最近，在學(xué)習(xí)平方千米，這是教材當(dāng)中學(xué)到的最后一個(gè)面積計(jì)量單位。一個(gè)個(gè)孤立的計(jì)量單位，分布在不同年級(jí)的教材中，怎樣讓這些知識(shí)之間建立聯(lián)系，學(xué)生又有怎樣的疑問(wèn)呢？

計(jì)量單位的學(xué)習(xí)貫穿小學(xué)整個(gè)階段，量感的培養(yǎng)更是一個(gè)持續(xù)的過(guò)程。因此，從整體上把握計(jì)量單位的教學(xué)，有利于促進(jìn)學(xué)生量感的持續(xù)生長(zhǎng)。教材作為重要的教學(xué)資源，提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和知識(shí)結(jié)構(gòu)。

每個(gè)計(jì)量單位既有與其他計(jì)量單位之間的共性聯(lián)系，也有其獨(dú)特性。針對(duì)計(jì)量單位的“個(gè)性”教學(xué)，需要仔細(xì)研讀教材，找到單位概念之間表象建立、思維活動(dòng)等不同，幫助學(xué)生理清序列、明確計(jì)量單位歸屬，有效培養(yǎng)量感。

以“平方千米”為例，它是較大的面積單位。在面積單位這一類(lèi)中，如果把“平方厘米”稱(chēng)作基本計(jì)量單位，那“平方千米”則稱(chēng)為其衍生計(jì)量單位。

而衍生計(jì)量單位的教學(xué)則可以這樣展開(kāi)：體會(huì)到原有計(jì)量單位的不足——新舊聯(lián)系體驗(yàn)新的計(jì)量單位——在活動(dòng)中建模——形成計(jì)量單位的表象。

首先，在教學(xué)不同的單位時(shí)，不能孤立地教學(xué)這個(gè)單位，而應(yīng)該進(jìn)行結(jié)構(gòu)化地處理，找到橫向、縱向之間的聯(lián)系。

面積單位顯然和長(zhǎng)度單位之間有聯(lián)系，有著一一對(duì)應(yīng)的聯(lián)系。面積單位之間也有著密切的聯(lián)系，呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性。在教材中，這些內(nèi)容彼此孤立，沒(méi)有整體呈現(xiàn)，所以需要教師將這些素材串聯(lián)在一起。

比如，千米和米的進(jìn)率為什么是1000呢？平方千米和平方米的進(jìn)率為什么是1000000萬(wàn)呢？為什么這個(gè)單位的進(jìn)率學(xué)生容易出錯(cuò)？就是因?yàn)樗蚱屏嗽瓉?lái)相鄰長(zhǎng)度單位進(jìn)率都是10，相鄰面積面積進(jìn)率都是100的“習(xí)慣”？

如果只以“規(guī)定”來(lái)進(jìn)行解釋?zhuān)@然不能完全讓學(xué)生信服。所以平方千米的認(rèn)識(shí)也需要千米學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)。

以“千米的認(rèn)識(shí)”教學(xué)為例，教材中是直接呈現(xiàn)出千米這個(gè)單位，并給出千米和米之間的進(jìn)率是1000。這樣，學(xué)生也會(huì)產(chǎn)生疑惑，如“千米和米的進(jìn)率為什么一下子變成1000？”“米和千米之間還有長(zhǎng)度單位嗎”等。教師就可以延遲千米這個(gè)單位出現(xiàn)的時(shí)機(jī)，深度挖掘“十米、百米”這兩個(gè)單位出現(xiàn)的價(jià)值。

在教學(xué)中，先復(fù)習(xí)并整理以前學(xué)過(guò)的長(zhǎng)度單位：毫米、厘米、分米和米，了解它們的進(jìn)率都是10。其次，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同的長(zhǎng)度單位有不同的用處。并追問(wèn)學(xué)生：如果人們“發(fā)明”第五個(gè)長(zhǎng)度單位，你覺(jué)得應(yīng)該在哪個(gè)位置呢？它跟之前的單位有什么關(guān)系呢？

通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生們開(kāi)始了思考，給出了比毫米小的單位，也給出了比米大的單位，如十米、百米、千米等。教師借助“十米跳臺(tái)”“百米跑道”“百米沖刺”等詞語(yǔ)讓學(xué)生感受生活中的確有十米、百米這樣的單位。最后，完整地呈現(xiàn)板書(shū)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)度單位不是孤立地存在，而是通過(guò)十進(jìn)制緊密地聯(lián)系在一起，它們是一個(gè)有機(jī)整體。

基于小學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、理解能力和認(rèn)知水平，教材中一般只選取了生活中最常見(jiàn)的單位，并沒(méi)有介紹十米和百米。通過(guò)這樣的設(shè)計(jì)，“千米”的單位深深扎在長(zhǎng)度單位體系中，學(xué)生通過(guò)合理推斷和邏輯推演“創(chuàng)造”出一個(gè)個(gè)長(zhǎng)度單位，感受到長(zhǎng)度單位的整體性、結(jié)構(gòu)性和邏輯性。這樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)還能有助于面積單位的教學(xué)，進(jìn)一步打通長(zhǎng)度單位和面積單位之間的關(guān)聯(lián)，能更好地遷移順應(yīng)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

