面對函數(shù)極值、最值問題，很多人還在靠“畫圖猜”“代入算”，不僅慢還容易錯。其實(shí)用導(dǎo)數(shù)只需3步固定流程，就能跳過復(fù)雜分析，直接精準(zhǔn)求解，尤其適合高中數(shù)學(xué)和大學(xué)微積分的高頻考題。

先明確：導(dǎo)數(shù)為什么能“管”極值和最值？

核心原理一句話說透：函數(shù)的極值點(diǎn)，一定是導(dǎo)數(shù)為0（或?qū)?shù)不存在）的點(diǎn)。

就像爬山時，到達(dá)山頂（極大值）或山谷（極小值）的瞬間，“上升/下降的速度”會變成0——對應(yīng)到函數(shù)上，就是“切線斜率為0”，也就是導(dǎo)數(shù)f’(x)=0。而最值（整個區(qū)間內(nèi)的最大/最小值），要么是區(qū)間內(nèi)的極值，要么是區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，用導(dǎo)數(shù)找到極值后對比即可，無需逐個點(diǎn)驗(yàn)證。

用導(dǎo)數(shù)“秒殺”極值：3步走，不用畫圖

以“求函數(shù)f(x)=x3-3x的極值”為例，固定流程如下：

第一步：求導(dǎo)，找“導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)”（駐點(diǎn)）

先對原函數(shù)求導(dǎo)，用基本求導(dǎo)公式（冪函數(shù)求導(dǎo)：(x?)’=n x??1）：

f’(x) = 3x2 - 3

令f’(x)=0，解方程：3x2 - 3 = 0 → x2=1 → x=1 或 x=-1

這兩個x值（1和-1）就是“可能的極值點(diǎn)”，接下來判斷它們是極大值還是極小值。

第二步：判斷“駐點(diǎn)”的性質(zhì)（極大/極小值）

有兩種超簡單的方法，選其一即可：

· 方法1：導(dǎo)數(shù)符號變化法（更直觀）

把x=1和x=-1作為分界點(diǎn)，劃分區(qū)間，判斷每個區(qū)間內(nèi)f’(x)的正負(fù)：

? 當(dāng)x＜-1時（比如x=-2）：f’(-2)=3×(-2)2-3=9＞0 → 函數(shù)單調(diào)遞增；

? 當(dāng)-1＜x＜1時（比如x=0）：f’(0)=-3＜0 → 函數(shù)單調(diào)遞減；

? 當(dāng)x＞1時（比如x=2）：f’(2)=9＞0 → 函數(shù)單調(diào)遞增。

結(jié)論：x=-1處，導(dǎo)數(shù)從正變負(fù)→函數(shù)先增后減→極大值點(diǎn)；x=1處，導(dǎo)數(shù)從負(fù)變正→函數(shù)先減后增→極小值點(diǎn)。

· 方法2：二階導(dǎo)數(shù)法（更快捷）

對一階導(dǎo)數(shù)f’(x)再求導(dǎo)（二階導(dǎo)數(shù)f''(x)）：f''(x)=6x

? 代入x=-1：f''(-1)=-6＜0 → 函數(shù)圖像在該點(diǎn)“上凸”→極大值點(diǎn)；

? 代入x=1：f''(1)=6＞0 → 函數(shù)圖像在該點(diǎn)“下凸”→極小值點(diǎn)。

第三步：代入原函數(shù)，求極值大小

把極值點(diǎn)代入原函數(shù)f(x)：

· 極大值：f(-1)=(-1)3 - 3×(-1)=2；

· 極小值：f(1)=13 - 3×1=-2。

整個過程沒有復(fù)雜計算，全是“求導(dǎo)→解方程→判斷”的固定步驟，2分鐘就能出結(jié)果。

用導(dǎo)數(shù)“秒殺”最值：比極值多1步，對比即可

最值是“區(qū)間內(nèi)的最大/最小值”，只需在極值的基礎(chǔ)上，多一步“對比區(qū)間端點(diǎn)值”。

比如“求函數(shù)f(x)=x3-3x在區(qū)間[0,2]上的最值”：

1. 先按上面3步找到區(qū)間內(nèi)的極值：區(qū)間[0,2]內(nèi)只有x=1（極小值點(diǎn)，f(1)=-2）；

2. 計算區(qū)間兩個端點(diǎn)的函數(shù)值：

? 左端點(diǎn)x=0：f(0)=03 - 3×0=0；

? 右端點(diǎn)x=2：f(2)=23 - 3×2=2；

3. 對比所有值（-2、0、2）：

最大值為2（x=2時），最小值為-2（x=1時）。

哪怕區(qū)間內(nèi)有多個極值，也只需“列全極值+端點(diǎn)值，比大小”，不用再分析函數(shù)趨勢，效率直接翻倍。

避坑提醒：2個常見錯誤，用導(dǎo)數(shù)能直接避開

1. 錯把“導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)”都當(dāng)極值點(diǎn)：比如f(x)=x3，f’(x)=3x2，令f’(x)=0得x=0，但x=0處函數(shù)單調(diào)遞增（導(dǎo)數(shù)始終非負(fù)），不是極值點(diǎn)——用“導(dǎo)數(shù)符號變化法”就能輕松判斷，避免誤判。

2. 求最值時漏算端點(diǎn)值：比如函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有極大值，但端點(diǎn)值可能更大（如上面例子中x=2的函數(shù)值2＞極大值2？不，上例極大值在區(qū)間外，實(shí)際考試中常遇到“區(qū)間內(nèi)極大值＜端點(diǎn)值”的情況），用“極值+端點(diǎn)值對比法”能100%避免遺漏。

用導(dǎo)數(shù)解極值、最值，本質(zhì)是“用數(shù)學(xué)工具替代主觀分析”，把靈活的“找規(guī)律”變成固定的“走流程”。不管是簡單的三次函數(shù)，還是復(fù)雜的指數(shù)、對數(shù)函數(shù)，只要掌握“求導(dǎo)→找駐點(diǎn)→判斷→對比”這幾步，就能告別繁瑣計算，秒出正確答案。