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用構(gòu)造法解題對學生思維能力的培養(yǎng) [摘 要] 本文主要如何通過運用構(gòu)造 法解題，激發(fā)學生的發(fā)散思維訓練，使學生在解題過程，選擇最佳的解題方法，從而使學生思維和解題能力得到培養(yǎng)。 [關(guān)鍵詞] 構(gòu)造 創(chuàng)新 什么是構(gòu)造法又怎樣去構(gòu)造？構(gòu)造法是運用數(shù)學的基本思想經(jīng)過認真的觀察，深入的思考，構(gòu)造出解題的數(shù)學模型從而使問題得以解決。構(gòu)造法的內(nèi)涵十分豐富，沒有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實問題的特殊性為基礎，針對具體的問題的特點而采取相應的解決辦法，及基本的方法是：借用一類問題的性質(zhì)，來研究另一類問題的思維方法。在解題過程中，若按習慣定勢 思維去探求解題途徑比較困難時，可以啟發(fā)學生根據(jù)題目特點，展開豐富的聯(lián)想拓寬自己思維范圍，運用構(gòu)造法來解題也是培養(yǎng)學生創(chuàng)造意識和創(chuàng)新思維的手段之一，同時對提高學生的解題能力也有所幫助，下面我們通過舉例來說明通過構(gòu)造法解題訓練學生發(fā)散思維，謀求最佳的解題途徑，達到思想的創(chuàng)新。 1 、構(gòu)造函數(shù) 函數(shù)在我們整個中學數(shù)學是占有相當?shù)膬?nèi)容，學生對于函數(shù)的性質(zhì)也比較熟悉。選擇爛熟于胸的內(nèi)容來解決棘手問題，同時也達到了訓練學生的思維，增強學生的思維的靈活性，開拓性和創(chuàng)造性。 例1、 已知a， b， m∈R+，且a < b 求證： （高中代數(shù)第二冊P91） 分析：由 知，若用 代替m呢？可以得到 是關(guān)于 的分式，若我們令 是一個函數(shù)，且 ∈R+聯(lián)想到這時，我們可以構(gòu)造函數(shù) 而又可以化為 而我們又知道 在[0，∞] 內(nèi)是增函數(shù)，從而便可求解。 證明：構(gòu)造函數(shù) 在[0，∞] 內(nèi)是增函數(shù)， 即得 。有些數(shù)學題似乎與函數(shù)毫不相干，但是根據(jù)題目的特點，巧妙地構(gòu)造一個函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)得到了簡捷的證明。解題過程中不斷挖掘?qū)W生的潛在意識而不讓學生的思維使注意到某一點上，把自己的解題思路擱淺了。啟發(fā)學生思維多變，從而達到培養(yǎng)學生發(fā)散思維。 例2、設 是正數(shù)，證明對任意的自然數(shù)n，下面不等式成立。 ≤ 分析：要想證明 ≤ 只須證明 ≤0即證 ≥0也是 ≥0對一切實數(shù)x 都成立，我們發(fā)現(xiàn)是不是和熟悉的判別式相同嗎？于是我們可以構(gòu)造這樣的二次函數(shù)來解題是不是更有創(chuàng)造性。 解：令 只須判別式△≤0，△= ≤0即得 ≤ 這樣以地于解決問題是很簡捷的 證明通過這樣的知識轉(zhuǎn)移，使學生的思維不停留在原來的知識表面上，加深學生對知識的理解，掌握知識更為牢固和知識的運用能力。有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。 2、構(gòu)造方程 有些數(shù)學題，經(jīng)過觀察可以構(gòu)造 一個方程，從而得到巧妙簡捷的解答。 例3、 若(Z-X)2-4(X-Y)(Y-Z)=0 求證：X ，Y，Z 成等差數(shù)列。 分析：拿到題目感到無從下手，思路受阻。但我們細看，題條件酷似 一元二次方程 根的判別式。 這里 a = x - y ， b = z - x ， c = y - z ，于是可構(gòu)造方程 由已知條件可知方程有兩個相等根。即 ∴ 。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有 即z – y = y - x ， x + z = 2y ∴ x ， y ， z 成等差數(shù)列。遇到較為復雜的方程組時，要指導學生會把難的先簡單化，可以構(gòu)造出我們很熟悉的方程。 例4、解方程組 我們在解這個方程組的過程中，如果我們用常規(guī)方法來解題就困難了，我們避開這些困難可把原方程化為： 于是 與 可認為是方程 兩根。易求得 再進行求解 (1) 或 (2) 由(1)得 此時方程無解。 由(2)得 解此方程組得： 經(jīng)檢驗得原方程組的解為： 通過上面的例子我們在解題的過程中要善于觀察，善于發(fā)現(xiàn)，在解題過程中不墨守成規(guī)。大膽去探求解題的最佳途徑，我們在口頭提到的創(chuàng)新思維，又怎樣去創(chuàng)新?創(chuàng)新思維是整個創(chuàng)新活動的關(guān)鍵，敏銳的觀察力，創(chuàng)造性的想象，獨特的知識結(jié)構(gòu)及活躍的靈感是其的基本特征。這種創(chuàng)新思維能保證學生順利解決問題，高水平地掌握知識并能把知識廣泛地運用到解決問題上來，而構(gòu)造法正從這方面增訓練學生思維，使學生的思維由單一型轉(zhuǎn)變?yōu)槎嘟嵌龋@得積極靈活從而培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維。 