數學猜想能力與數學個性的培養(yǎng)

         黃凌云

      山東師范大學數科院01級1班       山東  濟南

摘要：數學能力的提高十分重要，本文就關于

主要論述了以下五個方面的問題：一，中國數學教育的不足之處；二，數學教育改革的必要性；三，數學猜想的理念與思維特點；三，數學猜想與數學教育改革的聯系，由此確立了改革的方向和目標；四；改革的實際操作。 

關鍵詞：數學創(chuàng)造力，數學想象力，數學猜想，數學個性，數學教育改革

正文

    一直以來，我們都非常重視數學學科的教育，并且強調數學能力的培養(yǎng)。可是在我國的

數學教育體制和理念下培養(yǎng)出來的學生有一個共同的顯著的特點，數學解題能力很強，可是

沒有數學的創(chuàng)造力和想象力，不能發(fā)現數學問題，在數學領域的研究中不能采取主動，開發(fā)

出新的研究對象，得到創(chuàng)設性的研究成果。社會在快速地向前發(fā)展，國家之間綜合國力的競

爭在日趨激烈。“科學技術是第一生產力”[1]，而一切科學技術的基礎是數學，所以數學能

力的提高是至關重要的。

一，中國數學教育的不足之處：

傳統中國數學的教育是存在著不少不足之處的，它典型地體現在以下三個方面：

1．  理論分析過甚，解決實際問題能力不足。注重理論分析，是中國傳統數學的習性，

國人擅長理論分析，這是一種民族傳統。對一個問題透徹的理論分析沒什么不好，可是“木

桶理論”[2]告訴我們：一個由許多塊長短不同的木板箍成的木桶，決定其容水量大小的并

非是其中最長的那塊木板或全部木板長度的平均值，而是取決于其中最短的那塊木板。所以

只是擅長理論分析是遠遠不夠的。

中國數學教育的弊端在于兩個方面，是數學教育忽視對學生發(fā)現數學問題的能力的培養(yǎng)，是完全沒有意識到的對學生數學個性的培養(yǎng)。點能力對學生一生的各方面發(fā)展都有很大的裨益，兩點能力在數學猜想中便能很好的表現出來，且能有機結合在一起,是學生數學智慧的產生的最有效途徑。

數學猜想指的是由非邏輯思維初步判斷認為可能成立又未經邏輯證明的命題。是數學探究活動中的最基本方式，表現為思維主體從一定依據出發(fā)，用邏輯手段，接獲得猜想性命題的創(chuàng)造性思維過程。數學猜想是數學探究活動的直接結果，如歌德巴赫猜想，費馬猜想等等。其實數學猜想就好比一般科學中的假設，關于假設，恩格斯有一段精彩的論述：“只要自然科學思維著，它的發(fā)展形式就是假設。一個新的事實被觀察到了，它使得過去用來說明和它同類的事實的方式不中用了。從這一瞬間起，就需要新的說明方式了——它最初僅僅是以有限數量的事實和觀察為基礎，進一步的觀察材料會使這些假設純化，取消一些，修正一些，直到最后純粹地構成定律．如果要等待構成定律的材料純粹化起來，那么，在此以前就要把運用思維的研究停下來，而定律也就永遠不會出現．”（1）數學中的眾多假設，諸如集合論中的康托連續(xù)統假設，數論中的黎曼猜想等等，都曾在數學的發(fā)展過程中起過巨大的推動作用。著名數學家和教育學家波利亞在他的著作《數學與猜想》中明確指出：“數學的創(chuàng)造過程和其它任何知識的創(chuàng)造過程是一樣的，在證明一個數學定理之前，你得先猜測這個定理的內容，在你做出完全詳細的證明之前，你先得推測證明的思路……只要數學的學習過程稍能反映出數學的發(fā)明過程的話，那么就應當讓猜測，合情推理占有相當的位置。”（2）

