(xì)的闡述。克雷數(shù)學(xué)研究所對(duì)“千年大獎(jiǎng)問(wèn)題”的解決與獲獎(jiǎng)作了嚴(yán)格規(guī)定。每一個(gè)“千年大獎(jiǎng)問(wèn)題”獲得解決并不能立即得獎(jiǎng)。任何解決答案必須在具有世界聲譽(yù)的數(shù)學(xué)雜志上發(fā)表兩年后且得到數(shù)學(xué)界的認(rèn)可，才有可能由克雷數(shù)學(xué)研究所的科學(xué)顧問(wèn)委員會(huì)審查決定是否值得獲得百萬(wàn)美元大獎(jiǎng).
[編輯本段]世界七大數(shù)學(xué)難題　
　　這七個(gè)“千年大獎(jiǎng)問(wèn)題”是： NP完全問(wèn)題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設(shè)、楊－米爾斯理論、納衛(wèi)爾－斯托可方程、BSD猜想。
　　美國(guó)麻州的克雷（Clay）數(shù)學(xué)研究所于2000年5月24日在巴黎法蘭西學(xué)院宣
　　布了一件被媒體炒得火熱的大事：對(duì)七個(gè)“千年數(shù)學(xué)難題”的每一個(gè)懸賞一百萬(wàn)美元。
　　其中有一個(gè)已被解決(龐加萊猜想),還剩六個(gè).（龐加萊猜想，已由俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼破解。我國(guó)中山大學(xué)朱熹平教授和旅美數(shù)學(xué)家、清華大學(xué)兼職教授曹懷東做了證明的封頂工作。）
　　整個(gè)計(jì)算機(jī)科學(xué)的大廈就建立在圖靈機(jī)可計(jì)算理論和計(jì)算復(fù)雜性理論的基礎(chǔ)上,
　　一旦證明P=NP,將是計(jì)算機(jī)科學(xué)的一場(chǎng)決定性的突破,在軟件工程實(shí)踐中,將革命性的提高效率.從工業(yè),農(nóng)業(yè),軍事,醫(yī)療到生活,軟件在它的各個(gè)應(yīng)用域,都將是一個(gè)飛躍.
　　P=NP嗎? 這個(gè)問(wèn)題是著名計(jì)算機(jī)科學(xué)家(1982年圖靈獎(jiǎng)得主)斯蒂文·考克（StephenCook ）于1971年發(fā)現(xiàn)并提出的.
　　“千年大獎(jiǎng)問(wèn)題”公布以來(lái)， 在世界數(shù)學(xué)界產(chǎn)生了強(qiáng)烈反響。這些問(wèn)題都是關(guān)于數(shù)學(xué)基本理論的，但這些問(wèn)題的解決將對(duì)數(shù)學(xué)理論的發(fā)展和應(yīng)用的深化產(chǎn)生巨大推動(dòng)。認(rèn)識(shí)和研究“千年大獎(jiǎng)問(wèn)題”已成為世界數(shù)學(xué)界的熱點(diǎn)。不少?lài)?guó)家的數(shù)學(xué)家正在組織聯(lián)合攻關(guān)。 可以預(yù)期， “千年大獎(jiǎng)問(wèn)題” 將會(huì)改變新世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史進(jìn)程。
　　“千年難題”之一：Ｐ（多項(xiàng)式算法）問(wèn)題對(duì)ＮＰ（非多項(xiàng)式算法）問(wèn)題
　　在一個(gè)周六的晚上，你參加了一個(gè)盛大的晚會(huì)。由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經(jīng)認(rèn)識(shí)的人。你的主人向你提議說(shuō)，你一定認(rèn)識(shí)那位正在甜點(diǎn)盤(pán)附近角落的女士羅絲。不費(fèi)一秒鐘，你就能向那里掃視，并且發(fā)現(xiàn)你的主人是正確的。然而，如果沒(méi)有這樣的暗示，你就必須環(huán)顧整個(gè)大廳，一個(gè)個(gè)地審視每一個(gè)人，看是否有你認(rèn)識(shí)的人。生成問(wèn)題的一個(gè)解通常比驗(yàn)證一個(gè)給定的解時(shí)間花費(fèi)要多得多。這是這種一般現(xiàn)象的一個(gè)例子。與此類(lèi)似的是，如果某人告訴你，數(shù)１３，７１７，４２１可以寫(xiě)成兩個(gè)較小的數(shù)的乘積，你可能不知道是否應(yīng)該相信他，但是如果他告訴你它可以因式分解為３６０７乘上３８０３，那么你就可以用一個(gè)袖珍計(jì)算器容易驗(yàn)證這是對(duì)的。不管我們編寫(xiě)程序是否靈巧，判定一個(gè)答案是可以很快利用內(nèi)部知識(shí)來(lái)驗(yàn)證，還是沒(méi)有這樣的提示而需要花費(fèi)大量時(shí)間來(lái)求解，被看作邏輯和計(jì)算機(jī)科學(xué)中最突出的問(wèn)題之一。它是斯蒂文·考克于１９７１年陳述的。
　　“千年難題”之二：霍奇(Hodge)猜想
　　二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了研究復(fù)雜對(duì)象的形狀的強(qiáng)有力的辦法?；鞠敕ㄊ菃?wèn)在怎樣的程度上，我們可以把給定對(duì)象的形狀通過(guò)把維數(shù)不斷增加的簡(jiǎn)單幾何營(yíng)造塊粘合在一起來(lái)形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來(lái)推廣；最終導(dǎo)致一些強(qiáng)有力的工具，使數(shù)學(xué)家在對(duì)他們研究中所遇到的形形色色的對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)時(shí)取得巨大的進(jìn)展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發(fā)點(diǎn)變得模糊起來(lái)。在某種意義下，必須加上某些沒(méi)有任何幾何解釋的部件。霍奇猜想斷言，對(duì)于所謂射影代數(shù)簇這種特別完美的空間類(lèi)型來(lái)說(shuō)，稱(chēng)作霍奇閉鏈的部件實(shí)際上是稱(chēng)作代數(shù)閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。
　　“千年難題”之三：龐加萊(Poincare)猜想
　　如果我們伸縮圍繞一個(gè)蘋(píng)果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開(kāi)表面，使它慢慢移動(dòng)收縮為一個(gè)點(diǎn)。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個(gè)輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒(méi)有辦法把它收縮到一點(diǎn)的。我們說(shuō)，蘋(píng)果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來(lái)刻畫(huà)，他提出三維球面(四維空間中與原點(diǎn)有單位距離的點(diǎn)的全體)的對(duì)應(yīng)問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題立即變得無(wú)比困難，從那時(shí)起，數(shù)學(xué)家們就在為此奮斗。
　　在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼在arXiv.org發(fā)表了三篇論文預(yù)印本，并聲稱(chēng)證明了幾何化猜想。
　　在佩雷爾曼之后，先后有3組研究者發(fā)表論文補(bǔ)全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細(xì)節(jié)。這包括密西根大學(xué)的布魯斯·克萊納和約翰·洛特；哥倫比亞大學(xué)的約翰·摩根和麻省理工學(xué)院的田剛；以及理海大學(xué)的曹懷東和中山大學(xué)的朱熹平。
　　2006年8月，第25屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)授予佩雷爾曼菲爾茲獎(jiǎng)。數(shù)學(xué)界最終確認(rèn)佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。
　　“千年難題”之四：黎曼(Riemann)假設(shè)
　　有些數(shù)具有不能表示為兩個(gè)更小的數(shù)的乘積的特殊性質(zhì)，例如，2、3、5、7……等等。這樣的數(shù)稱(chēng)為素?cái)?shù)；它們?cè)诩償?shù)學(xué)及其應(yīng)用中都起著重要作用。在所有自然數(shù)中，這種素?cái)?shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式；然而，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼(1826~1866)觀察到，素?cái)?shù)的頻率緊密相關(guān)于一個(gè)精心構(gòu)造的所謂黎曼蔡塔函數(shù)z(s$的性態(tài)。著名的黎曼假設(shè)斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點(diǎn)已經(jīng)對(duì)于開(kāi)始的1,500,000,000個(gè)解驗(yàn)證過(guò)。證明它對(duì)于每一個(gè)有意義的解都成立將為圍繞素?cái)?shù)分布的許多奧秘帶來(lái)光明。
　　“千年難題”之五：楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質(zhì)量缺口
　　量子物理的定律是以經(jīng)典力學(xué)的牛頓定律對(duì)宏觀世界的方式對(duì)基本粒子世界成立的。大約半個(gè)世紀(jì)以前，楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn)，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對(duì)象的數(shù)學(xué)之間的令人注目的關(guān)系?；跅睿谞査狗匠痰念A(yù)言已經(jīng)在如下的全世界范圍內(nèi)的實(shí)驗(yàn)室中所履行的高能實(shí)驗(yàn)中得到證實(shí)：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的方程沒(méi)有已知的解。特別是，被大多數(shù)物理學(xué)家所確認(rèn)、并且在他們的對(duì)于“夸克”的不可見(jiàn)性的解釋中應(yīng)用的“質(zhì)量缺口”假設(shè)，從來(lái)沒(méi)有得到一個(gè)數(shù)學(xué)上令人滿意的證實(shí)。在這一問(wèn)題上的進(jìn)展需要在物理上和數(shù)學(xué)上兩方面引進(jìn)根本上的新觀念。
　　“千年難題”之六：納維葉－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性
　　起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現(xiàn)代噴氣式飛機(jī)的飛行。數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家深信，無(wú)論是微風(fēng)還是湍流，都可以通過(guò)理解納維葉－斯托克斯方程的解，來(lái)對(duì)它們進(jìn)行解釋和預(yù)言。雖然這些方程是19世紀(jì)寫(xiě)下的，我們對(duì)它們的理解仍然極少。挑戰(zhàn)在于對(duì)數(shù)學(xué)理論作出實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，使我們能解開(kāi)隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。
　　“千年難題”之七：貝赫(Birch)和斯維訥通－戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想
　　數(shù)學(xué)家總是被諸如x2+y2=z2那樣的代數(shù)方程的所有整數(shù)解的刻畫(huà)問(wèn)題著迷。歐幾里德曾經(jīng)對(duì)這一方程給出完全的解答，但是對(duì)于更為復(fù)雜的方程，這就變得極為困難。事實(shí)上，正如馬蒂雅謝維奇指出，希爾伯特第十問(wèn)題是不可解的，即，不存在一般的方法來(lái)確定這樣的方法是否有一個(gè)整數(shù)解。當(dāng)解是一個(gè)阿貝爾簇的點(diǎn)時(shí)，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認(rèn)為，有理點(diǎn)的群的大小與一個(gè)有關(guān)的蔡塔函數(shù)z(s)在點(diǎn)s=1附近的性態(tài)。特別是，這個(gè)有趣的猜想認(rèn)為，如果z(1)等于0,那么存在無(wú)限多個(gè)有理點(diǎn)(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多個(gè)這樣的點(diǎn)。
世界數(shù)學(xué)難題
 懸賞分：5 - 提問(wèn)時(shí)間2007-4-12 22:39 問(wèn)題為何被關(guān)閉
聽(tīng)說(shuō)”哥德巴赫猜想”被列為”世界23個(gè)數(shù)學(xué)難題之一”，請(qǐng)問(wèn)其他22個(gè)是什么．請(qǐng)一一詳細(xì)說(shuō)明．（只要說(shuō)出題目，并說(shuō)出它到底已解決了沒(méi)．）

