畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)研究

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為宇宙的本原是數(shù)，可見(jiàn)他們對(duì)數(shù)的重視。在對(duì)宇宙結(jié)構(gòu)的研究中，他們還發(fā)現(xiàn)了其中的一些數(shù)學(xué)關(guān)系，這對(duì)他們?cè)噲D建立一種以數(shù)解釋宇宙現(xiàn)象的哲學(xué)，無(wú)疑是一種鼓舞。因此，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派使數(shù)學(xué)的研究發(fā)生了重大的變化。在巴比倫和埃及，對(duì)數(shù)學(xué)的研究基本上還是處于經(jīng)驗(yàn)的階段。而從畢達(dá)哥拉斯開(kāi)始，產(chǎn)生了數(shù)的抽象概念，進(jìn)而由研究個(gè)別的抽象的數(shù)過(guò)渡到研究它們的一般規(guī)律。這種與自然運(yùn)算的一般性質(zhì)有關(guān)的研究被稱(chēng)為算術(shù)的一個(gè)分支——理論算術(shù)。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派最早大概是用沙?；蚴觼?lái)計(jì)算的，因?yàn)樗麄兂０褦?shù)描繪成沙灘上的沙?；蛐∈樱⑶野凑账鼈兯芘帕卸傻男螤钸M(jìn)行了數(shù)的分類(lèi)。1、3、6、10，這些數(shù)叫三角形數(shù)，因?yàn)橄鄳?yīng)的點(diǎn)可以排列成正三角形；1、49、16，這些數(shù)叫做正方形數(shù)，因?yàn)橄鄳?yīng)的點(diǎn)能排成正方形。這樣，他們就把數(shù)和三角形數(shù)與正方形數(shù)形聯(lián)系起來(lái)了，而且使得數(shù)的一些性質(zhì)變得比較明顯。比如，劃了一條斜線(xiàn)后，就可以得出：兩個(gè)相繼的三角形數(shù)之和是正方形數(shù)；再如三角形數(shù)與正方形數(shù)的關(guān)系示的方法可以從一個(gè)正方形數(shù)得出另一個(gè)正方形數(shù)。畢達(dá)哥拉斯還得到了五邊形數(shù)、六邊形數(shù)和其它多邊形數(shù)。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過(guò)數(shù)與數(shù)之間的某種關(guān)系，對(duì)數(shù)進(jìn)行了分類(lèi)。如果一個(gè)數(shù)等于它的所有因數(shù)(能除盡該數(shù)的數(shù)，包括1而不包括該數(shù)本身）的和，他們稱(chēng)這個(gè)數(shù)為完全數(shù)。6就是一個(gè)完全數(shù)，6＝1＋2＋3，還有28，496等也是完全數(shù)。如果一個(gè)數(shù)大于其因數(shù)之和的叫盈數(shù)，小于其因數(shù)之和的叫虧數(shù)；如果有兩個(gè)數(shù)，一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的因數(shù)和，則這二個(gè)數(shù)稱(chēng)為親和數(shù)(如　284與220)。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派還搞了一個(gè)法則，用這個(gè)法則可以求出直角三角形三邊的三元數(shù)組。用現(xiàn)代的記法，可以將這一法則表述為：若m是奇數(shù)，則m、(m2.1）／2及(m2＋1)／2就是這種三元數(shù)組。如今人們把形成直角三角形三條邊的三個(gè)整數(shù)所構(gòu)成的數(shù)組統(tǒng)稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組。

