·雙曲線的第一定義

　　 數(shù)學(xué)上指一動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)于一個(gè)平面上，與平面上兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之差的絕對(duì)值始終為一定值2a(2a小于F1和F2之間的距離即2a<2c）時(shí)所成的軌跡叫做雙曲線(Hyperbola)。兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2叫做雙曲線的左，右焦點(diǎn)(focus)。兩焦點(diǎn)的距離叫焦距，長(zhǎng)度為2c。其中2a在坐標(biāo)軸上的端點(diǎn)叫做頂點(diǎn)，c^2=a^2+b^2 (a=長(zhǎng)半軸，b=短半軸）

·雙曲線的第二定義

1.文字語(yǔ)言定義

　　平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)與一條定直線的距離之比是一個(gè)大于1的常數(shù)。定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線是雙曲線的準(zhǔn)線,常數(shù)e是雙曲線的離心率。

2.集合語(yǔ)言定義

　　設(shè) 雙曲線上有一動(dòng)點(diǎn)M,定點(diǎn)F,點(diǎn)M到定直線距離為d, 　　這時(shí)稱集合{M| |MF|/d=e,e>1}表示的點(diǎn)集是雙曲線. 　　注意:定點(diǎn)F要在定直線外 且 比值大于1.

　　

3.標(biāo)準(zhǔn)方程

　　設(shè) 動(dòng)點(diǎn)M(x,y),定點(diǎn)F(c,0),點(diǎn)M到定直線l:x=a^2/c的距離為d, 　　則由 |MF|/d=e>1. 　　推導(dǎo)出的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 　　(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 　　其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 　　這是中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程. 　　而中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為: 　　(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.

·雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

　　1、軌跡上一點(diǎn)的取值范圍：x≥a,x≤-a（焦點(diǎn)在x軸上）或者y≥a,y≤-a（焦點(diǎn)在y軸上）。 　　2、對(duì)稱性：關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對(duì)稱。 　　3、頂點(diǎn)：A(-a,0)， A＇(a,0)。同時(shí) AA＇叫做雙曲線的實(shí)軸且∣AA＇│=2a. 　　B(0,-b)， B＇(0,b)。同時(shí) BB＇叫做雙曲線的虛軸且│BB＇│=2b. 　　4、漸近線：