提問(wèn)者： K1JJJJ - 魔法學(xué)徒 一級(jí) 答復(fù) 共 6 條
（1）康托的連續(xù)統(tǒng)基數(shù)問(wèn)題。

1874年，康托猜測(cè)在可數(shù)集基數(shù)和實(shí)數(shù)集基數(shù)之間沒(méi)有別的基數(shù)，即著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。1938年，僑居美國(guó)的奧地利數(shù)理邏輯學(xué)家哥德?tīng)栕C明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF集合論公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。1963年，美國(guó)數(shù)學(xué)家科思（P.Choen）證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF公理彼此獨(dú)立。因而，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能用ZF公理加以證明。在這個(gè)意義下，問(wèn)題已獲解決。

（2）算術(shù)公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。

歐氏幾何的無(wú)矛盾性可以歸結(jié)為算術(shù)公理的無(wú)矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義計(jì)劃的證明論方法加以證明，哥德?tīng)?931年發(fā)表不完備性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限歸納法證明了算術(shù)公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。

（3）只根據(jù)合同公理證明等底等高的兩個(gè)四面體有相等之體積是不可能的。

問(wèn)題的意思是：存在兩個(gè)登高等底的四面體，它們不可能分解為有限個(gè)小四面體，使這兩組四面體彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解決。

（4）兩點(diǎn)間以直線為距離最短線問(wèn)題。

此問(wèn)題提的一般。滿足此性質(zhì)的幾何很多，因而需要加以某些限制條件。1973年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在對(duì)稱(chēng)距離情況下，問(wèn)題獲解決。

（5）拓?fù)鋵W(xué)成為李群的條件（拓?fù)淙海?

這一個(gè)問(wèn)題簡(jiǎn)稱(chēng)連續(xù)群的解析性，即是否每一個(gè)局部歐氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥馬利（Montgomery）、齊賓（Zippin）共同解決。1953年，日本的山邁英彥已得到完全肯定的結(jié)果。

（6）對(duì)數(shù)學(xué)起重要作用的物理學(xué)的公理化。

1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸驅(qū)⒏怕收摴砘?。后?lái)，在量子力學(xué)、量子場(chǎng)論方面取得成功。但對(duì)物理學(xué)各個(gè)分支能否全盤(pán)公理化，很多人有懷疑。

（7）某些數(shù)的超越性的證明。

需證：如果α是代數(shù)數(shù)，β是無(wú)理數(shù)的代數(shù)數(shù)，那么αβ一定是超越數(shù)或至少是無(wú)理數(shù)（例如，2√2和eπ）。蘇聯(lián)的蓋爾封特（Gelfond）1929年、德國(guó)的施奈德（Schneider）及西格爾（Siegel）1935年分別獨(dú)立地證明了其正確性。但超越數(shù)理論還遠(yuǎn)未完成。目前，確定所給的數(shù)是否超越數(shù)，尚無(wú)統(tǒng)一的方法。

（8）素?cái)?shù)分布問(wèn)題，尤其對(duì)黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素共問(wèn)題。

素?cái)?shù)是一個(gè)很古老的研究領(lǐng)域。希爾伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孿生素?cái)?shù)問(wèn)題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素?cái)?shù)問(wèn)題目前也未最終解決，其最佳結(jié)果均屬中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)。

（9）一般互反律在任意數(shù)域中的證明。

1921年由日本的高木貞治，1927年由德國(guó)的阿廷（E.Artin）各自給以基本解決。而類(lèi)域理論至今還在發(fā)展之中。

（10）能否通過(guò)有限步驟來(lái)判定不定方程是否存在有理整數(shù)解？

求出一個(gè)整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)根，稱(chēng)為丟番圖（約210-290，古希臘數(shù)學(xué)家）方程可解。1950年前后，美國(guó)數(shù)學(xué)家戴維斯（Davis）、普特南（Putnan）、羅賓遜（Robinson）等取得關(guān)鍵性突破。1970年，巴克爾（Baker）、費(fèi)羅斯（Philos）對(duì)含兩個(gè)未知數(shù)的方程取得肯定結(jié)論。1970年。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況答案是否定的。盡管得出了否定的結(jié)果，卻產(chǎn)生了一系列很有價(jià)值的副產(chǎn)品，其中不少和計(jì)算機(jī)科學(xué)有密切聯(lián)系。

（11）一般代數(shù)數(shù)域內(nèi)的二次型論。

德國(guó)數(shù)學(xué)家哈塞（Hasse）和西格爾（Siegel）在20年代獲重要結(jié)果。60年代，法國(guó)數(shù)學(xué)家魏依（A.Weil）取得了新進(jìn)展。

（12）類(lèi)域的構(gòu)成問(wèn)題。

即將阿貝爾域上的克羅內(nèi)克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去。此問(wèn)題僅有一些零星結(jié)果，離徹底解決還很遠(yuǎn)。

（13）一般七次代數(shù)方程以二變量連續(xù)函數(shù)之組合求解的不可能性。

七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依賴(lài)于3個(gè)參數(shù)a、b、c；x=x(a,b,c)。這一函數(shù)能否用兩變量函數(shù)表示出來(lái)？此問(wèn)題已接近解決。1957年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德（Arnold）證明了任一在〔0，1〕上連續(xù)的實(shí)函數(shù)f(x1，x2，x3)可寫(xiě)成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9)，這里hi和ξi為連續(xù)實(shí)函數(shù)?？?tīng)柲缏宸蜃C明f(x1，x2，x3)可寫(xiě)成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)這里hi和ξi為連續(xù)實(shí)函數(shù)，ξij的選取可與f完全無(wú)關(guān)。1964年，維土斯金（Vituskin）推廣到連續(xù)可微情形，對(duì)解析函數(shù)情形則未解決。

（14）某些完備函數(shù)系的有限的證明。

即域K上的以x1,x2,…,xn為自變量的多項(xiàng)式fi（i=1,…，m），R為K〔X1，…，Xm]上的有理函數(shù)F（X1，…，Xm）構(gòu)成的環(huán)，并且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]試問(wèn)R是否可由有限個(gè)元素F1，…，F(xiàn)N的多項(xiàng)式生成？這個(gè)與代數(shù)不變量問(wèn)題有關(guān)的問(wèn)題，日本數(shù)學(xué)家永田雅宜于1959年用漂亮的反例給出了否定的解決。

（15）建立代數(shù)幾何學(xué)的基礎(chǔ)。

荷蘭數(shù)學(xué)家范德瓦爾登1938年至1940年，魏依1950年已解決。

（15）注一舒伯特（Schubert）計(jì)數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ)。

一個(gè)典型的問(wèn)題是：在三維空間中有四條直線，問(wèn)有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個(gè)直觀的解法。希爾伯特要求將問(wèn)題一般化，并給以嚴(yán)格基礎(chǔ)?，F(xiàn)在已有了一些可計(jì)算的方法，它和代數(shù)幾何學(xué)有密切的關(guān)系。但嚴(yán)格的基礎(chǔ)至今仍未建立。

（16）代數(shù)曲線和曲面的拓?fù)溲芯俊?

