二維同頻振動(dòng)的合成如果一個(gè)粒子同時(shí)參與兩個(gè)頻率相同、振動(dòng)方向相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，合成振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)軌跡將是一個(gè)橢圓。由于這個(gè)原因，粒子的位置隨時(shí)間的變化必定同時(shí)滿足上面兩個(gè)分振動(dòng)方程，它們實(shí)際上就是這個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程。在其他情況下，合成振動(dòng)的軌跡一般是一個(gè)主軸不在坐標(biāo)軸上的斜橢圓，軌跡的具體形狀和粒子的運(yùn)動(dòng)方向由分振動(dòng)的振幅和相位差決定，具體的情況就交由大家討論吧。

一維異頻振動(dòng)的合成如果一個(gè)粒子同時(shí)參與兩個(gè)頻率不同、振動(dòng)方向平行的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，對(duì)振動(dòng)方程的處理方法與處理一維同頻振動(dòng)的方法是相似的。經(jīng)過頻率變換公式的變換后，兩個(gè)振動(dòng)方程在形式上類似于兩個(gè)頻率相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程，只是振動(dòng)的 “初相位” 要隨時(shí)間改變罷了。我們把由這樣兩個(gè)頻率相近，振動(dòng)方向平行的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成時(shí)產(chǎn)生的合振動(dòng)時(shí)強(qiáng)時(shí)弱的現(xiàn)象稱為拍，稱合振動(dòng)振幅的變化頻率為拍頻。

一維同頻振動(dòng)的合成可以用代數(shù)運(yùn)算和幾何表示兩種方法求出合成振動(dòng)的振幅和初相位。軸上的投影之和，這意味著對(duì)角線矢量就是代表合成振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量。從各個(gè)矢量的分量的關(guān)系也不難導(dǎo)出在代數(shù)運(yùn)算方法中引入的常數(shù)組合簡(jiǎn)記式 (1) 式，也可以利用圖中兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量的幾何關(guān)系直接得出合成振動(dòng)的振幅和初相位的表達(dá)式 (2) 式。從合成振動(dòng)的振幅表達(dá)式可以看出，兩個(gè)分振動(dòng)的初相位之差對(duì)合成振動(dòng)的行為有重要的影響。

銀河帝國的傳奇故事：貝萊與博士討論案情貝萊到達(dá)奧羅拉星球，與法斯陀夫博士一起討論人形機(jī)器人發(fā)生停擺的各種可能原因。然而，博士告訴貝萊，為了讓一個(gè)機(jī)器人進(jìn)入心智凍結(jié)狀態(tài)，當(dāng)事人并不需要親臨現(xiàn)場(chǎng)。博士當(dāng)初研發(fā)人形機(jī)器人的目的是為了研究人類的大腦，但有些人卻想將人形機(jī)器人用到他不贊同的方向。這種情況正是博士 “暗中發(fā)起毀滅人形機(jī)器人的計(jì)劃，以免被用于開拓新世界” 的動(dòng)機(jī)，這就是博士的政敵對(duì)他所作的指控。

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的幾何表示法當(dāng)一個(gè)粒子 (的位置矢量) 繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，它 (的末端) 的直角坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系描寫了一個(gè)確定的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。這樣一種用一個(gè)假想粒子的位置矢量做旋轉(zhuǎn)形象地描寫簡(jiǎn)諧振動(dòng)的方法被稱為旋轉(zhuǎn)矢量法，也可以稱這種方法為幾何表示法。相應(yīng)地，這個(gè)假想粒子的位置矢量也就被稱為旋轉(zhuǎn)矢量。需要注意的是，旋轉(zhuǎn)矢量只是為了直觀地描寫簡(jiǎn)諧振動(dòng)而引入的概念，旋轉(zhuǎn)矢量末端 (假想粒子) 的運(yùn)動(dòng)并不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量在物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的過程中，振動(dòng)勢(shì)能和振動(dòng)動(dòng)能都隨著時(shí)間而改變。第二項(xiàng)是彈簧振子的振動(dòng)勢(shì)能：小結(jié)有關(guān)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的知識(shí)可以得到，一個(gè)物體是否在做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可以從三個(gè)視角作出判斷：從動(dòng)力學(xué)的視角看，如果物體在線性恢復(fù)力的作用下運(yùn)動(dòng)，它將做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。從能量的視角看，由于與線性恢復(fù)力對(duì)應(yīng)的勢(shì)能與位置的平方成正比，因此，物體的勢(shì)能是否與位置的平方成正比也可以作為判斷系統(tǒng)是否做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的依據(jù)；

求解簡(jiǎn)諧振動(dòng)給出求解簡(jiǎn)諧振動(dòng)的應(yīng)用實(shí)例。通過對(duì)彈簧振子作受力分析，我們已經(jīng)推導(dǎo)出物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)滿足的動(dòng)力學(xué)方程，并通過求解動(dòng)力學(xué)微分方程得到了簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。由于簡(jiǎn)諧振動(dòng)所滿足的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程具有確定的形式，因此，只要利用初始條件求出振動(dòng)的振幅和初相位就可以了。于是，當(dāng)子彈入射后與物體粘連在一起時(shí)，系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。上述關(guān)于轉(zhuǎn)角的微分方程的解具有簡(jiǎn)諧振動(dòng)的形式：

