雅可比矩陣

賢人好客 2010-06-18

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在向量微積分中，雅可比矩陣是一階偏導(dǎo)數(shù)以一定方式排列成的矩陣，其行列式稱為雅可比行列式。

還有，在代數(shù)幾何中，代數(shù)曲線的雅可比量表示雅可比簇：伴隨該曲線的一個(gè)代數(shù)群，曲線可以嵌入其中。

它們?nèi)慷家?a title=數(shù)學(xué)家 href="http://zh./wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%AE%B6">數(shù)學(xué)家卡爾·雅可比命名；英文雅可比量"Jacobian"可以發(fā)音為[ja ?ko bi ?n]或者[?? ?ko bi ?n]。

雅可比矩陣

雅可比矩陣的重要性在于它體現(xiàn)了一個(gè)可微方程與給出點(diǎn)的最優(yōu)線性逼近。因此，雅可比矩陣類似于多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

假設(shè)F:R_n→R_m 是一個(gè)從歐式n維空間轉(zhuǎn)換到歐式m維空間的函數(shù)。這個(gè)函數(shù)由m個(gè)實(shí)函數(shù)組成: y1(x1,...,xn), ..., ym(x1,...,xn). 這些函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(如果存在)可以組成一個(gè)m行n列的矩陣，這就是所謂的雅可比矩陣：

$\begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}.$

此矩陣表示為：

$J_F(x_1,\ldots,x_n)$ ，或者 $\frac{\partial(y_1,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}.$

這個(gè)矩陣的第i行是由梯度函數(shù)的轉(zhuǎn)置y_i(i=1,...,m)表示的

如果p是R_n中的一點(diǎn)，F在p點(diǎn)可微分，那么在這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)由J_F(p)給出(這是求該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)最簡(jiǎn)便的方法)。在此情況下，由_F(p)描述的線性算子即接近點(diǎn)p的F的最優(yōu)線性逼近，x逼近與p

$F(\mathbf{x}) \approx F(\mathbf{p}) + J_F(\mathbf{p})\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})$

例子

由球坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化由F函數(shù)給出:R × [0,π] × [0,2π] → R³

$x_1 = r \sin\theta \cos\phi \,$

$x_2 = r \sin\theta \sin\phi \,$

$x_3 = r \cos\theta \,$

此坐標(biāo)變換的雅可比矩陣是

$J_F(r,\theta,\phi) =\begin{bmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial r} & \frac{\partial x_1}{\partial \theta} & \frac{\partial x_1}{\partial \phi} \\[3pt] \frac{\partial x_2}{\partial r} & \frac{\partial x_2}{\partial \theta} & \frac{\partial x_2}{\partial \phi} \\[3pt] \frac{\partial x_3}{\partial r} & \frac{\partial x_3}{\partial \theta} & \frac{\partial x_3}{\partial \phi} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \sin\theta \cos\phi & r \cos\theta \cos\phi & -r \sin\theta \sin\phi \\ \sin\theta \sin\phi & r \cos\theta \sin\phi & r \sin\theta \cos\phi \\ \cos\theta & -r \sin\theta & 0 \end{bmatrix}.$

R⁴的f函數(shù):

$y_1 = x_1 \,$

$y_2 = 5x_3 \,$

$y_3 = 4x_2^2 - 2x_3 \,$

$y_4 = x_3 \sin(x_1) \,$

其雅可比矩陣為:

$J_F(x_1,x_2,x_3) =\begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \frac{\partial y_1}{\partial x_2} & \frac{\partial y_1}{\partial x_3} \\[3pt] \frac{\partial y_2}{\partial x_1} & \frac{\partial y_2}{\partial x_2} & \frac{\partial y_2}{\partial x_3} \\[3pt] \frac{\partial y_3}{\partial x_1} & \frac{\partial y_3}{\partial x_2} & \frac{\partial y_3}{\partial x_3} \\[3pt] \frac{\partial y_4}{\partial x_1} & \frac{\partial y_4}{\partial x_2} & \frac{\partial y_4}{\partial x_3} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_2 & -2 \\ x_3\cos(x_1) & 0 & \sin(x_1) \end{bmatrix}.$

此例子說明雅可比矩陣不一定為方矩陣。

在動(dòng)力系統(tǒng)中

考慮形為x' = F(x)的動(dòng)力系統(tǒng)，F : Rⁿ → Rⁿ。如果F(x₀) = 0，那么x₀是一個(gè)駐點(diǎn)。系統(tǒng)接近駐點(diǎn)時(shí)的表現(xiàn)通常可以從J_F(x₀)的特征值來決定。

雅可比行列式

如果m = n，那么F是從n維空間到n維空間的函數(shù)，且它的雅可比矩陣是一個(gè)方塊矩陣。于是我們可以取它的行列式，稱為雅可比行列式。

在某個(gè)給定點(diǎn)的雅可比行列式提供了F在接近該點(diǎn)時(shí)的表現(xiàn)的重要信息。例如，如果連續(xù)可微函數(shù)F在p點(diǎn)的雅可比行列式不是零，那么它在該點(diǎn)附近具有反函數(shù)。這稱為反函數(shù)定理。更進(jìn)一步，如果p點(diǎn)的雅可比行列式是正數(shù)，則F在p點(diǎn)的取向不變；如果是負(fù)數(shù)，則F的取向相反。而從雅可比行列式的絕對(duì)值，就可以知道函數(shù)F在p點(diǎn)的縮放因子；這就是為什么它出現(xiàn)在換元積分法中。

例子

設(shè)有函數(shù)F : R³ → R³，其分量為：

$y_1 = 5x_2 \,$

$y_2 = 4x_1^2 - 2 \sin (x_2x_3) \,$

$y_3 = x_2 x_3 \,$

則它的雅可比行列式為：

$\begin{vmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 8x_1 & -2x_3\cos(x_2 x_3) & -2x_2\cos(x_2 x_3) \\ 0 & x_3 & x_2 \end{vmatrix}=-8x_1\cdot\begin{vmatrix} 5 & 0\\ x_3&x_2\end{vmatrix}=-40x_1 x_2.$

從中我們可以看到，當(dāng)x₁和x₂同號(hào)時(shí)，F的取向相反；該函數(shù)處處具有反函數(shù)，除了在x₁ = 0和x₂ = 0時(shí)以外。

參看

外部連接

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