此問(wèn)題前半部涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目。后半部要求討論備dx/dy=Y/X的極限環(huán)的最多個(gè)數(shù)N（n）和相對(duì)位置，其中X、Y是x、y的n次多項(xiàng)式。對(duì)n=2（即二次系統(tǒng)）的情況，1934年福羅獻(xiàn)爾得到N(2)≥1；1952年鮑廷得到N(2)≥3；1955年蘇聯(lián)的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，這個(gè)曾震動(dòng)一時(shí)的結(jié)果，由于其中的若干引理被否定而成疑問(wèn)。關(guān)于相對(duì)位置，中國(guó)數(shù)學(xué)家董金柱、葉彥謙1957年證明了（E2）不超過(guò)兩串。1957年，中國(guó)數(shù)學(xué)家秦元?jiǎng)缀推迅唤鹁唧w給出了n＝2的方程具有至少3個(gè)成串極限環(huán)的實(shí)例。1978年，中國(guó)的史松齡在秦元?jiǎng)?、華羅庚的指導(dǎo)下，與王明淑分別舉出至少有4個(gè)極限環(huán)的具體例子。1983年，秦元?jiǎng)走M(jìn)一步證明了二次系統(tǒng)最多有4個(gè)極限環(huán)，并且是（1，3）結(jié)構(gòu)，從而最終地解決了二次微分方程的解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，并為研究希爾伯特第（16）問(wèn)題提供了新的途徑。

（17）半正定形式的平方和表示。

實(shí)系數(shù)有理函數(shù)f(x1,…，xn)對(duì)任意數(shù)組（x1，…,xn）都恒大于或等于0，確定f是否都能寫(xiě)成有理函數(shù)的平方和？1927年阿廷已肯定地解決。

（18）用全等多面體構(gòu)造空間。

德國(guó)數(shù)學(xué)家比貝爾巴赫（Bieberbach）1910年，萊因哈特（Reinhart）1928年作出部分解決。

（19）正則變分問(wèn)題的解是否總是解析函數(shù)？

德國(guó)數(shù)學(xué)家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家彼德羅夫斯基（1939）已解決。

（20）研究一般邊值問(wèn)題。

此問(wèn)題進(jìn)展迅速，己成為一個(gè)很大的數(shù)學(xué)分支。日前還在繼讀發(fā)展。

（21）具有給定奇點(diǎn)和單值群的Fuchs類(lèi)的線性微分方程解的存在性證明。

此問(wèn)題屬線性常微分方程的大范圍理論。希爾伯特本人于1905年、勒爾（H.Rohrl）于1957年分別得出重要結(jié)果。1970年法國(guó)數(shù)學(xué)家德利涅（Deligne）作出了出色貢獻(xiàn)。

（22）用自守函數(shù)將解析函數(shù)單值化。

此問(wèn)題涉及艱深的黎曼曲面理論，1907年克伯（P.Koebe）對(duì)一個(gè)變量情形已解決而使問(wèn)題的研究獲重要突破。其它方面尚未解決。

（23）發(fā)展變分學(xué)方法的研究。

這不是一個(gè)明確的數(shù)學(xué)問(wèn)題。20世紀(jì)變分法有了很大發(fā)展。
希爾伯特23個(gè)問(wèn)題及解決情況
1900年希爾伯特應(yīng)邀參加巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)并在會(huì)上作了題為《數(shù)學(xué)問(wèn)題》重要演講。在這具有歷史意義的演講中，首先他提出許多重要的思想：
正如人類(lèi)的每一項(xiàng)事業(yè)都追求著確定的目標(biāo)一樣，數(shù)學(xué)研究也需要自己的問(wèn)題。正是通過(guò)這些問(wèn)題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意志，發(fā)現(xiàn)新觀點(diǎn)，達(dá)到更為廣闊的自由的境界。

希爾伯特特別強(qiáng)調(diào)重大問(wèn)題在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用，他指出：“如果我們想對(duì)最近的將來(lái)數(shù)學(xué)知識(shí)可能的發(fā)展有一個(gè)概念，那就必須回顧一下當(dāng)今科學(xué)提出的，希望在將來(lái)能夠解決的問(wèn)題。” 同時(shí)又指出：“某類(lèi)問(wèn)題對(duì)于一般數(shù)學(xué)進(jìn)程的深遠(yuǎn)意義以及它們?cè)谘芯空邆€(gè)人的工作中所起的重要作用是不可否認(rèn)的。只要一門(mén)科學(xué)分支能提出大量的問(wèn)題，它就充滿生命力，而問(wèn)題缺乏則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的衰亡或中止。”

他闡述了重大問(wèn)題所具有的特點(diǎn)，好的問(wèn)題應(yīng)具有以下三個(gè)特征：

清晰性和易懂性；
雖困難但又給人以希望；
意義深遠(yuǎn)。
同時(shí)他分析了研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常會(huì)遇到的困難及克服困難的一些方法。就是在這次會(huì)議上他提出了在新世紀(jì)里數(shù)學(xué)家應(yīng)努力去解決的23個(gè)問(wèn)題，即著名的“希爾伯特23個(gè)問(wèn)題”。

編號(hào) 問(wèn)題 推動(dòng)發(fā)展的領(lǐng)域 解決的情況
1 連續(xù)統(tǒng)假設(shè) 公理化集合論 1963年，Paul J.Cohen 在下述意義下證明了第一個(gè)問(wèn)題是不可解的。即連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的真?zhèn)尾豢赡茉赯ermelo_Fraenkel公理系統(tǒng)內(nèi)判定。
2 算術(shù)公理的相容性 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 希爾伯特證明算術(shù)公理的相容性的設(shè)想，后來(lái)發(fā)展為系統(tǒng)的Hilbert計(jì)劃（“元數(shù)學(xué)”或“證明論”）但1931年歌德?tīng)柕?#8220;不完備定理”指出了用“元數(shù)學(xué)”證明算術(shù)公理的相容性之不可能。數(shù)學(xué)的相容性問(wèn)題至今未解決。
3 兩等高等底的四面體體積之相等 幾何基礎(chǔ) 這問(wèn)題很快（1900）即由希爾伯特的學(xué)生M.Dehn給出了肯定的解答。
4 直線作為兩點(diǎn)間最短距離問(wèn)題 幾何基礎(chǔ) 這一問(wèn)題提得過(guò)于一般。希爾伯特之后，許多數(shù)學(xué)家致力于構(gòu)造和探索各種特殊的度量幾何，在研究第四問(wèn)題上取得很大進(jìn)展，但問(wèn)題并未完全解決。
5 不要定義群的函數(shù)的可微性假設(shè)的李群概念 拓?fù)淙赫?經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的努力，這個(gè)問(wèn)題于1952年由Gleason, Montqomery , Zipping等人最后解決，答案是肯定的。
6 物理公理的數(shù)學(xué)處理 數(shù)學(xué)物理 在量子力學(xué)、熱力學(xué)等領(lǐng)域，公理化方法已獲得很大成功，但一般地說(shuō)，公理化的物理意味著什么，仍是需要探討的問(wèn)題。概率論的公理化已由A.H.Konmoropob等人建立。
7 某些數(shù)的無(wú)理性與超越性 超越數(shù)論 1934年A.O.temohm 和Schneieder各自獨(dú)立地解決了這問(wèn)題的后半部分。
8 素?cái)?shù)問(wèn)題 數(shù)論 一般情況下的Riemann猜想至今仍是猜想。包括在第八問(wèn)題中的Goldbach問(wèn)題至今也未解決。中國(guó)數(shù)學(xué)家在這方面做了一系列出色的工作。
9 任意數(shù)域中最一般的互反律之證明 類(lèi)域論 已由高木貞治(1921)和E.Artin(1927)解決.
10 Diophantius方程可解性的判別 不定分析 1970年由蘇、美數(shù)學(xué)家證明Hilbert所期望的一般算法是不存在的。
11 系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型 二次型理論 H.Hasse(1929)和C. L.Siegel(1936,1951)在這問(wèn)題上獲得了重要的結(jié)果。
12 Abel域上 kroneker定理推廣到任意代數(shù)有理域。 復(fù)乘法理論 尚未解決。
13 不可能用只有兩個(gè)變數(shù)的函數(shù)解一般的七次方程。 方程論與實(shí)函數(shù)論 連續(xù)函數(shù)情形于1957年由蘇數(shù)學(xué)家否定解決，如要求是解析函數(shù)，則問(wèn)題仍未解決。
14 證明某類(lèi)完全函數(shù)系的有限性 代數(shù)不變式理論 1958年永田雅宜給出了否定解決。
15 Schubert記數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ) 代數(shù)幾何學(xué) 由于許多數(shù)學(xué)家的努力，Schubert演算的基礎(chǔ)的純代數(shù)處理已有可能，但Schubert演算的合理性仍待解決。至于代數(shù)幾何的基礎(chǔ)，已由B.L.Vander Waerden(1938-40)與 A.Weil(1950)建立。
16 代數(shù)曲線與曲面的拓?fù)?曲線與曲面的拓?fù)鋵W(xué)、常微分方程的定性理論 問(wèn)題的前半部分，近年來(lái)不斷有重要結(jié)果。
17 正定形式的平方表示式 域（實(shí)域）論 已由Artin 于1926年解決。
18 由全等多面體構(gòu)造空間 結(jié)晶體群理論 部分解決。
19 正則變分問(wèn)題的解是否一定解析 橢圓型偏微分方程理論 這個(gè)問(wèn)題在某種意義上已獲解決。
20 一般邊值問(wèn)題 橢圓型偏微分方程理論 偏微分方程邊值問(wèn)題的研究正在蓬勃發(fā)展。
21 具有給定單值群的線性偏微分方程的存在性 線性常微分方程大范圍理論 已由Hilbert本人（1905）年和 H.Rohrl(德，1957)解決。
22 解析關(guān)系的單值化 Riemann 曲面體 一個(gè)變數(shù)的情形已由 P.Koebe (德，1907)解決。
23 變分法的進(jìn)一步發(fā)展 變分法 Hilbert本人和許多數(shù)學(xué)家對(duì)變分法的發(fā)展作出了重要的貢獻(xiàn)。