描寫簡(jiǎn)諧振動(dòng)從簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)微分方程求解出描寫簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，并討論描寫簡(jiǎn)諧振動(dòng)的各個(gè)物理量。位置、速度和加速度是反映物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的三個(gè)基本物理量，對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)而言，這三個(gè)物理量與振動(dòng)相位。我們就說第二個(gè)振動(dòng)的相位比第一個(gè)振動(dòng)的相位超前，或者說第二個(gè)振動(dòng)的步調(diào)領(lǐng)先于第一個(gè)振動(dòng)；我們就說第二個(gè)振動(dòng)的相位比第一個(gè)振動(dòng)的相位落后，或者說第二個(gè)振動(dòng)的步調(diào)落后于第一個(gè)振動(dòng)。

簡(jiǎn)諧振動(dòng)利用彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程引入簡(jiǎn)諧振動(dòng)的概念。當(dāng)物體沿著彈簧的延伸方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，選取彈簧的平衡位置 (彈簧自然伸展時(shí)，其末端所處的位置) 為。由此可見，在豎直方向運(yùn)動(dòng)的彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程與水平運(yùn)動(dòng)的彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程相同，唯一的差別是反映運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變量不一樣。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)垂直懸吊的彈簧振子在豎直方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，抽象出來的微分方程與水平放置的彈簧振子沿彈簧擺放的方向運(yùn)動(dòng)所滿足的微分方程一模一樣。

銀河帝國的傳奇故事：貝萊受邀前往奧羅拉在奧羅拉星球上，一個(gè)人形機(jī)器人永久性地停擺了，貝萊受邀前往該星球辦案。閑聊間，丹尼爾告訴貝萊，在奧羅拉，不能像在地球上那樣，將機(jī)器人稱為 “小子”，而應(yīng)該直呼其名，并用 “他” 或者 “她” 來指稱機(jī)器人。貝萊非常想從遠(yuǎn)處看一看這顆行星，恰好這時(shí)吉斯卡送餐進(jìn)來，他對(duì)貝萊說，無法從駕駛艙中觀看奧羅拉，他似乎看穿了貝萊的心思。

黃山歸來不看岳：始信黃山奇從黃山的后山上山后，始信峰是第一座令人感受到黃山之峻美的山峰。始信峰是黃山 36 小峰之一，海拔 1683 米，它并不是黃山最險(xiǎn)峻的山峰，卻是從后山上山后第一處令人感受到黃山之峻美的所在，因此，有到了始信峰 “始信黃山天下奇” 的美譽(yù)。石筍峰、仙女峰與無名峰。先向始信峰南崖和石筍矼的方向看去，那里有我們已經(jīng)熟悉的幾處著名景觀：童子拜觀音、十八羅漢朝南海、仙人下棋、無名峰和臥云峰。

銀河帝國的傳奇故事：索拉利的啟示索拉利兇殺案結(jié)案后，貝萊回到了地球，隨即向部長匯報(bào)索拉利之行的感受，并就有關(guān)地球如何走向未來的問題闡述了自己的觀點(diǎn)。他不受索拉利法律管轄，地球的福祉比什么都重要。盡管索拉利可能已經(jīng)逐步走向衰落，但是，其他外圍世界與索拉利不同，他們的機(jī)器人并不多，也不在乎面對(duì)面。在整個(gè)銀河系， 有一個(gè)世界與索拉利很相像，那就是地球：索拉利退縮到彼此隔絕，地球則退縮到與整個(gè)銀河隔絕；

黃山歸來不看岳：再遇黃山松從石筍矼觀景臺(tái)經(jīng)由鴻運(yùn)當(dāng)頭觀景臺(tái)、石筍峰觀景臺(tái)、探海松觀景臺(tái)和蘑菇亭平臺(tái)，最終來到始信峰南崖，短短一百多米的路程，我們?cè)俅我娮R(shí)了黃山的奇松。在石筍矼觀景臺(tái)，我們?cè)?jīng)提到過石筍峰，在那個(gè)方向看去，它還不太像一支竹筍。在石筍峰的旁邊，有一座巖石結(jié)構(gòu)為傾斜狀的山峰，正是在石筍矼觀景臺(tái)看到過的無名峰。從石筍峰觀景臺(tái)往上走，是一個(gè)較小的觀景臺(tái)：探海松觀景臺(tái)。

銀河帝國的傳奇故事：索拉利兇殺案結(jié)案貝萊根據(jù)搜集到的線索，通過邏輯推理推斷出兇手的作案手法，成功地偵破了索拉利星球上的兇殺案。由于貝萊當(dāng)時(shí)命令機(jī)器人看管丹尼爾時(shí)下的命令有漏洞，丹尼爾就利用這個(gè)漏洞擺脫了機(jī)器人的看管，設(shè)法查到了貝萊的下落。正當(dāng)?shù)つ釥栒业截惾R時(shí)，貝萊正好向池塘跌落下去。從床上起來后，貝萊把兇殺案發(fā)生時(shí)嘉蒂雅就在案發(fā)現(xiàn)場(chǎng)這個(gè)事實(shí)告訴了丹尼爾，并向他解釋了為何執(zhí)意要與索拉利人見面的原因：

