談到 20 世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展，甚至是 21 世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展，其實(shí)都離不開希爾伯特 23 問的影響，希爾伯特 23 問可以說是指引 20 世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的最高綱領(lǐng)，那么希爾伯特 23 問究竟說的是什么呢？今天就讓我們來了解一下。

如果說談到對 20 世紀(jì)數(shù)學(xué)影響最大的一位數(shù)學(xué)家，那么希爾伯特就是離不開的一位，他之所以對數(shù)學(xué)界影響深遠(yuǎn)，不僅僅是因?yàn)樗臄?shù)學(xué)成就，還在于他是哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派的領(lǐng)袖，他領(lǐng)導(dǎo)的哥廷根學(xué)派締造了 20 世紀(jì)前三十年的數(shù)學(xué)輝煌，是無數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)者心中的搖籃，它的余威至今仍攪動著整個數(shù)學(xué)界。希爾伯特由此也被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的“無冕之王”。

簡單來說，希爾伯特就是當(dāng)時數(shù)學(xué)界的武林盟主，培養(yǎng)了一大批武林高手，整個武林人才濟(jì)濟(jì)。

希爾伯特出生在前蘇聯(lián)加里寧格勒附近的韋勞，從小他就對數(shù)學(xué)展現(xiàn)了濃厚的興趣，他甚至不顧父親的反對，進(jìn)入哥尼斯堡大學(xué)攻讀數(shù)學(xué)，在這里結(jié)識了他一生的摯友閔可夫斯基 ，人生當(dāng)中最難得的就是可以遇見一位與你志同道合、和你一起奮力前行的朋友，閔可夫斯基也是數(shù)學(xué)天才，他是愛因斯坦的老師，閔可夫斯基時空為廣義相對論的建立提供了框架。

希爾伯特和閔可夫斯基經(jīng)常一起散步，探討數(shù)學(xué)問題，兩位數(shù)學(xué)天才的交流碰撞出激烈的火花，希爾伯特幾乎所有重要的成果都會提前給閔可夫斯基先審校一遍，兩個人的友誼好到，閔可夫斯基看到數(shù)學(xué)大會上沒有希爾伯特的演講，失望到都不想去參加大會。

在閔可夫斯基去世前幾天，希爾伯特還和閔可夫斯基說，下一次他會給出華林定理的證明，希望閔可夫斯基可以參加，閔可夫斯基去世的時候還在記掛著沒有聽到希爾伯特關(guān)于華林定理的證明，并且在去世之前還想再見希爾伯特一面。

希爾伯特取得的這一系列數(shù)學(xué)成就都離不開和閔可夫斯基之間的熱烈交流而碰撞出來的花火，希爾伯特一生研究的數(shù)學(xué)課題非常之多，包括不變量理論、代數(shù)數(shù)域理論、幾何基礎(chǔ)、積分方程 、一般數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，其間穿插的研究課題有：狄利克雷原理和變分法、華林問題、特征值 問題、“希爾伯特空間”等。

說到希爾伯特空間還有一個趣事，以希爾伯特命名的數(shù)學(xué)名詞多如牛毛，有些連希爾伯特本人都不知道。有一次，希爾伯特問系里的同事“請問什么叫做希爾伯特空間 ？”（希爾伯特空間是希爾伯特對于歐幾里得空間的一個推廣，但是名字不是他取得，數(shù)學(xué)家一般對于一些問題的研究，名字都是后來的人幫他們?nèi)〉茫裣柌乜臻g就是馮·諾伊曼在其1929年出版的關(guān)于無界厄米算子的著作中，最早使用了“希爾伯特空間”這個名詞。）

正是因?yàn)橄柌卦跀?shù)學(xué)上極具天賦，哥廷根學(xué)派的領(lǐng)袖克萊因?qū)ο柌胤浅Ｙ澷p，認(rèn)為哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派正需要像希爾伯特這樣的人作為接班人。不得不說，克萊因看人的眼光是真準(zhǔn)，挖人的本領(lǐng)一流，希爾伯特、閔可夫斯基這些都是他挖來哥廷根的，克萊因?yàn)楹髞硐柌貛ьI(lǐng)哥廷根學(xué)派走向輝煌奠定了基礎(chǔ)。