百年前的數(shù)學(xué)家大會(huì)與希爾伯特的問(wèn)題
熊衛(wèi)民

21世紀(jì)第一次國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)馬上就要在北京召開(kāi)了，它將給本世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展帶來(lái)些什么？能像20世紀(jì)的第一次國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)那樣左右數(shù)學(xué)發(fā)展的方向嗎？ 一個(gè)世紀(jì)前的那次數(shù)學(xué)家大會(huì)之所以永載史冊(cè)，完全是因?yàn)橐粋€(gè)人，因?yàn)樗囊粋€(gè)報(bào)告——希爾伯特（David Hilbert）和他的《數(shù)學(xué)問(wèn)題》。

1900年，希爾伯特在巴黎召開(kāi)的第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了他著名的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。在隨后的半個(gè)世紀(jì)中，許多世界一流的數(shù)學(xué)頭腦都圍著它們轉(zhuǎn)。其情形正如另一位非常著名的數(shù)學(xué)家外爾（H. Weyl）所說(shuō)：“希爾伯特吹響了他的魔笛，成群的老鼠紛紛跟著他躍進(jìn)了那條河。”這也難怪，他所提出的問(wèn)題都那么清晰、那么易懂，其中一些有趣得令許多外行都躍躍欲試，而且解決其中任意一個(gè)，或者在任意一個(gè)問(wèn)題上有重大突破，立即就能名滿天下——我國(guó)的陳景潤(rùn)就因?yàn)樵诮鉀Q希爾伯特第8個(gè)問(wèn)題（即素?cái)?shù)問(wèn)題，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等）上有重大貢獻(xiàn)而為世人所側(cè)目。人們?cè)诳偨Y(jié)二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展，尤其是二十世紀(jì)上半葉數(shù)學(xué)的發(fā)展時(shí)，通常都以希爾伯特所提的問(wèn)題為航標(biāo)。

其實(shí)這些問(wèn)題絕大部分業(yè)已存在，并不是希爾伯特首先提出來(lái)的。但他站在更高的層面，用更尖銳、更簡(jiǎn)單的方式重新提出了這些問(wèn)題，并指出了其中許多問(wèn)題的解決方向。

數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的問(wèn)題是極多的，究竟哪些更重要、更基本？做出這樣的選擇需要敏銳的洞察力。為什么希爾伯特能如此目光如炬？數(shù)學(xué)史家、中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員、《希爾伯特——數(shù)學(xué)王國(guó)中的亞歷山大》一書(shū)的譯者袁向東先生（和李文林先生合譯）認(rèn)為，這是因?yàn)橄柌厥菙?shù)學(xué)王國(guó)中的亞歷山大！數(shù)學(xué)家可分為兩類(lèi)，一類(lèi)擅長(zhǎng)解決數(shù)學(xué)中的難題，另一類(lèi)擅長(zhǎng)對(duì)現(xiàn)有狀況做出理論總結(jié)，兩大類(lèi)中又均可細(xì)分為一流、二流、三流。希爾伯特兩者兼長(zhǎng)，幾乎走遍了現(xiàn)代數(shù)學(xué)所有前沿陣地，在多個(gè)差異很大的數(shù)學(xué)分支中都留下了他那顯赫的名字，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的大背景了如指掌，對(duì)所提及的許多問(wèn)題都有深入的研究，是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的“王”。

為什么希爾伯特要在大會(huì)上總結(jié)數(shù)學(xué)的基本問(wèn)題，而不像常人一樣宣講自己的某項(xiàng)成果？袁向東告訴記者，這和另一位數(shù)學(xué)巨匠龐加萊(Henri Poincaré)有關(guān)，龐加萊在1897年舉行的第一屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上做的是應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的報(bào)告。他們兩人是當(dāng)時(shí)國(guó)際數(shù)學(xué)界中的雙子星座，均為領(lǐng)袖級(jí)人物，當(dāng)然也存在一定的競(jìng)爭(zhēng)心理——既然龐加萊講述的是自己對(duì)物理、數(shù)學(xué)關(guān)系的一般看法，那么希爾伯特就為純粹數(shù)學(xué)做一些辯護(hù)。

龐加萊是法國(guó)人，希爾伯特是德國(guó)人，法、德兩國(guó)有世仇，所以他們之間的競(jìng)爭(zhēng)還帶上了一種國(guó)與國(guó)競(jìng)爭(zhēng)的味道。雖然他們兩人非常尊重對(duì)方，這一點(diǎn)在他們身上體現(xiàn)得不明顯，但他們的學(xué)生和老師常常這樣看。

希爾伯特的老師克萊茵（Felix Klein）就是一個(gè)民族感非常強(qiáng)的人，他非常強(qiáng)調(diào)德意志數(shù)學(xué)的發(fā)展，想讓國(guó)際數(shù)學(xué)界變成橢圓——以前是圓形，圓心為巴黎；現(xiàn)在他想讓自己所在的哥廷根市也成為世界數(shù)學(xué)的中心，使數(shù)學(xué)世界變成有兩個(gè)圓心的橢圓。

在希爾伯特及其親密朋友閔可夫斯基(Hermann Minkowski)的幫助下，克萊茵實(shí)現(xiàn)了自己的目標(biāo)——1900年時(shí)，希爾伯特就已經(jīng)和法國(guó)最偉大的數(shù)學(xué)家龐加萊齊名，而克萊茵本人和馬上就要來(lái)到哥廷根的閔可夫斯基也是極有影響的數(shù)學(xué)家。事實(shí)上，他們?cè)诘聡?guó)號(hào)稱(chēng)“無(wú)敵三教授”。

從一個(gè)例子可以想見(jiàn)他們的魅力。

某天，在談及拓?fù)鋵W(xué)著名定理——四色定理時(shí)，閔可夫斯基突然靈機(jī)一動(dòng)，于是對(duì)滿堂的學(xué)生說(shuō)：“這條定理還沒(méi)有得到證明，因?yàn)榈侥壳盀橹惯€只有一些三流數(shù)學(xué)家對(duì)它進(jìn)行過(guò)研究?，F(xiàn)在由我來(lái)證明它。”然后他拿起粉筆當(dāng)場(chǎng)證明這條定理。這堂課結(jié)束后，他還沒(méi)有證完。下堂課他繼續(xù)證，這樣一直持續(xù)了幾周。最后，在一個(gè)陰雨的早晨，他一走上講臺(tái)天空就出現(xiàn)了一道霹靂。“老天也被我的傲慢激怒了，”他說(shuō)，“我的證明也是不完全的。”（該定理直到1994年才用計(jì)算機(jī)證明出來(lái)。）

1912年，龐加萊逝世。世界數(shù)學(xué)的中心進(jìn)一步向哥廷根偏移，數(shù)學(xué)界似乎又變成了一個(gè)圓——不過(guò)圓心換成了哥廷根。此時(shí)，哥廷根學(xué)派的名聲如日中天，在數(shù)學(xué)青年中流行的口號(hào)是“打起你的鋪蓋，到哥廷根去！”

一個(gè)世紀(jì)過(guò)去了，希爾伯特所列的那23個(gè)問(wèn)題約有一半問(wèn)題已經(jīng)解決，其余一半的大多數(shù)也都有重大進(jìn)展。但希爾伯特本人沒(méi)有解決其中的任意一個(gè)。有人問(wèn)他，為什么他不去解決自己所提的問(wèn)題，譬如說(shuō)費(fèi)馬大定理？

費(fèi)馬是在一頁(yè)書(shū)的空白處寫(xiě)下該定理的，他同時(shí)宣稱(chēng)自己已經(jīng)想出了一個(gè)美妙的證法，但可惜的是空白區(qū)不夠大，寫(xiě)不下了。希爾伯特的回答同樣幽默：“我不想殺掉這只會(huì)下金蛋的母雞”——德國(guó)一企業(yè)家建了一個(gè)基金會(huì)獎(jiǎng)勵(lì)第一個(gè)解決費(fèi)馬大定律者，希爾伯特時(shí)任該基金會(huì)的主席，每年利用該項(xiàng)基金的利息請(qǐng)優(yōu)秀學(xué)者去哥廷根講學(xué)，所以對(duì)他而言，費(fèi)馬大定律者是只會(huì)下金蛋的母雞。（費(fèi)馬大定律直到1997年才被解決。）

在列出23個(gè)問(wèn)題之前，希爾伯特已經(jīng)是國(guó)際數(shù)學(xué)界公認(rèn)的領(lǐng)軍人物，已經(jīng)在數(shù)學(xué)的諸多領(lǐng)域取得多項(xiàng)重要成果。他的其它貢獻(xiàn)，譬如他的公理化主張、形式主義構(gòu)想、《幾何基礎(chǔ)》一書(shū)等等，都對(duì)20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展有著深遠(yuǎn)的影響。