畢達(dá)哥拉斯所說(shuō)的數(shù)指的是整數(shù)，而實(shí)際上直角三角形邊長(zhǎng)之比卻不能總用整數(shù)表達(dá)，也就是存在著不可公度比。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把那些能用整數(shù)表達(dá)的比稱(chēng)為公度比，含義是對(duì)相比較的兩個(gè)量可以用公共度量單位量盡；而把那些用公共度量單位量不盡的量之比稱(chēng)為不可公度比。正是這個(gè)"不可公度"問(wèn)題，使得畢達(dá)哥拉斯學(xué)派未能在理論算術(shù)這一分支取得更進(jìn)一步的成果，而把注意力轉(zhuǎn)向了幾何學(xué)。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派遇到的"不可公度"問(wèn)題，實(shí)際上就是發(fā)現(xiàn)了2開(kāi)方是一個(gè)不能用整數(shù)或分?jǐn)?shù)來(lái)表達(dá)的數(shù)。用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的語(yǔ)言講，就是2開(kāi)方是不能用十進(jìn)有限小數(shù)來(lái)表達(dá)的數(shù)。2開(kāi)方不可公度問(wèn)題的來(lái)源可能有三個(gè)因素：①在幾何中，求正方形對(duì)角線(xiàn)與邊的公共度量；②在算術(shù)中，某一數(shù)的平方為另一數(shù)平方的2倍，即X2＝2a2，求X，則X＝2a；③在音樂(lè)理論中，將八度音對(duì)半地分開(kāi)時(shí)，歸結(jié)為求1和2之間的幾何平均數(shù)。

畢達(dá)哥拉斯可能主要是由于發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形斜邊與一直角邊之比或正方形對(duì)角線(xiàn)與其一邊之比，不能用整數(shù)表達(dá)而發(fā)現(xiàn)不可公度問(wèn)題的。因?yàn)椋?/span>"直角三角形的斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和"，在西方就稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯定理。關(guān)于這個(gè)定理，中國(guó)人、巴比倫人、埃及人和印度人早已知道這個(gè)定理的部分情況。而一般認(rèn)為是古希臘人予以證明了的，是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派用比例和相似三角形的理論證明的。傳說(shuō)，畢達(dá)哥拉斯在證明出這個(gè)定理以后，心情特別激動(dòng)，宰了一百頭牲畜來(lái)祭繆斯女神(神話(huà)中掌管文藝、科學(xué)的女神），進(jìn)行慶祝。然而，不可公度問(wèn)題使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派感到十分震驚。明明是一個(gè)固定的量，卻不能用整數(shù)或整數(shù)之比來(lái)表示。這使他們企圖用數(shù)來(lái)表示宇宙萬(wàn)物的想法受到了挫折。傳說(shuō)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派不僅對(duì)這個(gè)發(fā)現(xiàn)嚴(yán)格保密，而且揭露了不可公度事實(shí)的那個(gè)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的門(mén)徒，竟然在一次航海中被其他門(mén)徒扔進(jìn)了大海。這個(gè)傳說(shuō)反映了，不可公度量在畢達(dá)哥拉斯學(xué)派內(nèi)部引起了極大的思想混亂與恐慌。2開(kāi)方是一個(gè)實(shí)際存在的量，它雖然不能用整數(shù)或分?jǐn)?shù)來(lái)表達(dá)，卻可以用幾何方法做出來(lái)，兩個(gè)直角邊為1的直角三角形的斜邊的長(zhǎng)度就是2。這樣一個(gè)情況，使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在數(shù)量研究的方向上發(fā)生了很大的轉(zhuǎn)折。從此，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派回避用算術(shù)和代數(shù)方法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，而是盡可能地用幾何方法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

在幾何學(xué)方面，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派還發(fā)現(xiàn)平面可以用等邊三角形、正方形和正六邊形填滿(mǎn)，空間可以用立方體來(lái)填滿(mǎn)；三角形內(nèi)角之和等于180°。他們?cè)谜拿骟w、正六面體、正八面體和正二十面體來(lái)表示火、土、氣、水這四大元素；后來(lái)又發(fā)現(xiàn)了正十二面體，于是用來(lái)表示宇宙全體。據(jù)說(shuō)，有關(guān)三角形、平行線(xiàn)、多邊形、圓、球和正多面體方面的一些定理，也是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)和證明的。但是，目前還沒(méi)有找到這方面的原始資料。