歐幾里得與《幾何原本》

歐幾里得(約公元前330～前275)是亞歷山大前期的第一個大數學家。亞歷山大前期是指從公元前4世紀到公元前146年古希臘滅亡，羅馬成為地中海區(qū)域的統(tǒng)治者為止，這一時期，希臘數學發(fā)展達到了鼎盛時期。歐幾里得生于雅典，曾就學于柏拉圖學派。大約在公元前300年左右，在托勒密一世王的邀請下，歐幾里得來到亞歷山大城傳授數學。在此，歐幾里得完成了他的代表作，也是希臘數學的百科全書——《幾何原本》。

古希臘幾何學從泰勒斯開始，經畢達哥拉斯學派到柏拉圖學派，發(fā)展為建立在定義和公理基礎上演繹而成的一套嚴密體系。歐幾里得的《幾何原本》是集大成之作，充分地體現了古希臘幾何學的發(fā)展結果，成為標志古代希臘幾何學形成完整體系的里程碑。歐幾里得不僅在選擇公理和編排定理次序上下了一番功夫，而且他還增補了一些定理，給出了一些證明；特別是體系的嚴謹與論證的嚴密更使后人贊嘆不已。

《幾何原本》的論述結構是以少量原始概念和不需證明的幾何學命題作為定義、公理與公設，由此出發(fā)通過邏輯推理證明一系列的幾何定理，形成一個由簡至繁的體系。這種公理化方法，至今仍是構造科學理論體系的重要方法。

《幾何原本》的內容共計有13篇，有的版本列出15篇，其中第14篇和第15篇非歐幾里德所作，而是后人補上去的。

第1篇首先給出了23個定義，涉及到點、線、面、圓和平行線等一批原始概念；然后提出了5個公設和5個公理：

公設1.從任一點到任一點作直線(是可能的）。

公設2.把有限直線不斷循直線延長(是可能的）。

公設3.以任一點為中心和任一距離(為半徑）作一圓(是可能的）。

公設4.所有直角彼此相等。

公設5.若一直線與兩直線相交，且若同側所交兩內角之和小于兩直角，則兩直線無限延長后必相交于該側的一點。

公理1.跟同一件東西相等的一些東西，它們彼此也是相等的。

公理2.等量加等量，總量仍相等。

公理3.等量減等量，余量仍相等。

公理4.彼此重合的東西是相等的。

公理5.整體大于部分。

歐幾里得同意亞里士多德的觀點，即認為公理是適用于一切科學的真理，而公設則只適用于幾何學。其中第5公設是歐幾里得的杰作，他可能認為為了避免出現無限遠空間的問題，這一公設是必要的。但是，這個公設由于不如前4個公設那么一望而知，人們不容易一下子接受，甚至有人認為歐幾里得之所以把它作為公設，是因為他無法證明它。這成為《幾何原本》的一個"污點"，為洗刷這一污點，在歐幾里得提出這一公設之后，不斷引起人們用其它公理和公設予以證明的努力以及對它的種種懷疑。在此后的兩千年間，對它證明的努力終于失敗，而對它的懷疑則產生了非歐幾何。1826年，俄羅斯數學家羅巴契夫斯基(1792～1856）宣讀了他的關于非歐幾何的論文《簡要敘述平行線定理的一個嚴格證明》，這標志著幾何學的新革命。非歐幾何的發(fā)展不僅為相對論的產生準備了條件，更為重要的是它所引入的新思想，從根本上更新了古老的幾何觀念。這一結果是歐幾里得無法預料的。

第1篇在公設和公理之后，還給出了48個命題。這48個命題的內容可以分為3類，第一類是從命題1到命題26，主要討論了三角形和垂直(垂線）問題，包括三角形的三個全等定理；第二類是從命題27到命題32，主要討論了平行線問題，并證明了三角形的三個內角之和等于兩個直角；第三類是從命題33到命題48，主要討論了平行邊四形、三角形和正方形，特別注意面積問題，最后的兩個命題分別證明了畢達哥拉斯定理及其逆定理。關于畢達哥拉斯定理的證明是通過面積做出的，先證出△ABD△FBC，矩形BL＝2△ABD，正方形GB＝2△FBC，于是得到：矩形BL＝正方形GB，同樣有矩形CL＝正方形AK。所以，正方形BE＝正方形GB＋正方形AK，即BC2＝AB2＋AC2。

第2篇有14個命題，主要討論了面積的變換和幾何代數法，特別是幾何代數法，反映了希臘數學發(fā)展的特點。從畢達哥拉斯學派開始，希臘人不承認存在無理數，所以他們用線段來代替數，處理長度、角度、面積和體積。這樣，兩數的乘積為兩邊長等于兩數的矩形的面積；三數的乘積為棱長、寬和高分別等于三數的長方體體積；兩數相加減則用把一線段延長或對一線段截割來表示；兩數相除則為兩線段之比。