數學猜想作為一種創(chuàng)造性的思維活動，它有三種基本的思維形式，分別是直覺判別，直覺想象和直覺推斷。

在數學探究活動中，直覺判別表現為人腦對于數學對象結構關系的一種迅速的識別，直接的理解,綜合的判斷。數學猜想的直覺判別體現了數學思維的洞察力。直覺思維具有潛意識性，潛意識的導向和控制保證了思維能夠有效地進行，朝著期望的目標邁進，而潛意識構成的意識導向由兩個層次構成，一為經驗判斷，二為審美判斷。所謂經驗判別，既為當我們面對一個具體的數學問題時，首先必須判別該問題與大腦所儲存的各種信息之間的關系，通過檢索，找到與先前經驗結果的某種相對應，直接判斷問題的類型和解決的方略．在這個過程中，要迅速確定“是什么”，而不去細究一連串的“為什么”．并且針對“是什么”做出回答，它不是邏輯的確認，是概略的認識．形成的結果，稱為猜想的判別。另一種直覺判別層次稱為審美判別，審美判別這是一種層次更高的直覺判別方式．法國大數學家龐加萊認為，數學的直覺能力實際上就是從許多數學結構和形式的系列中，進行鑒別和選擇的能力．而鑒別的標準與選擇的依據，就是人們對于數學的審美情趣．根據龐加萊的理解，數學美的基本特征是和諧統一．他曾經說過，數學方法和理解的優(yōu)美，就是“各個部分之間的和諧、對稱，恰到好處的平衡．簡而言之，數學美既指井然有序，統一協調，使得我們對整體和細節(jié)都能有清楚的認識和理解”[3]．數學直覺思維是在潛意識狀態(tài)下進行的思維，所以，首先必須對這種潛意識形成的數學結構和形式做出選擇，判別何種方案比較合理，以便進一步思維，直至抓住對象的本質聯系．而支配這種選擇和判別的，正是對于數學對象和結構和諧統一的審美情感．數學的創(chuàng)造如此，對數學的理解亦是如此． “美是真理的光輝”，審美判別得到的數學猜想結果會是奇妙而美麗的。

數學猜想在數學探究活動中表現出的對于數學對象結構關系的直覺想象，也就是人腦通過已有表象進行加工、改造、創(chuàng)造新形象，從而對思維對象的模糊估量、整體把握和關系連接，稱為數學的直覺想象，亦稱數學思維的想象力。在許多情況下，思維主體并不能僅僅根據所面臨的問題情境做出一定的判別來．問題所提供的信息不充分，具有許多空白點，需要用想象填補這種空白，才能形成一個大致的判斷．這種想象來自思考者長期記憶中的各種儲存，它們隨意地組合，沒有固定的邏輯形式，但想象的思維方式是有一定邏輯內涵的，沿著這條邏輯內涵的道路，通過想象和填補的工作，得到順其自然的結果。 直覺想象主要表現為物理直覺想象和幾何直覺想象．物理直覺想象為將特定的數學對象及其關系想象為某個物理模型，通過物理模型的真實特性，猜想數學對象的本質關系．這種做法是極其有效的，因為它建立在數學科學與物理世界的深刻聯系之上．它是從物理角度得到的猜想。而從數學角度，亦可以得到很好的猜想結論。途徑便是幾何的直覺想象。所謂幾何的直覺想象，就是把特定數學對象的抽象結構關系想象為某個幾何圖形，利用幾何圖形在視覺形象上所呈現出的幾何性質，猜想抽象結構的本質特性．此幾何直覺想象的基礎在于在數學內部結構中，數于形的關系非常密切，從一定意義上說，數學正是通過數和形的相互結合、相互轉化而不斷發(fā)展過來的．于是可知，幾何直覺想象是合理并且能有效利用的。

數學猜想中的直覺推斷與邏輯思維中的推斷的地位是一樣的。直覺推斷表現為在直覺想象的基礎上，由一個或幾個直覺判別，直接推出另一個直覺判別的思維過程。它應用直覺想象，對思維對象（或其組成元素）進行多次轉換，往往在某種情景下自發(fā)完成，沒有固定模式，得到一種猜想的結論，一種啟發(fā)．這種直覺推斷是一種更具創(chuàng)造性的思維形式，它根據同一趨勢延續(xù)下去的假設，和特定的直覺想象，不斷地將思維目標延拓到當前情景之外，最后獲得所需結論。