1 21世紀(jì)七大數(shù)學(xué)難題
21世紀(jì)七大數(shù)學(xué)難題
最近美國(guó)麻州的克雷（Clay）數(shù)學(xué)研究所于2000年5月24日在巴黎法蘭西學(xué)院宣布了一件被媒體炒得火熱的大事：對(duì)七個(gè)“千僖年數(shù)學(xué)難題”的每一個(gè)懸賞一百萬(wàn)美元。以下是這七個(gè)難題的簡(jiǎn)單介紹。
“千僖難題”之一：P（多項(xiàng)式算法）問(wèn)題對(duì)NP（非多項(xiàng)式算法）問(wèn)題
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在一個(gè)周六的晚上，你參加了一個(gè)盛大的晚會(huì)。由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經(jīng)認(rèn)識(shí)的人。你的主人向你提議說(shuō)，你一定認(rèn)識(shí)那位正在甜點(diǎn)盤(pán)附近角落的女士羅絲。不費(fèi)一秒鐘，你就能向那里掃視，并且發(fā)現(xiàn)你的主人是正確的。然而，如果沒(méi)有這樣的暗示，你就必須環(huán)顧整個(gè)大廳，一個(gè)個(gè)地審視每一個(gè)人，看是否有你認(rèn)識(shí)的人。生成問(wèn)題的一個(gè)解通常比驗(yàn)證一個(gè)給定的解時(shí)間花費(fèi)要多得多。這是這種一般現(xiàn)象的一個(gè)例子。與此類(lèi)似的是，如果某人告訴你，數(shù)13，717，421可以寫(xiě)成兩個(gè)較小的數(shù)的乘積，你可能不知道是否應(yīng)該相信他，但是如果他告訴你它可以因子分解為3607乘上3803，那么你就可以用一個(gè)袖珍計(jì)算器容易驗(yàn)證這是對(duì)的。不管我們編寫(xiě)程序是否靈巧，判定一個(gè)答案是可以很快利用內(nèi)部知識(shí)來(lái)驗(yàn)證，還是沒(méi)有這樣的提示而需要花費(fèi)大量時(shí)間來(lái)求解，被看作邏輯和計(jì)算機(jī)科學(xué)中最突出的問(wèn)題之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陳述的。
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“千僖難題”之二： 霍奇(Hodge)猜想
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二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了研究復(fù)雜對(duì)象的形狀的強(qiáng)有力的辦法?；鞠敕ㄊ菃?wèn)在怎樣的程度上，我們可以把給定對(duì)象的形狀通過(guò)把維數(shù)不斷增加的簡(jiǎn)單幾何營(yíng)造塊粘合在一起來(lái)形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來(lái)推廣；最終導(dǎo)至一些強(qiáng)有力的工具，使數(shù)學(xué)家在對(duì)他們研究中所遇到的形形色色的對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)時(shí)取得巨大的進(jìn)展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發(fā)點(diǎn)變得模糊起來(lái)。在某種意義下，必須加上某些沒(méi)有任何幾何解釋的部件?；羝娌孪霐嘌?，對(duì)于所謂射影代數(shù)簇這種特別完美的空間類(lèi)型來(lái)說(shuō)，稱(chēng)作霍奇閉鏈的部件實(shí)際上是稱(chēng)作代數(shù)閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。
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“千僖難題”之三： 龐加萊(Poincare)猜想
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如果我們伸縮圍繞一個(gè)蘋(píng)果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開(kāi)表面，使它慢慢移動(dòng)收縮為一個(gè)點(diǎn)。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個(gè)輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒(méi)有辦法把它收縮到一點(diǎn)的。我們說(shuō)，蘋(píng)果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來(lái)刻畫(huà)，他提出三維球面(四維空間中與原點(diǎn)有單位距離的點(diǎn)的全體)的對(duì)應(yīng)問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題立即變得無(wú)比困難，從那時(shí)起，數(shù)學(xué)家們就在為此奮斗。
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“千僖難題”之四： 黎曼(Riemann)假設(shè)
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有些數(shù)具有不能表示為兩個(gè)更小的數(shù)的乘積的特殊性質(zhì)，例如，2,3,5,7,等等。這樣的數(shù)稱(chēng)為素?cái)?shù)；它們?cè)诩償?shù)學(xué)及其應(yīng)用中都起著重要作用。在所有自然數(shù)中，這種素?cái)?shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式；然而，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼(1826~1866)觀察到，素?cái)?shù)的頻率緊密相關(guān)于一個(gè)精心構(gòu)造的所謂黎曼蔡塔函數(shù)z(s$的性態(tài)。著名的黎曼假設(shè)斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點(diǎn)已經(jīng)對(duì)于開(kāi)始的1,500,000,000個(gè)解驗(yàn)證過(guò)。證明它對(duì)于每一個(gè)有意義的解都成立將為圍繞素?cái)?shù)分布的許多奧秘帶來(lái)光明。
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“千僖難題”之五： 楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質(zhì)量缺口
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量子物理的定律是以經(jīng)典力學(xué)的牛頓定律對(duì)宏觀世界的方式對(duì)基本粒子世界成立的。大約半個(gè)世紀(jì)以前，楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn)，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對(duì)象的數(shù)學(xué)之間的令人注目的關(guān)系?；跅睿谞査狗匠痰念A(yù)言已經(jīng)在如下的全世界范圍內(nèi)的實(shí)驗(yàn)室中所履行的高能實(shí)驗(yàn)中得到證實(shí)：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的方程沒(méi)有已知的解。特別是，被大多數(shù)物理學(xué)家所確認(rèn)、并且在他們的對(duì)于“夸克”的不可見(jiàn)性的解釋中應(yīng)用的“質(zhì)量缺口”假設(shè)，從來(lái)沒(méi)有得到一個(gè)數(shù)學(xué)上令人滿意的證實(shí)。在這一問(wèn)題上的進(jìn)展需要在物理上和數(shù)學(xué)上兩方面引進(jìn)根本上的新觀念。
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“千僖難題”之六： 納維葉－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性
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起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現(xiàn)代噴氣式飛機(jī)的飛行。數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家深信，無(wú)論是微風(fēng)還是湍流，都可以通過(guò)理解納維葉－斯托克斯方程的解，來(lái)對(duì)它們進(jìn)行解釋和預(yù)言。雖然這些方程是19世紀(jì)寫(xiě)下的，我們對(duì)它們的理解仍然極少。挑戰(zhàn)在于對(duì)數(shù)學(xué)理論作出實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，使我們能解開(kāi)隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。
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“千僖難題”之七： 貝赫(Birch)和斯維訥通－戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想
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數(shù)學(xué)家總是被諸如x^2+y^2=z^2那樣的代數(shù)方程的所有整數(shù)解的刻畫(huà)問(wèn)題著迷。歐幾里德曾經(jīng)對(duì)這一方程給出完全的解答，但是對(duì)于更為復(fù)雜的方程，這就變得極為困難。事實(shí)上，正如馬蒂雅謝維奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希爾伯特第十問(wèn)題是不可解的，即，不存在一般的方法來(lái)確定這樣的方法是否有一個(gè)整數(shù)解。當(dāng)解是一個(gè)阿貝爾簇的點(diǎn)時(shí)，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認(rèn)為，有理點(diǎn)的群的大小與一個(gè)有關(guān)的蔡塔函數(shù)z(s)在點(diǎn)s=1附近的性態(tài)。特別是，這個(gè)有趣的猜想認(rèn)為，如果z(1)等于0,那么存在無(wú)限多個(gè)有理點(diǎn)(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多個(gè)這樣的點(diǎn)。
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數(shù)學(xué)難題
[編輯本段]世界近代三大數(shù)學(xué)難題