第3篇有37個命題，這些命題全部與圓有關。它首先給出了與圓有關的一些定義，然后討論了弦、切線、割線、圓心角及圓周角等問題。

第4篇有16個命題，主要討論了圓內接和圓外切圖形。在圓內接正多邊形中，除了正方形、正五邊形和正六邊形之外，最后的命題還指出了正十五邊形的建立。據說，圓內接正十五邊形產生于天文學。

第5篇先給出了18個定義，涉及幾個量之比的相互關系；然后用25個定理證明了比例的一些基本性質。這一篇被認為是對歐多克斯的比例理論的闡述。

第6篇有33個命題，主要是利用第5篇的比例理論討論了相似形問題。

第7篇至第9篇共有102個命題，主要討論了數論，即整數和整數之比的性質問題。《幾何原本》中只有這3篇討論了算術問題，不過，關于比例的定義和定理，有很多是重復了第5篇的內容。那么為什么歐幾里德仍然要把數論列為獨立的篇章呢？有兩種看法，推測了歐幾里得的出發(fā)點：一種看法認為歐幾里得認為在他前幾篇中所用的量的概念中并不包括數；因此需要把關于數的比的命題重新證一遍；另一種看法是關于整數和可公度比的理論是歐多克斯以前就有的，歐里得很可能是按傳統(tǒng)方式對獨立發(fā)展的畢達哥拉斯的理論和歐多克斯的理論分別加以介紹。

第10篇有115個命題，主要是對無理量(即與給定量不可公度的量）進行分類。

第11篇首先給出了關于立體、立體的邊界、直線與平面的垂直、兩平面的垂直、平面與平面的夾角等的定義，另外還定義了平行平面、相似立體形、立體角、棱錐、棱柱、球、圓錐、圓柱、立方體、正八面體、正十二面體等立體形。這一篇的39個定理，證明了直角和平面的性質以及多面體的一些特殊情形。

第12篇有18個命題，主要證明了關于面積和體積的定理，特別是關于曲線和曲面所圍成的面積和體積。歐幾里得的證明體現了窮竭法的思想。

第13篇有18個命題，討論了正多邊形的性質及其內接于圓時的性質，并論述了怎樣把5種正多面體內接于一個球的問題。

《幾何原本》全書這467個命題，涉及初等幾何的各個方面，反映了古希臘幾何學的成就。全書內容是由少數定義、公設、公理演繹而得，足見歐幾里得選擇公理、編排體系之出色。當然，這部巨著也并非沒有缺點：有個別證明證錯了，也有些定義含糊而不明晰；有的內容前后重復，也有些內容帶有前人著作堆砌的痕跡。然而，暇不掩瑜，這些缺點同這部巨著的成就相比是微不足道的，《幾何原本》的成功使它對數學發(fā)展的影響超過任何一本書。

《幾何原本》起初以手抄本形式流傳，在歐幾里得死后700年，《幾何原本》出版。1120年被譯成拉丁文，1570年出現英譯本，到19世紀末，已有1000多種版本。中國最早的譯本是1607年(明朝萬歷丁未年），由利瑪竇和徐光啟合譯的《幾何原本》前6卷，1857年(清朝咸豐7年）由偉烈亞力和李善蘭合譯了后9卷。還應特別指出的是，《幾何原本》在數學教育上的不容忽視的價值。直到19世紀末，《幾何原本》一直是幾何學的教學課本；就是在當代，《幾何原本》的一些內容仍是中學幾何教材所不可缺的。它作為學生接受嚴格的邏輯訓練和數學訓練的工具，曾經訓練出一代又一代的數學家和科學家。

歐幾里得在數學研究上還做了其它一些工作，保存下來的有他的兩本數學著作——《數據》和《論圖形的剖分》，《數據》中的材料與《幾何原本》基本相同，只是某些特殊定理有所不同，它可能是供學習《幾何原本》用的習題集；《論圖形的剖分》則主要討論了如何把所給圖形分成其它圖形。歐幾里得還有幾部已失傳的數學著作，根據后人記載的情況看，有一本《二次曲線》，據說這本書成為阿波羅尼烏斯的《圓錐曲線》中頭3篇的主要內容；還有《衍論》和《曲面-軌跡》，這兩本書的大部分內容和性質已無人知道，據后人的零散記載推測，前一部書可能是和幾何做圖有關，后一部書可能是討論曲面的軌跡問題；另外還有一本《辨?zhèn)涡g》，可能是書中包含有故意給出的錯誤證明，以達訓練學生的目的。在歐幾里得的天文學教本《現象》中，涉及到球面幾何的問題。