中國古代數(shù)學(xué)知識的積累

1.四則運(yùn)算和籌算

在殷墟甲骨文卜辭中，已有很多記數(shù)的文字，當(dāng)時已采用了十進(jìn)位制。到了春秋時期，記錄大數(shù)已經(jīng)用億、兆、經(jīng)、姟等字表示數(shù)字的十進(jìn)單位。

春秋戰(zhàn)國時期四則運(yùn)算方法已趨完備。如戰(zhàn)國初年李悝的《法經(jīng)》中，已講到了減法、乘法和除法。不少先秦典籍中都有乘法口訣的例句，但到春秋戰(zhàn)國時期才有不完全的記載?！断暮铌査憬?jīng)》說："乘除之法先明九九"。因當(dāng)時的乘法口訣是從"九九八十一"起到"二二如四"止，共36句；口訣以"九九"二字開頭，故將乘法口訣稱為"九九"。

中國古代用算籌作為記數(shù)工具，并由此發(fā)展起一種獨(dú)特的計(jì)算方法，即籌算。算籌就是一些徑約一分、長約六寸(合現(xiàn)在13.8厘米）的小竹棍；利用算籌在案上擺成數(shù)字進(jìn)行計(jì)算，就叫籌算。表示數(shù)目的算籌有縱橫兩種籌式：用籌來表示一個多位數(shù)字，其方法就像現(xiàn)在用數(shù)碼記數(shù)一樣，把各位的數(shù)目縱橫相間地從左到右橫列，個位用縱式，十位用橫式，百位、萬位用縱式，千位、十萬位用橫式；數(shù)字中遇有零時，就用空位表示。如86032，百位上空位不放算籌。由于籌式用的是"十進(jìn)位值制"，不同位值要縱橫相間擺設(shè)算籌，所以空位很易辨別。籌算的加減法是擺上兩行籌式，位數(shù)對齊，相加相減變成一行籌式就得出結(jié)果。乘法則分三層擺籌，上位、中位、下位分別相當(dāng)于被乘數(shù)、積和乘數(shù)；除法也分三層擺籌，中位為實(shí)(被除數(shù)），下位為法(除數(shù)），上位為商。十進(jìn)位值制記數(shù)法和以籌為工具的各種運(yùn)算，是中國古代一項(xiàng)十分杰出的創(chuàng)造，比古巴比倫、古埃及和古希臘所用的計(jì)算方法更為優(yōu)越。

春秋戰(zhàn)國時期，分?jǐn)?shù)已常被使用。當(dāng)時歷法計(jì)算中的奇零就用分?jǐn)?shù)表示；生產(chǎn)和生活中大量的分配問題，也常用到分?jǐn)?shù)概念。如《管子》在談到土地種植的分配時有"十分之二"、"十分之四"、"十分之五"、"十分之七"等分?jǐn)?shù)；《墨子》在講到食鹽的分配時有"二升少半"、"一升大半"的說法。"半"即二分之一，"少半"為三分之一，"大半"為三分之二，都是當(dāng)時通用的分?jǐn)?shù)術(shù)語?！犊脊び洝分袑τ诟鞣N器具規(guī)格的規(guī)定，大量使用了分?jǐn)?shù)，而且有了分?jǐn)?shù)運(yùn)算。

從戰(zhàn)國墓葬中出土的天平砝碼的重量，以1、2、4、8……遞增，這相當(dāng)于等比數(shù)列、20、21、22、23……。在樂律研究中，《管子.地員》篇提出了"三分損益法"的樂律計(jì)算方法，其法為"先主一而三之，四開以合九九"。相當(dāng)于1×34＝9×9＝81。這兩個例子表明當(dāng)時已有了指數(shù)的初步概念。

2.幾何知識

《周髀算經(jīng)》卷上之一中，記載了西周開國時期周公姬旦與大夫商高關(guān)于原始的割圓之法的問答。第一段講周天歷度之?dāng)?shù)的方法，即勾股法。文中稱："故折矩以為句(勾），廣三，股修四，徑隅五。既方其外，半之一矩。環(huán)而共盤，得成三、四、五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也。"這是說在夏禹時已有了"勾三股四徑(弦）五"這個勾股定理的特例的知識了。在卷上之二中更有"以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪(斜）至日"。這是明確的"勾2＋股2＝弦2"的表述。所以中國發(fā)現(xiàn)勾股弦定理至少比古希臘畢達(dá)哥拉斯早一個世紀(jì)。

由于戰(zhàn)爭和生產(chǎn)的需要，春秋戰(zhàn)國時期各地修建了不少城防和水利工程。這就需要運(yùn)用大量的幾何知識進(jìn)行距離、高低、厚薄、土方等測量?！赌印分芯陀涊d了有關(guān)城墻、城門、垛口、城樓的一系列計(jì)算問題，都與立體幾何有關(guān)。《春秋》記載，公元前594年魯國首先實(shí)行對公、私土地一律按田畝征稅的"初稅畝"制度，這就要對各種形狀的面積進(jìn)行丈量計(jì)算。可以相信，當(dāng)時對正方形、長方形、三角形、梯形和圓等各種面積，已有了計(jì)算法則。