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1、費(fèi)爾馬大定理
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　　費(fèi)爾馬大定理起源于三百多年前，挑戰(zhàn)人類(lèi)3個(gè)世紀(jì)，多次震驚全世界，耗盡人類(lèi)眾多最杰出大腦的精力，也讓千千萬(wàn)萬(wàn)業(yè)余者癡迷。終于在1994年被安德魯·懷爾斯攻克。古希臘的丟番圖寫(xiě)過(guò)一本著名的“算術(shù)”，經(jīng)歷中世紀(jì)的愚昧黑暗到文藝復(fù)興的時(shí)候，“算術(shù)”的殘本重新被發(fā)現(xiàn)研究。
　　1637年，法國(guó)業(yè)余大數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬（Pierre de Fremat）在“算術(shù)”的關(guān)于勾股數(shù)問(wèn)題的頁(yè)邊上，寫(xiě)下猜想：x^n＋ y^n ＝z^n 是不可能的（這里n大于2；x，y，z，n都是非零整數(shù))。此猜想后來(lái)就稱(chēng)為費(fèi)爾馬大定理。費(fèi)爾馬還寫(xiě)道“我對(duì)此有絕妙的證明，但此頁(yè)邊太窄寫(xiě)不下”。一般公認(rèn)，他當(dāng)時(shí)不可能有正確的證明。猜想提出后，經(jīng)歐拉等數(shù)代天才努力，200年間只解決了n＝3,4,5,7四種情形。1847年，庫(kù)木爾創(chuàng)立“代數(shù)數(shù)論”這一現(xiàn)代重要學(xué)科，對(duì)許多n（例如100以內(nèi)）證明了費(fèi)爾馬大定理，是一次大飛躍。
　　歷史上費(fèi)爾馬大定理高潮迭起，傳奇不斷。其驚人的魅力，曾在最后時(shí)刻挽救自殺青年于不死。他就是德國(guó)的沃爾夫斯克勒，他后來(lái)為費(fèi)爾馬大定理設(shè)懸賞10萬(wàn)馬克（相當(dāng)于現(xiàn)在160萬(wàn)美元多），期限1908－2007年。無(wú)數(shù)人耗盡心力，空留浩嘆。最現(xiàn)代的電腦加數(shù)學(xué)技巧，驗(yàn)證了400萬(wàn)以內(nèi)的N，但這對(duì)最終證明無(wú)濟(jì)于事。1983年德國(guó)的法爾廷斯證明了：對(duì)任一固定的n，最多只有有限多個(gè)x，y，z振動(dòng)了世界，獲得費(fèi)爾茲獎(jiǎng)（數(shù)學(xué)界最高獎(jiǎng)）。
　　歷史的新轉(zhuǎn)機(jī)發(fā)生在1986年夏，貝克萊·瑞波特證明了:費(fèi)爾馬大定理包含在“谷山豐—志村五朗猜想 ” 之中。童年就癡迷于此的懷爾斯，聞此立刻潛心于頂樓書(shū)房7年，曲折卓絕，匯集了20世紀(jì)數(shù)論所有的突破性成果。終于在1993年6月23日劍橋大學(xué)牛頓研究所的“世紀(jì)演講”最后，宣布證明了費(fèi)爾馬大定理。立刻震動(dòng)世界，普天同慶。不幸的是，數(shù)月后逐漸發(fā)現(xiàn)此證明有漏洞，一時(shí)更成世界焦點(diǎn)。這個(gè)證明體系是千萬(wàn)個(gè)深?yuàn)W數(shù)學(xué)推理連接成千個(gè)最現(xiàn)代的定理、事實(shí)和計(jì)算所組成的千百回轉(zhuǎn)的邏輯網(wǎng)絡(luò)，任何一環(huán)節(jié)的問(wèn)題都會(huì)導(dǎo)致前功盡棄。懷爾斯絕境搏斗，毫無(wú)出路。1994年9月19日，星期一的早晨，懷爾斯在思維的閃電中突然找到了迷失的鑰匙：解答原來(lái)就在廢墟中！他熱淚奪眶而出。懷爾斯的歷史性長(zhǎng)文“模橢圓曲線和費(fèi)爾馬大定理”1995年5月發(fā)表在美國(guó)《數(shù)學(xué)年刊》第142卷，實(shí)際占滿了全卷，共五章，130頁(yè)。1997年6月27日，懷爾斯獲得沃爾夫斯克勒10萬(wàn)馬克懸賞大獎(jiǎng)。離截止期10年，圓了歷史的夢(mèng)。他還獲得沃爾夫獎(jiǎng)(1996.3），美國(guó)國(guó)家科學(xué)家院獎(jiǎng)（1996.6），費(fèi)爾茲特別獎(jiǎng)（1998.8）。
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2、四色問(wèn)題
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　　四色問(wèn)題的內(nèi)容是：“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色。”用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示，即“將平面任意地細(xì)分為不相重疊的區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域總可以用1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字之一來(lái)標(biāo)記，而不會(huì)使相鄰的兩個(gè)區(qū)域得到相同的數(shù)字。”（右圖）
　　這里所指的相鄰區(qū)域，是指有一整段邊界是公共的。如果兩個(gè)區(qū)域只相遇于一點(diǎn)或有限多點(diǎn)，就不叫相鄰的。因?yàn)橛孟嗤念伾o它們著色不會(huì)引起混淆。
　　四色猜想的提出來(lái)自英國(guó)。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯·格思里來(lái)到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來(lái)，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國(guó)家都被著上不同的顏色。”這個(gè)現(xiàn)象能不能從數(shù)學(xué)上加以嚴(yán)格證明呢？他和在大學(xué)讀書(shū)的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問(wèn)題而使用的稿紙已經(jīng)堆了一大疊，可是研究工作沒(méi)有進(jìn)展。
　　1852年10月23日，他的弟弟就這個(gè)問(wèn)題的證明請(qǐng)教了他的老師、著名數(shù)學(xué)家德·摩爾根，摩爾根也沒(méi)有能找到解決這個(gè)問(wèn)題的途徑，于是寫(xiě)信向自己的好友、著名數(shù)學(xué)家漢密爾頓爵士請(qǐng)教。漢密爾頓接到摩爾根的信后，對(duì)四色問(wèn)題進(jìn)行論證。但直到1865年漢密爾頓逝世為止，問(wèn)題也沒(méi)有能夠解決。
　　1872年，英國(guó)當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)提出了這個(gè)問(wèn)題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問(wèn)題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會(huì)戰(zhàn)。1878～1880年兩年間，著名的律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理，大家都認(rèn)為四色猜想從此也就解決了。
　　肯普的證明是這樣的：首先指出如果沒(méi)有一個(gè)國(guó)家包圍其他國(guó)家，或沒(méi)有三個(gè)以上的國(guó)家相遇于一點(diǎn)，這種地圖就說(shuō)是“正規(guī)的”（左圖）。如為正規(guī)地圖，否則為非正規(guī)地圖（右圖）。一張地圖往往是由正規(guī)地圖和非正規(guī)地圖聯(lián)系在一起，但非正規(guī)地圖所需顏色種數(shù)一般不超過(guò)正規(guī)地圖所需的顏色，如果有一張需要五種顏色的地圖，那就是指它的正規(guī)地圖是五色的，要證明四色猜想成立，只要證明不存在一張正規(guī)五色地圖就足夠了。
　　肯普是用歸謬法來(lái)證明的，大意是如果有一張正規(guī)的五色地圖，就會(huì)存在一張國(guó)數(shù)最少的“極小正規(guī)五色地圖”，如果極小正規(guī)五色地圖中有一個(gè)國(guó)家的鄰國(guó)數(shù)少于六個(gè)，就會(huì)存在一張國(guó)數(shù)較少的正規(guī)地圖仍為五色的，這樣一來(lái)就不會(huì)有極小五色地圖的國(guó)數(shù)，也就不存在正規(guī)五色地圖了。這樣肯普就認(rèn)為他已經(jīng)證明了“四色問(wèn)題”，但是后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)他錯(cuò)了。
　　不過(guò)肯普的證明闡明了兩個(gè)重要的概念，對(duì)以后問(wèn)題的解決提供了途徑。第一個(gè)概念是“構(gòu)形”。他證明了在每一張正規(guī)地圖中至少有一國(guó)具有兩個(gè)、三個(gè)、四個(gè)或五個(gè)鄰國(guó)，不存在每個(gè)國(guó)家都有六個(gè)或更多個(gè)鄰國(guó)的正規(guī)地圖，也就是說(shuō)，由兩個(gè)鄰國(guó)，三個(gè)鄰國(guó)、四個(gè)或五個(gè)鄰國(guó)組成的一組“構(gòu)形”是不可避免的，每張地圖至少含有這四種構(gòu)形中的一個(gè)。
　　肯普提出的另一個(gè)概念是“可約”性。“可約”這個(gè)詞的使用是來(lái)自肯普的論證。他證明了只要五色地圖中有一國(guó)具有四個(gè)鄰國(guó)，就會(huì)有國(guó)數(shù)減少的五色地圖。自從引入“構(gòu)形”，“可約”概念后，逐步發(fā)展了檢查構(gòu)形以決定是否可約的一些標(biāo)準(zhǔn)方法，能夠?qū)で罂杉s構(gòu)形的不可避免組，是證明“四色問(wèn)題”的重要依據(jù)。但要證明大的構(gòu)形可約，需要檢查大量的細(xì)節(jié)，這是相當(dāng)復(fù)雜的。
　　11年后，即1890年，在牛津大學(xué)就讀的年僅29歲的赫伍德以自己的精確計(jì)算指出了肯普在證明上的漏洞。他指出肯普說(shuō)沒(méi)有極小五色地圖能有一國(guó)具有五個(gè)鄰國(guó)的理由有破綻。不久，泰勒的證明也被人們否定了。人們發(fā)現(xiàn)他們實(shí)際上證明了一個(gè)較弱的命題——五色定理。就是說(shuō)對(duì)地圖著色，用五種顏色就夠了。后來(lái)，越來(lái)越多的數(shù)學(xué)家雖然對(duì)此絞盡腦汁，但一無(wú)所獲。于是，人們開(kāi)始認(rèn)識(shí)到，這個(gè)貌似容易的題目，其實(shí)是一個(gè)可與費(fèi)馬猜想相媲美的難題。
　　進(jìn)入20世紀(jì)以來(lái)，科學(xué)家們對(duì)四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進(jìn)行。1913年，美國(guó)著名數(shù)學(xué)家、哈佛大學(xué)的伯克霍夫利用肯普的想法，結(jié)合自己新的設(shè)想；證明了某些大的構(gòu)形可約。后來(lái)美國(guó)數(shù)學(xué)家富蘭克林于1939年證明了22國(guó)以下的地圖都可以用四色著色。1950年，有人從22國(guó)推進(jìn)到35國(guó)。1960年，有人又證明了39國(guó)以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨后又推進(jìn)到了50國(guó)?？磥?lái)這種推進(jìn)仍然十分緩慢。
