【原】振動(dòng)的分解

cosmos2062 2025-10-28 發(fā)布于廣東

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任意一個(gè)隨時(shí)間作周期變化的運(yùn)動(dòng)，都可以被分解成若干個(gè)方向平行、振幅不同、頻率各異的簡諧振動(dòng)。

在討論一維異頻振動(dòng)合成的問題中，我們將兩個(gè)方向平行、頻率不同的簡諧振動(dòng)疊加起來，構(gòu)成了一個(gè)具有某種周期的運(yùn)動(dòng)?？梢灶A(yù)期，當(dāng)然也可以驗(yàn)證，如果將若干個(gè)方向平行、振幅不同、頻率各異的簡諧振動(dòng)疊加起來，其結(jié)果應(yīng)該仍然是具有某種周期的運(yùn)動(dòng)。這種情況啟發(fā)我們，任意一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)，都可以被分解成若干個(gè)方向平行、振幅不同、頻率各異的簡諧振動(dòng)。

從數(shù)學(xué)的層面上看，上述情況其實(shí)就是將一個(gè)周期函數(shù)分解成一系列三角函數(shù)的問題。設(shè)想有一個(gè)以 $t$ 為自變量的周期函數(shù) $f(t)$ ，自變量 $t$ 的變化周期為 $T$ 。在數(shù)學(xué)中，有一個(gè)分支被稱為傅里葉級(jí)數(shù)，它告訴我們，可以將上述周期函數(shù)按三角函數(shù)展開： $\begin{equation}\notag f(t)=A_0+\sum_{k=1}^\infty A_k \cos(\frac{2k\pi}{T}t+\varphi_k) \end{equation}$ 只要函數(shù) $f(t)$ 已知， $A_k$ 和 $\varphi_k$ 就可以通過積分求出，具體的計(jì)算公式和基本原理將會(huì)在另一門課程中詳細(xì)討論。在目前的知識(shí)層面，我們只需要對(duì)這個(gè)問題有一個(gè)基本的了解就夠了。

在上述傅里葉級(jí)數(shù)中，如果變量 $t$ 具有時(shí)間的量綱，則級(jí)數(shù)中的每一項(xiàng)就與物理學(xué)中的簡諧振動(dòng)對(duì)應(yīng)起來了，每一個(gè)振動(dòng)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的圓頻率 $\begin{equation}\notag \omega_k=\frac{2k\pi}{T} =k\omega \end{equation}$ 其中 $\omega$ 是函數(shù) $f(t)$ 隨時(shí)間變化的圓頻率。如果再將 $x=f(t)$ 看作運(yùn)動(dòng)粒子的坐標(biāo)，或者某個(gè)隨時(shí)間變化的物理量，上面的傅里葉級(jí)數(shù)就被改寫成 $\begin{equation}\notag x=A_0+\sum_{k=1}^\infty A_k\cos(\omega_kt+\varphi_k) \end{equation}$ 結(jié)果發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)隨時(shí)間作周期變化的運(yùn)動(dòng)，都可以被分解成若干個(gè) (也許是無數(shù)個(gè)) 方向平行、振幅不同、頻率各異的簡諧振動(dòng)。

上述振動(dòng)分解中的各個(gè)簡諧振動(dòng)的頻率有一個(gè)重要的特點(diǎn)：它們都是原來的周期運(yùn)動(dòng)的頻率的整數(shù)倍。在這些簡諧振動(dòng)中， $k=1$ 的分振動(dòng)與原來的周期運(yùn)動(dòng)有相同的頻率，這個(gè)分振動(dòng)被稱為基頻振動(dòng)，相應(yīng)的頻率被稱為基頻； $k\geq2$ 的分振動(dòng)的頻率是基頻的整數(shù)倍，被稱為諧頻，相應(yīng)的分振動(dòng)被稱為諧頻振動(dòng)。上述將一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)分解成若干個(gè)簡諧振動(dòng)的過程，被稱為諧振分析。通過諧振分析得到的一系列簡諧振動(dòng)的振幅隨頻率的分布，被稱為該周期運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)譜。

一個(gè)典型的實(shí)例是方形振動(dòng)，它的振動(dòng)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)為： $\begin{equation}\notag x=\frac{2A}{\pi}\left(\sin\omega t+\frac{1}{3}\sin3\omega t+\frac{1}{5}\sin5\omega t+\cdots\right) \end{equation}$ 如果只考慮分解中的頭一項(xiàng)，就是一個(gè) “純粹的” 簡諧振動(dòng)，它與方形振動(dòng)當(dāng)然相去甚遠(yuǎn)；如果加上第二項(xiàng)，疊加的結(jié)果與方形振動(dòng)已經(jīng)形似了；若是再加上第三項(xiàng)，結(jié)果就是一個(gè)有起伏的方形振動(dòng)?？梢灶A(yù)期，再加上更多的諧頻振動(dòng)，疊加的結(jié)果將更貼近方形振動(dòng)。

從方形振動(dòng)的傅里葉級(jí)數(shù)的表達(dá)式可以得到該振動(dòng)的振動(dòng)譜，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，只有在某些特定的頻率處，才有相應(yīng)的簡諧振動(dòng)被激發(fā)。這種只在某些特定頻率處才存在振動(dòng)的振動(dòng)譜，被稱為分立譜，周期運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)譜都是分立譜。

從分振動(dòng)的頻率 $\omega_k$ 的表達(dá)式不難得出，相鄰兩個(gè)分振動(dòng)的頻率的間隔反比于原周期運(yùn)動(dòng)的周期，或者更準(zhǔn)確地說，等于原周期運(yùn)動(dòng)的頻率： $\begin{equation}\notag \Delta\omega=\omega_{k+1}-\omega_k=\frac{2\pi}{T}=\omega \end{equation}$ 這意味著，原周期運(yùn)動(dòng)的周期越大、頻率越小，分立的振動(dòng)譜的頻率間隔就越小。由此可以推斷，對(duì)周期非常長的運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)譜將非常稠密。在極限情況下，可以將非周期運(yùn)動(dòng)看作周期為無限長的運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)的頻率趨于零。在這樣的極限情況下，傅里葉級(jí)數(shù)將過渡到傅里葉積分： $\begin{equation}\notag x=\int\limits_0^\infty A_\omega\cos(\omega t+\varphi_\omega){\rm d}\omega \end{equation}$ 它的振動(dòng)譜將趨于連續(xù)分布，即非周期運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)譜是連續(xù)譜。