“沒有大膽的猜想,就做不出偉大的發(fā)現”?？v觀數學發(fā)展史,很多的數學結論都是從猜想開始的。中國學生數學解題能力舉世聞名，但卓越數學家少如鱗角，大都只能為別人構建的數學大廈添磚加瓦，自己不能獨立地得出數學成果，發(fā)現新的數學問題，構建更新的數學體系。因為中國學生不善于發(fā)現問題，沒有創(chuàng)造性，也沒有按自己思路解決問題的毅力和勇氣，既是沒有數學個性。眾所周知，發(fā)現問題比解決問題更重要，所以中國數學教育沒有重視數學猜想的學習和訓練是很不正確的。

前蘇聯著名心理學家克魯捷茨基，對數學能力進行了十多年的研究，他在其著作中就明確指出：“數學有兩種能力,一種是“掌握、再現以及獨立運用數學信息”的“‘學校式’能力,另一種則是“創(chuàng)造了具有社會價值的新成果的創(chuàng)造性數學能力”。造新成果的創(chuàng)造性數學能力是所有的研究者都贊成的唯一的一件事，學頭腦本身的品質,是獨特的 ‘非邏輯’推理的能力、數學想象力或幻想,組合能力等等”[4]。數學家們也認為發(fā)現數學問題、判斷一個問題是否屬于數學問題,是我們解決數學問題的第一步。我國著名數學教育專家張奠宙教授曾提到一個實例:我國的一名留美學生在研究一個問題時找不到頭緒,而一名美國學生判斷出那是一個微積分問題,于是我國留學生很快利用微積分把它解決了。論文發(fā)表時美國留學生的名字寫在前面,因為是他首先提出了解決問題的方向,沒有他的判斷,我國留學生的微積分再好也沒有用武之地。這個例子充分說明了“學校式”數學能力的缺陷:只具備這種能力的人才,他就只能做二手工作。還有一個例子，我國的一位數學留學生,在學位論文撰寫前的預考中名列第一,但開始寫論文時他卻始終想不出題目,只好請導師命題,結果被導師辭退。這位導師顯然認為,發(fā)現數學問題是他的研究生必須具備的能力,沒有這種能力,解題再厲害也是不合格的學生。所以說只具有“學校式”的數學能力，并不能算是合格的數學人才”。

具有創(chuàng)造能力的人才才是我們應該努力培養(yǎng)的，數學的創(chuàng)造性主要體現在數學猜想上，主要體現在這種“非邏輯”的思維能力上。所以在數學教育的改革理念上，我們首先要重視的是數學猜想能力的培養(yǎng)。

在數學的學習和研究過程中，數學個性是非常重要的概念，它包括學生以怎樣的態(tài)度，怎樣的角度，怎樣的思維和怎樣的方式去看待和對待所接觸到的數學問題，它包括學生所形成的數學價值觀，既數學對于這個世界到底意味著什么，它還包括最本質的數學精神，堅持，發(fā)現，想象，創(chuàng)造。數學個性對于一個學習數學的人和研究數學的人的重要性是不言而喻的。對于學習數學的人來說，有一個合適的數學個性，有利于他（她）形成正確的世界觀，人生觀，及生活的態(tài)度。人對了，態(tài)度對了，這個世界也就對了。而形成自己的數學個性，是一個研究數學的人生命的開始，沒有這樣的個性，數學研究無從談起，更別奢望會有怎樣突破性的發(fā)現和研究成果。所以，數學個性的建立，萬萬忽視不得。