　　高速數(shù)字計(jì)算機(jī)的發(fā)明，促使更多數(shù)學(xué)家對(duì)“四色問(wèn)題”的研究。從1936年就開(kāi)始研究四色猜想的?？?，公開(kāi)宣稱(chēng)四色猜想可用尋找可約圖形的不可避免組來(lái)證明。他的學(xué)生丟雷寫(xiě)了一個(gè)計(jì)算程序，?？瞬粌H能用這程序產(chǎn)生的數(shù)據(jù)來(lái)證明構(gòu)形可約，而且描繪可約構(gòu)形的方法是從改造地圖成為數(shù)學(xué)上稱(chēng)為“對(duì)偶”形著手。
　　他把每個(gè)國(guó)家的首都標(biāo)出來(lái)，然后把相鄰國(guó)家的首都用一條越過(guò)邊界的鐵路連接起來(lái)，除首都(稱(chēng)為頂點(diǎn))及鐵路(稱(chēng)為弧或邊)外，擦掉其他所有的線，剩下的稱(chēng)為原圖的對(duì)偶圖。到了六十年代后期，海克引進(jìn)一個(gè)類(lèi)似于在電網(wǎng)絡(luò)中移動(dòng)電荷的方法來(lái)求構(gòu)形的不可避免組。在海克的研究中第一次以頗不成熟的形式出現(xiàn)的“放電法”，這對(duì)以后關(guān)于不可避免組的研究是個(gè)關(guān)鍵，也是證明四色定理的中心要素。
　　電子計(jì)算機(jī)問(wèn)世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機(jī)對(duì)話的出現(xiàn)，大大加快了對(duì)四色猜想證明的進(jìn)程。美國(guó)伊利諾大學(xué)哈肯在1970年著手改進(jìn)“放電過(guò)程”，后與阿佩爾合作編制一個(gè)很好的程序。就在1976年6月，他們?cè)诿绹?guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明，轟動(dòng)了世界。
　　這是一百多年來(lái)吸引許多數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)愛(ài)好者的大事，當(dāng)兩位數(shù)學(xué)家將他們的研究成果發(fā)表的時(shí)候，當(dāng)?shù)氐泥]局在當(dāng)天發(fā)出的所有郵件上都加蓋了“四色足夠”的特制郵戳，以慶祝這一難題獲得解決。
　　“四色問(wèn)題”的被證明僅解決了一個(gè)歷時(shí)100多年的難題，而且成為數(shù)學(xué)史上一系列新思維的起點(diǎn)。在“四色問(wèn)題”的研究過(guò)程中，不少新的數(shù)學(xué)理論隨之產(chǎn)生，也發(fā)展了很多數(shù)學(xué)計(jì)算技巧。如將地圖的著色問(wèn)題化為圖論問(wèn)題，豐富了圖論的內(nèi)容。不僅如此，“四色問(wèn)題”在有效地設(shè)計(jì)航空班機(jī)日程表，設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)的編碼程序上都起到了推動(dòng)作用。
　　不過(guò)不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計(jì)算機(jī)取得的成就，他們認(rèn)為應(yīng)該有一種簡(jiǎn)捷明快的書(shū)面證明方法。直到現(xiàn)在，仍由不少數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者在尋找更簡(jiǎn)潔的證明方法。
　　
3、哥德巴赫猜想
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　　史上和質(zhì)數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)猜想中，最著名的當(dāng)然就是“哥德巴赫猜想”了。
　　1742年6月7日，德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫在寫(xiě)給著名數(shù)學(xué)家歐拉的一封信中，提出了兩個(gè)大膽的猜想：
　　一、任何不小于6的偶數(shù)，都是兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和；
　　二、任何不小于9的奇數(shù)，都是三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。
　　這就是數(shù)學(xué)史上著名的“哥德巴赫猜想”。顯然，第二個(gè)猜想是第一個(gè)猜想的推論。因此，只需在兩個(gè)猜想中證明一個(gè)就足夠了。
　　同年6月30日，歐拉在給哥德巴赫的回信中， 明確表示他深信哥德巴赫的這兩個(gè)猜想都是正確的定理，但是歐拉當(dāng)時(shí)還無(wú)法給出證明。由于歐拉是當(dāng)時(shí)歐洲最偉大的數(shù)學(xué)家，他對(duì)哥德巴赫猜想的信心，影響到了整個(gè)歐洲乃至世界數(shù)學(xué)界。從那以后，許多數(shù)學(xué)家都躍躍欲試，甚至一生都致力于證明哥德巴赫猜想?？墒侵钡?9世紀(jì)末，哥德巴赫猜想的證明也沒(méi)有任何進(jìn)展。證明哥德巴赫猜想的難度，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了人們的想象。有的數(shù)學(xué)家把哥德巴赫猜想比喻為“數(shù)學(xué)王冠上的明珠”。
　　我們從6＝3＋3、8＝3＋5、10＝5＋5、……、100＝3＋97＝11＋89＝17＋83、……這些具體的例子中，可以看出哥德巴赫猜想都是成立的。有人甚至逐一驗(yàn)證了3300萬(wàn)以內(nèi)的所有偶數(shù)，竟然沒(méi)有一個(gè)不符合哥德巴赫猜想的。20世紀(jì)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)哥德巴赫猜想對(duì)于更大的數(shù)依然成立?？墒亲匀粩?shù)是無(wú)限的，誰(shuí)知道會(huì)不會(huì)在某一個(gè)足夠大的偶數(shù)上，突然出現(xiàn)哥德巴赫猜想的反例呢？于是人們逐步改變了探究問(wèn)題的方式。
　　1900年，20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特，在國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)議上把“哥德巴赫猜想”列為23個(gè)數(shù)學(xué)難題之一。此后，20世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們?cè)谑澜绶秶鷥?nèi)“聯(lián)手”進(jìn)攻“哥德巴赫猜想”堡壘，終于取得了輝煌的成果。
　　20世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是篩法、圓法、密率法和三角和法等等高深的數(shù)學(xué)方法。解決這個(gè)猜想的思路，就像“縮小包圍圈”一樣，逐步逼近最后的結(jié)果。
　　1920年，挪威數(shù)學(xué)家布朗證明了定理“9＋9”，由此劃定了進(jìn)攻“哥德巴赫猜想”的“大包圍圈”。這個(gè)“9＋9”是怎么回事呢？所謂“9＋9”，翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是：“任何一個(gè)足夠大的偶數(shù)，都可以表示成其它兩個(gè)數(shù)之和，而這兩個(gè)數(shù)中的每個(gè)數(shù)，都是9個(gè)奇質(zhì)數(shù)之積。” 從這個(gè)“9＋9”開(kāi)始，全世界的數(shù)學(xué)家集中力量“縮小包圍圈”，當(dāng)然最后的目標(biāo)就是“1＋1”了。
　　1924年，德國(guó)數(shù)學(xué)家雷德馬赫證明了定理“7＋7”。很快，“6＋6”、“5＋5”、“4＋4”和“3＋3”逐一被攻陷。1957年，我國(guó)數(shù)學(xué)家王元證明了“2＋3”。1962年，中國(guó)數(shù)學(xué)家潘承洞證明了“1＋5”，同年又和王元合作證明了“1＋4”。1965年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家證明了“1＋3”。
　　1966年，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)攻克了“1＋2”，也就是：“任何一個(gè)足夠大的偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)數(shù)之和，而這兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)就是奇質(zhì)數(shù)，另一個(gè)則是兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)的積。”這個(gè)定理被世界數(shù)學(xué)界稱(chēng)為“陳氏定理”。
　　由于陳景潤(rùn)的貢獻(xiàn)，人類(lèi)距離哥德巴赫猜想的最后結(jié)果“1＋1”僅有一步之遙了。但為了實(shí)現(xiàn)這最后的一步，也許還要?dú)v經(jīng)一個(gè)漫長(zhǎng)的探索過(guò)程。有許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為，要想證明“1＋1”，必須通過(guò)創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)方法，以往的路很可能都是走不通的。
[編輯本段]世界七大數(shù)學(xué)難題
　　這七個(gè)“千年大獎(jiǎng)問(wèn)題”是： NP完全問(wèn)題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設(shè)、楊－米爾斯理論、納衛(wèi)爾－斯托可方程、BSD猜想。
　　美國(guó)麻州的克雷（Clay）數(shù)學(xué)研究所于2000年5月24日在巴黎法蘭西學(xué)院宣
　　布了一件被媒體炒得火熱的大事：對(duì)七個(gè)“千年數(shù)學(xué)難題”的每一個(gè)懸賞一百萬(wàn)美元。
　　其中有一個(gè)已被解決(龐加萊猜想),還剩六個(gè).（龐加萊猜想，已由俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼破解。我國(guó)中山大學(xué)朱熹平教授和旅美數(shù)學(xué)家、清華大學(xué)兼職教授曹懷東做了證明的封頂工作。）
　　整個(gè)計(jì)算機(jī)科學(xué)的大廈就建立在圖靈機(jī)可計(jì)算理論和計(jì)算復(fù)雜性理論的基礎(chǔ)上,
　　一旦證明P=NP,將是計(jì)算機(jī)科學(xué)的一場(chǎng)決定性的突破,在軟件工程實(shí)踐中,將革命性的提高效率.從工業(yè),農(nóng)業(yè),軍事,醫(yī)療到生活,軟件在它的各個(gè)應(yīng)用域,都將是一個(gè)飛躍.
　　P=NP嗎? 這個(gè)問(wèn)題是著名計(jì)算機(jī)科學(xué)家(1982年圖靈獎(jiǎng)得主)斯蒂文·考克（StephenCook ）于1971年發(fā)現(xiàn)并提出的.