希爾伯特在領(lǐng)導(dǎo)哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派上，憑借著自己無與倫比的魅力吸引著世界各地的年輕人像朝圣般地奔向哥廷根，光他指導(dǎo)的博士就有七八十人。大批青年學(xué)者涌向哥廷根，不僅從德國、歐洲，而且來自亞洲，特別是美國。據(jù)統(tǒng)計(jì)，1862—1934年間獲外國學(xué)位的美國數(shù)學(xué)家114人，其中34人是在哥廷根獲博士學(xué)位的，那個時候很多有影響的論文都是用德語寫的。廷根學(xué)派成為了世界數(shù)學(xué)家的搖籃和圣地，是國際數(shù)學(xué)中心。

當(dāng)時全世界學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生中，最響亮的口號就是“打起你的背包，到哥廷根去”。

那個時候的數(shù)學(xué)界富有盛名的數(shù)學(xué)家近一半都是出自哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派，哥閔可夫斯基為狹義相對論提供了數(shù)學(xué)框架——閔可夫斯基四維幾何；外爾最早提出規(guī)范場理論，并為廣義相對論提供理論依據(jù)；馮·諾依曼對剛剛降生的量子力學(xué)提供了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，發(fā)展了泛函分析；“現(xiàn)代數(shù)學(xué)之母”諾特以一般理想論奠定了抽象代數(shù)的基礎(chǔ)，并在此基礎(chǔ)上刺激了代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展；柯朗是應(yīng)用數(shù)學(xué)大家，他在偏微分方程求解方面的工作為空氣動力學(xué)等一系列實(shí)際課題掃清了道路。

這個時候的哥廷根群星璀璨，熠熠生輝，大家都自由徜徉在數(shù)學(xué)的殿堂之中，任憑思想的火花碰撞。

希爾伯特除了為數(shù)學(xué)界培養(yǎng)了大批的人才，1900 年，這是19世紀(jì)的結(jié)束也是一個新的世紀(jì)的到來，而此時恰逢第二屆國際數(shù)學(xué)家大會召開，當(dāng)時希爾伯特已經(jīng)是哥廷根學(xué)派的領(lǐng)袖，自然是大會主旨演講的首選。

希爾伯特一開始在思考是否應(yīng)該為純數(shù)學(xué)辯護(hù)，純數(shù)學(xué)也叫基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，是一門專門研究數(shù)學(xué)本身，不以實(shí)際應(yīng)用為目的的學(xué)問，研究從客觀世界中抽象出來的數(shù)學(xué)規(guī)律的內(nèi)在聯(lián)系，也可以說是研究數(shù)學(xué)本身的規(guī)律。

不過后來希爾伯特改變了想法，他認(rèn)為是時候在總結(jié) 19 世紀(jì)以來數(shù)學(xué)的發(fā)展的基礎(chǔ)上，討論一下 20 世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的新方向，提出一些數(shù)學(xué)家應(yīng)集中力量加以解決的重要問題。希爾伯特的想法得到了閔可夫斯基的熱情烈支持，認(rèn)為最有吸引力的題材，莫過于展望數(shù)學(xué)的未來，所以希爾伯特便選擇了。

所以，希爾伯特從 1900 年 1 月開始，到 7 月份，整整花了 6 個月的時間準(zhǔn)備講演稿，然后又和閔可夫斯基以及著名數(shù)學(xué)家赫威茨花了 1 個月的時間修改。

1900 年 8 月，在巴黎國際數(shù)學(xué)家代表大會上，希爾伯特發(fā)表了題為《數(shù)學(xué)問題》的著名講演，希爾伯特在這份講演里以其遠(yuǎn)見卓識闡述了數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn)，分析了數(shù)學(xué)內(nèi)部及外部因素對數(shù)學(xué)進(jìn)步的作用，強(qiáng)調(diào)了重大數(shù)學(xué)問題乃是數(shù)學(xué)前進(jìn)的指路明燈，是會下金蛋的鵝，可以源源不斷產(chǎn)生新的問題新的方法新的理念。他堅(jiān)信數(shù)學(xué)不會因正在盛行的專門化趨勢而被分割成不聯(lián)系的孤立分支，數(shù)學(xué)作為一個整體的生命力正在于其各個部分間聯(lián)系。

他還根據(jù)19世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果與發(fā)展趨勢而提出了23個問題，這23個問題統(tǒng)稱希爾伯特問題。希爾伯特問題可以說成為了20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的一盞明燈，為數(shù)學(xué)的未來探索指引了一條方向。

這23個問題如下圖所示，分屬四大塊:

第1到第6問題是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題;第7到第12問題是數(shù)論問題，第13到第1 8問題屬于代數(shù)和幾何問題;第1 9到第2 3問題屬于數(shù)學(xué)分析。從順序上講，顯然希爾伯特把自己的重點(diǎn)放在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，他自己的工作也正為締造數(shù)學(xué)大廈牢固的基礎(chǔ)而努力。從1 9世紀(jì)末希爾伯特已致力把數(shù)學(xué)建立在少數(shù)公理的基礎(chǔ)上。他還是集合論最早的少數(shù)支持者之一一，把數(shù)學(xué)建立在集合論基礎(chǔ)上成為他的夢想。這可以解釋他為什么把集合論頭號問題 連續(xù)統(tǒng)假設(shè)列為自己的第1問題。

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可以說希爾伯特問題涉及到了數(shù)學(xué)大部分重要的領(lǐng)域，這需要作者擁有豐富廣闊的數(shù)學(xué)學(xué)識才能夠夠做到，可以說很少有數(shù)學(xué)家能夠把問題看得如此全面透徹深邃，里面大家非常熟悉的，應(yīng)該就是素?cái)?shù)分布問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素?cái)?shù)問題。

素?cái)?shù)是一個很古老的研究領(lǐng)域。希爾伯特在大會上提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孿生素?cái)?shù)問題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素?cái)?shù)問題目前也未最終解決，而這些問題的解決對于素?cái)?shù)研究具有重大的意義。

其中，哥德巴赫猜想的最佳結(jié)果屬于中國數(shù)學(xué)家陳景潤（1+2），而華人數(shù)學(xué)家張益唐在2013年在孿生素?cái)?shù)猜想領(lǐng)域做出了突破性的貢獻(xiàn)。

希爾伯特在講演中提出了他所認(rèn)為的完美的數(shù)學(xué)問題的準(zhǔn)則：問題既能被簡明清楚的表達(dá)出來，然而問題的解決又是如此的困難以至于必須要有全新的思想方法才能夠?qū)崿F(xiàn)。

為了說明他的觀點(diǎn)，希爾伯特舉了兩個最典型的例子：第一個是費(fèi)馬大定理，即代數(shù)方程 x^n+y^n=z^n 在n大于2時是沒有非零整數(shù)解的；第二個就是N體問題的特例———“三體問題”。 值得一提的是，盡管這兩個問題在當(dāng)時還沒有被解決，希爾伯特并沒有把他們列進(jìn)他的問題清單。

因?yàn)橄柌乇救嗽跀?shù)學(xué)界的巨大影響，希爾伯特 23 問立馬成為無數(shù)數(shù)學(xué)界想要解決的目標(biāo)，直至今日，希爾伯特問題依然是成為許多數(shù)學(xué)家力圖攻克的難關(guān)，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，并起了積極的推動作用?？梢哉f希爾伯特通過他自己的工作和提出的問題，把20世紀(jì)數(shù)學(xué)帶上一條健康發(fā)展的道路。

希爾伯特的２３個問題更是一個繼往開來的文獻(xiàn)，說它繼往，是它總結(jié)了１９世紀(jì)幾乎所有未解決的重要問題；說它開來，是這些問題的確推動了２０世紀(jì)數(shù)學(xué)的進(jìn)步。因此各數(shù)學(xué)大國，美國、俄羅斯、日本以及法國、德國和英國的數(shù)學(xué)家或組織起來或單獨(dú)研究希爾伯特問題的歷史和現(xiàn)狀，并進(jìn)一步提出新的問題，我們國家數(shù)學(xué)界在希爾伯特 23 問上也發(fā)揮了不少的貢獻(xiàn)。

如今希爾伯特問題中有些現(xiàn)已得到圓滿解決，有些至今仍未得到解決。他在講演中所闡發(fā)的相信每個數(shù)學(xué)問題都可以得到解決的信念，對數(shù)學(xué)工作者是一種巨大的鼓舞，也激勵著數(shù)學(xué)家們前赴后繼去探索數(shù)學(xué)未知的領(lǐng)域，去探尋數(shù)學(xué)未來的前沿。

大數(shù)學(xué)家外爾曾形象地評價(jià)希爾伯特和他的23問為:“希爾伯特就像穿雜色衣服的風(fēng)笛手，甜蜜的笛聲誘惑了眾多的老鼠，跟著他一起跳進(jìn)了數(shù)學(xué)的深淵?！?/p>