不同研習數學的人，對于相同的數學問題，會從不同的角度出發(fā)，根據不同的經驗、知識結構和靈感閃現，得出不同的猜想結果。通過與已經被邏輯證明了的大家公認的定理的對比，猜想者會發(fā)現自己的缺陷和誤差，甚至是錯誤，發(fā)現思維的路線，在這種對比過后，真誠地改正，在不斷地改正中前進，形成合理的適合自己的思維方式，研究態(tài)度，猜想理念，及精神追求，這樣數學個性就會有效形成并且健康地發(fā)展。

只有在數學猜想的過程中才能自由并且自然地形成數學個性，所以在數學教育改革中要注意數學猜想的訓練和指導。

關于怎樣加數學猜想的訓練，筆者有幾點想法。

一、轉變觀念　　長期以來,數學教學中存在著一種忽視猜想思維的傾向,認為數學具有嚴密性,培養(yǎng)的是邏輯思維能力,不能把非邏輯的思維引入課堂，嚴重扼殺學生的猜想天性。筆者認為,猜想意識、猜想能力是從學習過程中逐步形成和提高的,猜想的問題也是從簡單到復雜,從低層次向高層次轉化的,猜想思維也是一種重要的基本思維,猜想思維的訓練對于培養(yǎng)能力,開發(fā)智力,發(fā)展思想有著重要的作用。

二、培養(yǎng)學生的猜想興趣   愛因斯坦說過:“興趣是最好的老師”，所以在實際教學中應多介紹一些科學家的著名猜想及在科學發(fā)明中的作用。如介紹德國數學家哥德巴赫的著名猜想的來龍去脈,及我國數學家陳景潤等人的杰出貢獻等。激勵學生的猜想欲望,培養(yǎng)猜想的興趣。養(yǎng)成良好的數學個性。

三、充分暴露數學思維過程,引導學生積極猜想       這點是極其重要的，充分暴露數學思維過程應成為數學教師的重要任務，當然老師要暴露數學思維過程,很大程度上要是來源于數學家的思維活動,而數學家的思維活動往往是從猜想開始的。在講授某數學結論時,可引導學生模擬數學家的思維過程,進行大膽的猜想,通過探索,發(fā)現數學結論,從而讓學生嘗到成功的喜悅,體會到“猜想”的“甘甜”。

四、在解題過程中運用猜想,培養(yǎng)猜想能力　    優(yōu)化解題方法,往往離不開猜想。在解題過稱中應該注意充分利用直覺,洞察題目中已知與未知的連結點,做出猜想、預測,然后論證猜想。

另外還需注意的是，猜想不可能一猜就成功,有可能猜錯,教師應正面引導學生重新再猜,樹立猜想的決心和勇氣，以及教師必須提醒學生，不可以用猜想代替論證，猜想需經過嚴格的證明。這是我們應該教給他們（她們）的東西。這也才會是一個完全的完美的結局。

這樣我們的學生才不會變成只會解題的士兵，而可以成為掌控數學的將軍。才能體會數學的樂趣，發(fā)現數學的真理，最終得到數學的智慧。揮著數學的翅膀在天空快樂自由肆意地飛翔，這是我們愿意看到的。

參考文獻：[1]《鄧小平文選》第三卷  第274頁*人民出版社

[1]恩格斯*〈〈自然辨證法〉〉*中共中央編譯局譯*北京*人民出版社*

[2]波利亞*《數學與猜想》*李心燦譯*北京*科學出版社*

      [3]龐加萊*〈〈科學的價值〉〉*李醒民譯*北京*光明日報出版社*

[4]克魯捷茨基*〈〈中小學數學能力心理學〉〉*上海*上海教育出版社*

摘要

    數學猜想對學生數學能力的培養(yǎng)有決定性的作用,尤其有利于數學的創(chuàng)造力的發(fā)展和數學個性的形成.研習數學的人的數學生命完全由這兩方面的能力來決定,沒有創(chuàng)造性,沒有形成一定的數學個性,將在數學的領域中一事無成.所以我們的數學教育改革要注意數學猜想能力的培養(yǎng).

關鍵詞

        數學猜想、數學教育改革、數學創(chuàng)造性、數學個性