在解題的過程中，主要是把解題用到的數(shù)學思想和方法介紹給學生，而不是要教會學生會解某一道題，也不是為解題而解題，給他們學會一種解題的方法才是有效的"授之以魚，不如授之以漁"。在這我們所強調(diào)的發(fā)現(xiàn)知識的過程，創(chuàng)造性解決問題的方法而不是追求題目的結(jié)果。運用構(gòu)造 方法解題也是這樣的，通過講解一些例題，運用構(gòu)造法來解題的技巧，探求過程中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。 華羅庚：“數(shù)離開形少直觀，形離開數(shù)難入微。”利用數(shù)形結(jié)合的思想，可溝通代數(shù)，幾何的關(guān)系，實現(xiàn)難題巧解。 3. 構(gòu)造復數(shù)來解題 由于復數(shù)是中學數(shù)學與其他內(nèi)容聯(lián)系密切最為廣泛的一部分，因而對某些問題的特點，可以指導學生從復數(shù)的定義性質(zhì)出發(fā)來解決一些數(shù)學難題。 例5、求證： ≥ 分析：本題的特點是左邊為幾個根式的和，因此可聯(lián)系到復數(shù)的模，構(gòu)造復數(shù)模型就利用復數(shù)的性質(zhì)把問題解決。 證明：設z1 = a + bi z2 = a + ( 1 - b ) i z3 = (1-a ) + ( 1 + b ) i z4 = ( 1 – a ) + bi 則左邊= | z1 | + | z2 | + | z3 | + | z4 | ≥ | z1 + z2 + z3 +z4 | ≥ | 2 + 2i | = 即 ≥ 例6、實數(shù)x，y，z，a，b，c，滿足 且xyz≠ 0求證： 通過入微觀察，結(jié)合所學的空間解析幾何知識,可以構(gòu)造向量 聯(lián)想到 ≤ 結(jié)合題設條件 可知，向量 的夾角 滿足 ， 這兩個向量 共線，又xyz≠0 所以 利用向量等工具巧妙地構(gòu)造 出所證明的不等式的幾何模型，利用向量共線條件，可解決許多用普通方法難以處理的問題對培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維十分有益。 4. 構(gòu)造幾何圖形 對于一些題目，可借助幾何圖形的特點來達到解題目的，我們可以構(gòu)造所需的圖形來解題。 例7、 解不等式||x-5|-|x+3||<6 分析：對于這類題目的一般解法是分區(qū)間求解，這是比較繁雜的。觀察本題條件可構(gòu)造雙曲線，求解更簡捷。 解：設F(-3，0) F(5，0)則|F1F2|=8 ，F(xiàn)1F2的中點為O`(1，0)，又設點P(x，0)，當x的值 滿足不等式條件時，P點在雙曲線 的內(nèi)部 ∴ 1-3 又如解不等式： 分析：若是按常規(guī)的解法，必須得進行分類討論而非常麻煩的，觀察不等式特點，聯(lián)想到雙曲線的定義，卻‘柳暗花明又一村"可把原不等式變?yōu)?br> 令 則得 由雙曲線的定義可知，滿足上面不等式的( x，y)在雙曲線 的兩支之間區(qū)域內(nèi)，因此原不等式與不等式組： 同解 所以不等式的解集為： 。利用定義的特點，把問題的難點轉(zhuǎn)化成簡單的問題，從而使問題得以解決。 在不少的數(shù)學競賽題，運用構(gòu)造來解題構(gòu)造法真是可見一斑。 例8、正數(shù)x，y，z 滿足方程組： 試求 xy+2yz+3xz的值。 分析： 認真觀察發(fā)現(xiàn)5，4，3可作為直角三角形三邊長，并就每個方程考慮余弦定理，進而構(gòu)造圖形直角三角形ABC，∠ACB=90°三邊長分別為3，4，5，∠COB=90° ∠AOB=150°并設 OA= x， OB= ， ， 則x，y，z， 滿足方程組，由面積公式得：S1 + S2 + S3 = 即得：xy+ 2yz + 3xz = 24 又例如：a，b，c為正數(shù)求證： ≥ 由是 a，b，c為正數(shù)及 等，聯(lián)想到直角三角形又由 聯(lián)系到可成為正方形的對角線之長，從而我們可構(gòu)造圖形求解。 通過上述簡單的例子說明了，構(gòu)造法解題有著在你意想不到的功效，問題很快便可解決?？梢姌?gòu)造法解題重在“構(gòu)造”。它可以構(gòu)造圖形、方程、函數(shù)甚至其它構(gòu)造，就會促使學生要熟悉幾何、代數(shù)、三角等基本知識技能并多方設法加以綜合利用，這對學生的多元思維培養(yǎng)學習興趣的提高以及鉆研獨創(chuàng)精神的發(fā)揮十分有利。因此，在解題教學時，若能啟發(fā)學生從多角度，多渠道進行廣泛的聯(lián)想則能得到許多構(gòu)思巧妙，新穎獨特，簡捷有效的解題方法而且還能加強學生對知識的理解，培養(yǎng)思維的靈活性，提高學生分析問題的創(chuàng)新能力。 參考文獻： [1] 劉 明：中學數(shù)學教學如何實施創(chuàng)新教育 四川教育學院學報2003.12 [2] 丘瑞立：中學數(shù)學方法論 廣西教育出版社 1998 8 [3] 趙春祥： 淺談構(gòu)造數(shù)學模型解題 數(shù)理化學習 1994.8 |
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