　　“千年大獎(jiǎng)問(wèn)題”公布以來(lái)， 在世界數(shù)學(xué)界產(chǎn)生了強(qiáng)烈反響。這些問(wèn)題都是關(guān)于數(shù)學(xué)基本理論的，但這些問(wèn)題的解決將對(duì)數(shù)學(xué)理論的發(fā)展和應(yīng)用的深化產(chǎn)生巨大推動(dòng)。認(rèn)識(shí)和研究“千年大獎(jiǎng)問(wèn)題”已成為世界數(shù)學(xué)界的熱點(diǎn)。不少?lài)?guó)家的數(shù)學(xué)家正在組織聯(lián)合攻關(guān)。 可以預(yù)期， “千年大獎(jiǎng)問(wèn)題” 將會(huì)改變新世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史進(jìn)程。
　　一、Ｐ（多項(xiàng)式算法）問(wèn)題對(duì)ＮＰ（非多項(xiàng)式算法）問(wèn)題
　　在一個(gè)周六的晚上，你參加了一個(gè)盛大的晚會(huì)。由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經(jīng)認(rèn)識(shí)的人。你的主人向你提議說(shuō)，你一定認(rèn)識(shí)那位正在甜點(diǎn)盤(pán)附近角落的女士羅絲。不費(fèi)一秒鐘，你就能向那里掃視，并且發(fā)現(xiàn)你的主人是正確的。然而，如果沒(méi)有這樣的暗示，你就必須環(huán)顧整個(gè)大廳，一個(gè)個(gè)地審視每一個(gè)人，看是否有你認(rèn)識(shí)的人。生成問(wèn)題的一個(gè)解通常比驗(yàn)證一個(gè)給定的解時(shí)間花費(fèi)要多得多。這是這種一般現(xiàn)象的一個(gè)例子。與此類(lèi)似的是，如果某人告訴你，數(shù)１３，７１７，４２１可以寫(xiě)成兩個(gè)較小的數(shù)的乘積，你可能不知道是否應(yīng)該相信他，但是如果他告訴你它可以因式分解為３６０７乘上３８０３，那么你就可以用一個(gè)袖珍計(jì)算器容易驗(yàn)證這是對(duì)的。不管我們編寫(xiě)程序是否靈巧，判定一個(gè)答案是可以很快利用內(nèi)部知識(shí)來(lái)驗(yàn)證，還是沒(méi)有這樣的提示而需要花費(fèi)大量時(shí)間來(lái)求解，被看作邏輯和計(jì)算機(jī)科學(xué)中最突出的問(wèn)題之一。它是斯蒂文·考克于１９７１年陳述的。
　　二、霍奇(Hodge)猜想
　　二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了研究復(fù)雜對(duì)象的形狀的強(qiáng)有力的辦法?；鞠敕ㄊ菃?wèn)在怎樣的程度上，我們可以把給定對(duì)象的形狀通過(guò)把維數(shù)不斷增加的簡(jiǎn)單幾何營(yíng)造塊粘合在一起來(lái)形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來(lái)推廣；最終導(dǎo)致一些強(qiáng)有力的工具，使數(shù)學(xué)家在對(duì)他們研究中所遇到的形形色色的對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)時(shí)取得巨大的進(jìn)展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發(fā)點(diǎn)變得模糊起來(lái)。在某種意義下，必須加上某些沒(méi)有任何幾何解釋的部件?；羝娌孪霐嘌?，對(duì)于所謂射影代數(shù)簇這種特別完美的空間類(lèi)型來(lái)說(shuō)，稱(chēng)作霍奇閉鏈的部件實(shí)際上是稱(chēng)作代數(shù)閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。
　　　三、龐加萊(Poincare)猜想
　　如果我們伸縮圍繞一個(gè)蘋(píng)果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開(kāi)表面，使它慢慢移動(dòng)收縮為一個(gè)點(diǎn)。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個(gè)輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒(méi)有辦法把它收縮到一點(diǎn)的。我們說(shuō)，蘋(píng)果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來(lái)刻畫(huà)，他提出三維球面(四維空間中與原點(diǎn)有單位距離的點(diǎn)的全體)的對(duì)應(yīng)問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題立即變得無(wú)比困難，從那時(shí)起，數(shù)學(xué)家們就在為此奮斗。
　　在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼在arXiv.org發(fā)表了三篇論文預(yù)印本，并聲稱(chēng)證明了幾何化猜想。
　　在佩雷爾曼之后，先后有3組研究者發(fā)表論文補(bǔ)全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細(xì)節(jié)。這包括密西根大學(xué)的布魯斯·克萊納和約翰·洛特；哥倫比亞大學(xué)的約翰·摩根和麻省理工學(xué)院的田剛；以及理海大學(xué)的曹懷東和中山大學(xué)的朱熹平。
　　2006年8月，第25屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)授予佩雷爾曼菲爾茲獎(jiǎng)。數(shù)學(xué)界最終確認(rèn)佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。
　　　四、黎曼(Riemann)假設(shè)
　　有些數(shù)具有不能表示為兩個(gè)更小的數(shù)的乘積的特殊性質(zhì)，例如，2、3、5、7……等等。這樣的數(shù)稱(chēng)為素?cái)?shù)；它們?cè)诩償?shù)學(xué)及其應(yīng)用中都起著重要作用。在所有自然數(shù)中，這種素?cái)?shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式；然而，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼(1826~1866)觀察到，素?cái)?shù)的頻率緊密相關(guān)于一個(gè)精心構(gòu)造的所謂黎曼蔡塔函數(shù)z(s$的性態(tài)。著名的黎曼假設(shè)斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點(diǎn)已經(jīng)對(duì)于開(kāi)始的1,500,000,000個(gè)解驗(yàn)證過(guò)。證明它對(duì)于每一個(gè)有意義的解都成立將為圍繞素?cái)?shù)分布的許多奧秘帶來(lái)光明。
　　五、楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質(zhì)量缺口
　　量子物理的定律是以經(jīng)典力學(xué)的牛頓定律對(duì)宏觀世界的方式對(duì)基本粒子世界成立的。大約半個(gè)世紀(jì)以前，楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn)，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對(duì)象的數(shù)學(xué)之間的令人注目的關(guān)系?；跅睿谞査狗匠痰念A(yù)言已經(jīng)在如下的全世界范圍內(nèi)的實(shí)驗(yàn)室中所履行的高能實(shí)驗(yàn)中得到證實(shí)：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的方程沒(méi)有已知的解。特別是，被大多數(shù)物理學(xué)家所確認(rèn)、并且在他們的對(duì)于“夸克”的不可見(jiàn)性的解釋中應(yīng)用的“質(zhì)量缺口”假設(shè)，從來(lái)沒(méi)有得到一個(gè)數(shù)學(xué)上令人滿意的證實(shí)。在這一問(wèn)題上的進(jìn)展需要在物理上和數(shù)學(xué)上兩方面引進(jìn)根本上的新觀念。
　　　六、納維葉－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性
　　　起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現(xiàn)代噴氣式飛機(jī)的飛行。數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家深信，無(wú)論是微風(fēng)還是湍流，都可以通過(guò)理解納維葉－斯托克斯方程的解，來(lái)對(duì)它們進(jìn)行解釋和預(yù)言。雖然這些方程是19世紀(jì)寫(xiě)下的，我們對(duì)它們的理解仍然極少。挑戰(zhàn)在于對(duì)數(shù)學(xué)理論作出實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，使我們能解開(kāi)隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。
　　七、貝赫(Birch)和斯維訥通－戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想
　　數(shù)學(xué)家總是被諸如x2+y2=z2那樣的代數(shù)方程的所有整數(shù)解的刻畫(huà)問(wèn)題著迷。歐幾里德曾經(jīng)對(duì)這一方程給出完全的解答，但是對(duì)于更為復(fù)雜的方程，這就變得極為困難。事實(shí)上，正如馬蒂雅謝維奇指出，希爾伯特第十問(wèn)題是不可解的，即，不存在一般的方法來(lái)確定這樣的方法是否有一個(gè)整數(shù)解。當(dāng)解是一個(gè)阿貝爾簇的點(diǎn)時(shí)，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認(rèn)為，有理點(diǎn)的群的大小與一個(gè)有關(guān)的蔡塔函數(shù)z(s)在點(diǎn)s=1附近的性態(tài)。特別是，這個(gè)有趣的猜想認(rèn)為，如果z(1)等于0,那么存在無(wú)限多個(gè)有理點(diǎn)(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多個(gè)這樣的點(diǎn)。
[編輯本段]數(shù)學(xué)難題一例
　　已知X的平方加PX減15與(X+3)(X+Q)相等.求P的平方與Q的和的值.
　　方程為：
　　X平方+PX-15=(X+3)(X+Q)
　?。▁+3)(x+Q)=x^2+(3+Q)x+3Q
　　p=(3+Q) -15=3Q 因?yàn)槿绻皇沁@樣的話 等號(hào)兩邊兩個(gè)函數(shù)就不等價(jià) 這樣兩個(gè)函數(shù)的圖像就不會(huì)重疊 就不能保證x為任何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)值都相等 所以Q= - 5 p= - 2 p^2=4 4+（-5）=-1