在通過分離變量法求出的自由振動(dòng)的一般解中，對(duì)應(yīng)于某個(gè)本征值的特解是兩端固定的弦激發(fā)的一種可能的駐波，一般解是所有可能的駐波的線性疊加。在這個(gè)駐波的表達(dá)式中，與時(shí)間演化有關(guān)的三角函數(shù)描寫了弦上各點(diǎn)在任意時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)，而與空間位置有關(guān)的三角函數(shù)則給出了弦上各點(diǎn)的振幅分布。就是這個(gè)駐波的圓頻率，它只取決于弦自身的性質(zhì)，與弦的初始狀態(tài)無關(guān)，因而被稱為固有頻率，也被稱為本征頻率；由駐波的最大振幅。

電磁場(chǎng)的動(dòng)量。與守恒方程比較，馬上可以猜到，這一項(xiàng)可能就是電磁場(chǎng)的動(dòng)量密度項(xiàng)，而式子中的其余部分應(yīng)該對(duì)應(yīng)于電磁場(chǎng)的動(dòng)量流密度張量項(xiàng)。在這個(gè)表達(dá)式中，空間導(dǎo)數(shù)部分已經(jīng)是一個(gè)張量的散度，將它與動(dòng)量守恒方程做比較，得到電磁動(dòng)量和動(dòng)量流密度的表達(dá)式：與能量守恒的情況相似，只要麥克斯韋方程組和洛倫茲公式正確，動(dòng)量守恒是必然的結(jié)果，并且，電磁場(chǎng)的動(dòng)量密度和動(dòng)量流密度的表達(dá)式就完全被確定下來了。

弦的自由振動(dòng)：特解疊加。將一維波動(dòng)方程的特解做線性疊加構(gòu)成一般解，利用初始條件和本征函數(shù)的正交歸一性求出疊加系數(shù)。已經(jīng)將本征函數(shù)中的任意常數(shù)與時(shí)間演化函數(shù)中的兩個(gè)任意常數(shù)合并成兩個(gè)新的任意常數(shù)。為了確定一般解中的疊加系數(shù)，需要用到本征函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)：對(duì)應(yīng)于兩個(gè)不同本征值的本征函數(shù)是正交的。等式中的初始位移分布函數(shù)是一個(gè)由實(shí)際物理環(huán)境決定的已知函數(shù)，因而積分總是可以做出來的。

電磁動(dòng)量守恒方程。與電磁場(chǎng)具有能量的情況相似，電磁場(chǎng)給運(yùn)動(dòng)的帶電粒子施加力，表明兩者之間必定有動(dòng)量轉(zhuǎn)移，從而電磁場(chǎng)本身也必定有動(dòng)量。與能量守恒的情況類似，當(dāng)動(dòng)量在電磁場(chǎng)與帶電粒子之間傳遞時(shí)，如果要保持動(dòng)量守恒，電磁場(chǎng)因?qū)щ娏Ｗ邮┘恿Χ鴣G失的動(dòng)量必定轉(zhuǎn)移到帶電粒子上。與電磁能守恒的情況相似，利用經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的基本方程，可以通過電磁動(dòng)量守恒方程推導(dǎo)出電磁場(chǎng)的動(dòng)量密度和動(dòng)量流密度的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

銀河帝國的傳奇故事：索拉利案的關(guān)鍵證據(jù)通過對(duì)幾個(gè)關(guān)鍵證人的偵訊，貝萊逐漸觸碰到了索拉利案的關(guān)鍵證據(jù)。貝萊闡述了自己對(duì)第一法則的看法，認(rèn)為完整的第一法則應(yīng)該這樣說：機(jī)器人不得在知情的情況下傷害人類，或者在知情的情況下因不作為而使人類受到傷害。李比對(duì)貝萊提出的這個(gè)案例的可行性給予了肯定，但他指出，想要借助機(jī)器人之手行兇，必須對(duì)機(jī)器人下達(dá)非常高明的命令。貝萊覺得李比十分了解嘉蒂雅，應(yīng)該知道她殺人的動(dòng)機(jī)。

弦的自由振動(dòng)：本征值問題。已經(jīng)將弦的自由振動(dòng)偏微分方程的特解分解成單變量函數(shù)的乘積，得到了空間部分滿足的常微分方程，并由問題的邊界條件得到求解方程所需要的約束條件：求解上述常微分方程，得到特解的空間部分后，再求解時(shí)間演化方程。的情況，無論是空間部分滿足的方程還是時(shí)間演化方程，得到的都是指數(shù)形式的解：常數(shù)的這種特定數(shù)值叫本征值，相應(yīng)的微分方程被稱為本征方程，它與約束條件一起構(gòu)成本征值問題。