　　　焦點(diǎn)在x軸：y=±(b/a)x. 　　焦點(diǎn)在y軸：y=±(a/b)x. 圓錐曲線ρ=ep/1-ecosθ當(dāng)e>1時(shí)，表示雙曲線。其中p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，θ為弦與X軸夾角 　　令1-ecosθ=0可以求出θ，這個(gè)就是漸近線的傾角。θ=arccos（1/e） 　　令θ=0，得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e 　　令θ=PI，得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e 　　這兩個(gè)x是雙曲線定點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 　　求出他們的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)（雙曲線中心橫坐標(biāo)） 　　x=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 　?。ㄗ⒁饣?jiǎn)一下） 　　直線ρcosθ=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 　　是雙曲線一條對(duì)稱軸，注意是不與曲線相交的對(duì)稱軸。 　　將這條直線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)PI/2-arccos（1/e）角度后就得到漸近線方程，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的角度是θ’ 　　則θ’=θ-【PI/2-arccos（1/e）】 　　則θ=θ’+【PI/2-arccos（1/e）】 　　帶入上式： 　　ρcos{θ’+【PI/2-arccos（1/e）】}=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 　　即：ρsin【arccos（1/e）-θ’】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 　　現(xiàn)在可以用θ取代式中的θ’了 　　得到方程：ρsin【arccos（1/e）-θ】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 　　5、離心率： 　　第一定義： e=c/a 且e∈（1，+∞). 　　第二定義：雙曲線上的一點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離│PF│ 與 點(diǎn)P到定直線(相應(yīng)準(zhǔn)線)的距離d 的比等于雙曲線的離心率e. 　　d點(diǎn)（│PF│）/d線（點(diǎn)P到定直線(相應(yīng)準(zhǔn)線)的距離）=e 　　6、雙曲線焦半徑公式（圓錐曲線上任意一點(diǎn)P(x,y)到焦點(diǎn)距離） 　　右焦半徑：r=│ex-a│ 　　左焦半徑：r=│ex+a│ 　　7、等軸雙曲線 　　一雙曲線的實(shí)軸與虛軸長(zhǎng)相等 即：2a=2b 且 e=√2 　　8、共軛雙曲線 　　雙曲線S＇的實(shí)軸是雙曲線S的虛軸 且 雙曲線S＇的虛軸是雙曲線S的實(shí)軸時(shí)，稱雙曲線S＇與雙曲線S為共軛雙曲線。 　　幾何表達(dá)：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S＇：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 　　特點(diǎn)：（1）共漸近線 　　（2）焦距相等 　?。?）兩雙曲線的離心率平方后的倒數(shù)相加等于1 　　9、準(zhǔn)線： 焦點(diǎn)在x軸上：x=±a^2/c 　　焦點(diǎn)在y軸上：y=±a^2/c 　　10、通徑長(zhǎng)：（圓錐曲線（除圓外）中，過(guò)焦點(diǎn)并垂直于軸的弦） 　　d=2b^2/a 　　11、過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式： 　　d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 或 2p/sin^2θ [p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，θ為弦與X軸夾角] 　　12、弦長(zhǎng)公式： 　　d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推導(dǎo)如下： 　　由 直線的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2) 　　得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k 　　分別代入兩點(diǎn)間的距離公式：|AB| = √[(x1 - x2)&sup2; + (y1 - y2)&sup2; ] 　　稍加整理即得： 　　|AB| = |x1 - x2|√(1 + k&sup2;) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k&sup2;) 　　雙曲線的概念 　　把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會(huì)怎樣？它的方程是怎樣的呢？ 　　1．簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)(邊演示、邊說(shuō)明) 　　如圖2-23，定點(diǎn)F1、F2是兩個(gè)按釘，MN是一個(gè)細(xì)套管，兩條細(xì)繩分別拴在按釘上且穿過(guò)套管，點(diǎn)M移動(dòng)時(shí)，|MF1|-|MF2|是常數(shù)，這樣就畫(huà)出曲線的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常數(shù)，可以畫(huà)出另一支． 　　注意：常數(shù)要小于|F1F2|，否則作不出圖形．這樣作出的曲線就叫做雙曲線． 　　2．設(shè)問(wèn) 　　問(wèn)題1：定點(diǎn)F1、F2與動(dòng)點(diǎn)M不在平面上，能否得到雙曲線？ 　　請(qǐng)學(xué)生回答，不能．強(qiáng)調(diào)“在平面內(nèi)”． 　　問(wèn)題2：|MF1|與|MF2|哪個(gè)大？ 　　請(qǐng)學(xué)生回答，不定：當(dāng)M在雙曲線右支上時(shí)，|MF1|＞|MF2|；當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線左支上時(shí)，|MF1|＜|MF2|． 　　問(wèn)題3：點(diǎn)M與定點(diǎn)F1、F2距離的差是否就是|MF1|-|MF2|？ 　　請(qǐng)學(xué)生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正確表示為||MF2|-|MF1||． 　　問(wèn)題4：這個(gè)常數(shù)是否會(huì)大于等于|F1F2|？ 　　請(qǐng)學(xué)生回答，應(yīng)小于|F1F2|且大于零．當(dāng)常數(shù)=|F1F2|時(shí)，軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)常數(shù)＞|F1F2|時(shí)，無(wú)軌跡． 　　3．定義 　　在上述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括雙曲線的定義： 　　平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距． 　　教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對(duì)照來(lái)記憶，不要死記． 　　(三)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 　　現(xiàn)在來(lái)研究雙曲線的方程．我們可以類似求橢圓的方程的方法來(lái)求雙曲線的方程．這時(shí)設(shè)問(wèn)：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學(xué)生回答，主要引起學(xué)生思考，隨即引導(dǎo)學(xué)生給出雙曲線的方程的推導(dǎo)． 　　標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)： 　　(1)建系設(shè)點(diǎn) 　　取過(guò)焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24) 　　建立直角坐標(biāo)系． 　　設(shè)M(x，y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐標(biāo)分別是(-c，0)、(c，0)．又設(shè)點(diǎn)M與F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)． 　　(2)點(diǎn)的集合 　　由定義可知，雙曲線就是集合： 　　P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}． 　　(3)代數(shù)方程 　　(4)化簡(jiǎn)方程(由學(xué)生演板) 　　將這個(gè)方程移項(xiàng)，兩邊平方得： 　　化簡(jiǎn)得： 　　兩邊再平方，整理得： 　　(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)． 　　(以上推導(dǎo)完全可以仿照橢圓方程的推導(dǎo)．) 　　由雙曲線定義，2c＞2a　即c＞a，所以c2-a2＞0． 　　設(shè)c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得： 　　b2x2-a2y2=a2b2． 　　這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 　　兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)： 　　教師指出： 　　(1)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b； 　　(2)如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上．注意有別于橢圓通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上． 　　(3)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的關(guān)系是c2=a2+b2，不同于橢圓方程中c2=a2-b2． 　　(四)練習(xí)與例題 　　1．求滿足下列的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 　　焦點(diǎn)F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4； 　　3．已知兩點(diǎn)F1(-5，0)、F2(5，0)，求與它們的距離的差的絕對(duì)值是6的點(diǎn)的軌跡方程．如果把這里的數(shù)字6改為12，其他條件不變，會(huì)出現(xiàn)什么情況？ 　　由教師講解： 　　按定義，所求點(diǎn)的軌跡是雙曲線，因?yàn)閏=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42． 　　因?yàn)?a=12，2c=10，且2a＞2c． 　　所以動(dòng)點(diǎn)無(wú)軌跡． 　　(五)小結(jié) 　　1．定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡． 　　3．圖形(見(jiàn)圖2-25)： 　　4．焦點(diǎn)：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)． 　　5．a(chǎn)、b、c的關(guān)系：c2=a2+b2；c=a2+b2． 　　五、布置作業(yè) 　　1．根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 　　(1)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(-6，0)、(6，0)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-5，2)； 　　3．已知圓錐曲線的方程為mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)． 　　作業(yè)答案： 　　2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1

·雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)公式與反比例函數(shù)

　　X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) 　　而反比例函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型是 xy = c (c ≠ 0) 　　但是反比例函數(shù)確實(shí)是雙曲線函數(shù)經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)得到的 　　因?yàn)閤y = c的對(duì)稱軸是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的對(duì)稱軸是x軸，y軸 　　所以應(yīng)該旋轉(zhuǎn)45度 　　設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為 a （a≠0,順時(shí)針） 　　(a為雙曲線漸進(jìn)線的傾斜角) 　　則有 　　X = xcosa + ysina 　　Y = - xsina + ycosa 　　取 a = π/4 　　則 　　X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2 　　= (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2 　　= 4 (√2/2 x) (√2/2 y) 　　= 2xy. 　　而xy=c 　　所以 　　X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0) 　　Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0) 　　由此證得，反比例函數(shù)其實(shí)就是雙曲線函數(shù).只不過(guò)是雙曲線在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的另一種擺放形式.

·雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式

　　若∠F1PF2=θ, 　　則S△F1PF2=b&sup2;·cot（θ/2) 　　·例：已知F1、F2為雙曲線C：x&sup2;-y&sup2;=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2=60°，則P到x軸的距離為多 　　少？ 　　解：有雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式得S△F1PF2=b&sup2;·cot（θ/2)=1×cot30°， 　　設(shè)P到x軸的距離為h，則S△F1PF2=&frac12;×F1F2×h=&frac12;2√2×h=√3， h=√6/2