提到“絕對值”，是不是總覺得 “好像會(huì)，但一做題就錯(cuò)”？比如分不清什么時(shí)候去絕對值符號(hào)、不知道距離和怎么求最小值，甚至沒琢磨過為啥它非得用兩條豎線表示？其實(shí)這看似簡單的數(shù)學(xué)概念，藏著 “距離本質(zhì)” 和 “非負(fù)邏輯” 的關(guān)鍵密碼。今天咱們從根上聊透 —— 絕對值的意義、由來，再到 3 類經(jīng)典題的實(shí)戰(zhàn)解法，幫你徹底告別 “似懂非懂”，下次碰到絕對值題直接穩(wěn)拿分！

絕對值幾何意義：

數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值（absolute value),記作|a|（這里數(shù)a可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)和0）。

絕對值的代數(shù)意義：

表示一個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離，且始終為非負(fù)數(shù)。對于任意實(shí)數(shù)x，當(dāng)x>0時(shí)，x的絕對值為x；當(dāng)x=0時(shí)，x的絕對值為0；當(dāng)x<0時(shí)，x的絕對值為-x（即一個(gè)正數(shù)的絕對值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0）。

絕對值的非負(fù)性：

對于任意實(shí)數(shù)x，那么|x|大于等于0（絕對值|x|表示x到數(shù)軸原點(diǎn)0的距離，因此它一定非負(fù)）。

2.絕對值的由來

絕對值這一核心的數(shù)學(xué)概念，并非一蹴而就，其思想的萌芽和符號(hào)的創(chuàng)立經(jīng)歷了漫長的過程。

思想萌芽：古代的“非負(fù)距離”

早在古代，數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)有了“距離”和“非負(fù)值”的樸素思想。例如，在處理幾何問題時(shí)，無論一個(gè)點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊還是右邊，它到原點(diǎn)的距離總是正數(shù)。這種不考慮方向的“量”的大小，便是絕對值概念的雛形。

符號(hào)創(chuàng)立：魏爾斯特拉斯的貢獻(xiàn)

然而，將這一思想抽象化、并賦予其專用數(shù)學(xué)符號(hào)的，是德國數(shù)學(xué)家卡爾·魏爾斯特拉斯。他被公認(rèn)為現(xiàn)代分析的奠基人之一。大約在1841年，魏爾斯特拉斯首次引入并使用了兩條垂直豎線作為絕對值的標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)，例如用 |a| 來表示實(shí)數(shù) a 的絕對值。

這一簡潔的符號(hào)極大地促進(jìn)了數(shù)學(xué)表達(dá)與交流，使絕對值成為我們今天在代數(shù)、分析等領(lǐng)域中不可或缺的基本工具。因此，雖然思想古已有之，但魏爾斯特拉斯被普遍譽(yù)為將絕對值概念系統(tǒng)化并固定下來的關(guān)鍵人物。

3.絕對值的應(yīng)用

1.絕對值的幾何意義 

已知數(shù)軸上有三個(gè)點(diǎn) a 、 b 、 c ，分別表示有理數(shù) ?4 、 2 、 x。若 ∣x+4∣+∣x?2∣ 表示點(diǎn) c 到點(diǎn) a 和點(diǎn) b 的距離之和，求當(dāng) x在數(shù)軸上移動(dòng)時(shí)， ∣x+4∣+∣x?2∣ 的最小值，并指出取得最小值時(shí) x 的取值范圍。

解：

∣x+4∣+∣x?2∣ 的幾何意義是：數(shù)軸上點(diǎn) c （對應(yīng)數(shù) x）到點(diǎn) a（對應(yīng)數(shù) ?4 ）與點(diǎn) b （對應(yīng)數(shù) 2 ）的距離之和。

要使這個(gè)距離之和最小，x 應(yīng)位于 ?4 和 2 之間（包括兩端點(diǎn)），因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn) c到 a 、 b的距離和為線段 ab的長度，為定值。當(dāng) x 超出這個(gè)區(qū)間，距離和會(huì)變大

故當(dāng)?4≤x≤2 時(shí)， ∣x+4∣+∣x?2∣=(x+4)+(2?x)=6.

所以，最小值為6.

2.絕對值的代數(shù)意義

已知1＜x＜2，則∣x-3∣-∣2-x∣的值為多少？

解：

∵1＜x＜2

∴∣x-3∣=3-x，∣2-x∣=2-x

∴原式=3-x-3+x=6

3.絕對值的非負(fù)性

已知y=∣x?2∣+∣x+y-5∣+∣y-1∣+1，求x+y的值

解：

∵y=∣x?2∣+∣x+y-5∣+∣y-1∣+1

∴y-1=∣x?2∣+∣x+y-5∣+∣y-1∣

∵絕對值具有非負(fù)性

∴∣x?2∣+∣x+y-5∣+∣y-1∣≥0，y-1≥0

∴y-1被抵消

∴∣x?2∣+∣x+y-5∣=0，x+y=5

相信大家已經(jīng)學(xué)會(huì)了以上關(guān)于絕對值的解題方法，那就請同學(xué)們來試一試下面的題目吧。

舉一反三

答案：1.9或15.      2. 1        3. 33或3.   

看完這篇，是不是發(fā)現(xiàn)絕對值不再是“記公式的死知識(shí)”了？從數(shù)軸上的距離，到魏爾斯特拉斯的符號(hào)創(chuàng)新，再到用非負(fù)性破解未知數(shù)，其實(shí)他的核心就圍繞“非負(fù)”和“實(shí)用”兩個(gè)詞。以后再碰到絕對值化簡、求最值的題，現(xiàn)象幾何意義和非負(fù)性，大概率能少走彎路。你之前做絕對值題是時(shí)，最容易卡殼的是哪類？評論區(qū)聊聊，咱們一起避坑～