春秋戰(zhàn)國時期的文獻(xiàn)中，有不少關(guān)于測量繪圖的記載。測量包括直線測量、水準(zhǔn)測量和垂直測量，分別稱為"繩墨"、"水"和"懸"。"繩墨"就是打墨線以取直，"水"就是以水平面為標(biāo)準(zhǔn)測量坡度和高程；"懸"就是用鉛垂線以定豎直。

在制造各種農(nóng)具、車輛、兵器和樂器中，常會遇到不同部位有不同角度的問題，所以當(dāng)時已形成了角的概念以及衡量角度大小的一些單位?！犊脊び洝钒呀欠Q為"倨句"，"倨"就是鈍，"句"就是銳。直角被稱為"倨句中矩"或"一矩"。在"磬氏"節(jié)中講"磬氏為磬，倨句一矩有半"。這是說石磬背部折角的大小是一個直角(矩）再加上半個直角，即135°。

3.組合數(shù)學(xué)思想的萌芽

流傳至今的最古典籍之一《易經(jīng)》，是符合體系與概念體系的統(tǒng)一體。它的符號體系中包含有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)邏輯性。這種符號體系是由代表"陰爻"的"——"和代表"陽爻"的"-"兩種基本符號通過排列組合而得出的"四象"、"八卦"和"六十四卦"的集合。

把"-""——"分別與"-"、"——"排列一次，共有22＝4種組合，就是"四象"；再把"-"、"——"與"四象"各配一次，即由三個爻組成一組，共有23＝8種組合，就是"八卦"。八種符號分別象征天(）、地(）、水(）、火(）、風(fēng)(）、雷(）、山(）、澤()八種自然事物，再分別賦予乾、坤、坎、離、巽、震、艮、兌八個卦名，同時還分別代表八個方向。把八卦的每一卦都和八卦相配一次，即取六個爻組成一組，共有26＝64種組合，即"八八六十四卦"。由于"陰"和"陽"是中國古人對一切事物和現(xiàn)象中兩種對立力量的高度概括，因而由"陰"和"陽"兩種符號排列組合而形成的"六十四卦"，就可以表示出事物和現(xiàn)象的六十四種可能的狀態(tài)；卦爻從下(第一個初爻）到上(第六個上爻）的每種排列，就可以表示出事物的某種發(fā)展過程。這樣，《周易》就給出了一個樸素的、具有一定邏輯結(jié)構(gòu)的關(guān)于事物發(fā)展變化的描述體系。

卦爻還包含了二進(jìn)制的數(shù)學(xué)思想。如果把陰爻"——"以"0"代替，把陽爻"-"用"1"代替，可以看出易卦就是二進(jìn)制數(shù)碼組。八卦和二進(jìn)制數(shù)碼的對應(yīng)關(guān)系為：

坤艮坎巽震離兌乾

二進(jìn)制數(shù)　000001010011100101110111

十進(jìn)制數(shù)　01234567

所以，六十四卦也可以表成二進(jìn)制展開式和相應(yīng)的自然數(shù)序63。

此外，春秋戰(zhàn)國時期，在實(shí)用數(shù)學(xué)知識豐富積累的基礎(chǔ)上，一些思想家也開始探討一些抽象的數(shù)學(xué)理論問題。在《墨經(jīng)》的《經(jīng)上》和《經(jīng)說上》中，記載了墨家關(guān)于數(shù)學(xué)、特別是幾何學(xué)(形學(xué)）問題的論述。這些論述包括了有關(guān)"平、"直"、"體"、"同長"、"中"、"圓"、"方"、"倍"、"厚"、"端"、"間"、"盈"、"攖"以及空間的"有窮"、"無窮"和時間的"始"的定義和說明，包含了豐富的數(shù)理科學(xué)思想和嚴(yán)密的邏輯推理。在《經(jīng)下》和《經(jīng)說下》中，有關(guān)于"十進(jìn)位值制"和用"進(jìn)前取"與"前后取"兩種方法分割線段而得到"不可"的"端"(點(diǎn)）的說明。

在《莊子.天下》篇中，記載了名家惠施和公孫龍等辯者所提出的一些與數(shù)學(xué)思想有關(guān)的論題。如"至大無外謂之大一，至小無內(nèi)謂之小一"、"飛鳥之影未嘗動也"、"鏃矢之疾，而有不行不止之時"、"一尺之棰，日取其半，萬世不竭"。所謂"大一"和"小一"，從物理學(xué)的角度可理解為"宇宙"和"原子"；而從數(shù)學(xué)的角度來說，"大一"可理解為空間、時間的整體，"小一"可理解為空間的"點(diǎn)"和時間的"瞬時"。第二條說鳥在飛翔過程中，每一瞬時投在地面上特定位置的影子是沒有移動的；這和第三條所說的"飛矢"的情況一樣，射出的箭每一瞬時都占有空間一個特定的位置，因而在該瞬時可以說是靜止在這個位置上的。但它同時又正在離開這個位置，這就是"不行不止"的狀態(tài)。第四條中的"棰"指古代一種策馬杖，是一尺來長的木棒。文中說每天從所剩下的長度中取其一半，永遠(yuǎn)也不會取完。從數(shù)學(xué)上說，這個命題相當(dāng)于L可以無限地趨近于零，但無論n為多么大的數(shù)，L也永遠(yuǎn)不會等于零。