世間萬(wàn)物，皆有因果，教學(xué)亦然。長(zhǎng)度單位的發(fā)明很大程度上依賴(lài)于十進(jìn)制。的確有比毫米小的單位“絲米”，例如成語(yǔ)“一絲一毫”和“絲毫不差”。更小的長(zhǎng)度單位還有“皮米”“微米”等，這些都是滿(mǎn)足實(shí)際的需要和應(yīng)用，有其單位產(chǎn)生的必要性，并且它們相鄰之間的進(jìn)率都是10。

有了長(zhǎng)度單位的完整學(xué)習(xí)，再學(xué)習(xí)平方千米，就有了很多鋪墊。學(xué)生之前學(xué)習(xí)了平方厘米、平方分米、平方米，知道不同的單位有其產(chǎn)生的必要性，適合不同的場(chǎng)合，并且之間有著聯(lián)系。

那學(xué)習(xí)平方千米學(xué)生又有什么疑問(wèn)？學(xué)生想知道長(zhǎng)度單位和面積單位有什么關(guān)系？什么是1平方千米？1平方千米到底有多大？平方千米一般在什么場(chǎng)合使用？平方千米和平方米的進(jìn)率為什么是1000000？……

學(xué)生有了千米的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，他們會(huì)主動(dòng)提出這些問(wèn)題。這是就需要把長(zhǎng)度單位和面積單位之間建立聯(lián)系，把不同的面積單位也建立聯(lián)系，這樣完整的認(rèn)識(shí)就更利于掌握這些知識(shí)。

邊長(zhǎng)為1厘米的正方形面積是1平方厘米。

邊長(zhǎng)為1分米的正方形面積是1平方分米。

邊長(zhǎng)為1米的正方形面積是1平方米。

這是面積單位的定義，從線段（1厘米）到邊長(zhǎng)為1厘米的正方形，從一維到二維，從長(zhǎng)度到面積，它們之間有對(duì)應(yīng)聯(lián)系。

這里的“平方”是什么？我和學(xué)生解釋?zhuān)?/span>“平方”是一種運(yùn)算，在二年級(jí)學(xué)習(xí)過(guò)平方數(shù)，是指兩個(gè)相同因素相乘。而正方形的面積就是邊長(zhǎng)乘邊長(zhǎng)，所以1平方厘米就是將兩個(gè)邊長(zhǎng)（都為1厘米）按照平方的運(yùn)算相乘得來(lái)的。

相鄰面積單位的進(jìn)率為什么是100呢？正是因?yàn)殚L(zhǎng)度單位的進(jìn)率是10以及運(yùn)算得來(lái)的。例如，1分米=10厘米，

1分米×1分米=1平方分米，10厘米×10厘米=100平方厘米，1平方分米=100平方厘米。

有了這樣的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，1平方千米的定義也能呼之欲來(lái)。

邊長(zhǎng)為1千米的正方形面積就是1平方千米。

1平方米和1平方千米的進(jìn)率為什么是100 0000呢？有了長(zhǎng)度單位進(jìn)率和運(yùn)算，學(xué)生也能知曉。

有了“千米的認(rèn)識(shí)”的學(xué)習(xí)，學(xué)生就能知道平方米和平方千米并不是相鄰的面積單位。它們之間少了長(zhǎng)度單位十米和百米對(duì)應(yīng)的面積單位。

邊長(zhǎng)為1十米的正方形面積是1平方十米。

邊長(zhǎng)為1百米的正方形面積是1平方百米。

將這兩個(gè)單位放到本身的位置中，就將面積單位的知識(shí)鏈條理清楚了。補(bǔ)完之后，原來(lái)相鄰的面積單位一直都是以100為進(jìn)率，其實(shí)就是10×10得來(lái)的。

1平方千米=1000000平方米，它們的進(jìn)率之所以突然“變大”就好理解了。也正因?yàn)檫M(jìn)率如此之大，在表示較大的面積時(shí)，再用平方米做單位就不方便了，所以平方千米產(chǎn)生的必要性也好理解了。

那1平方千米到底有多大？它不像小的計(jì)量單位，可以找到身邊的實(shí)物感知進(jìn)行建構(gòu)，比如“指甲蓋”的大小作為數(shù)學(xué)表象的現(xiàn)實(shí)模型。大的計(jì)量單位教學(xué)，利用實(shí)景感知有一定困難。但也可以通過(guò)一些方法進(jìn)行間接體驗(yàn)活動(dòng)，逐步建構(gòu)清晰的表象。

首先，由于有了1平方千米的定義以及之前千米認(rèn)識(shí)積累的經(jīng)驗(yàn)，可借助“地圖”引導(dǎo)學(xué)生先“想一想”，再一起來(lái)“圈一圈”，將自己所在的學(xué)校和小區(qū)都“圈進(jìn)來(lái)”，自然對(duì)于形成1平方千米的表象有積極的作用。

當(dāng)然，可以通過(guò)一些主題實(shí)踐活動(dòng)，真實(shí)感受其大小。

其次，可以算一算。給出學(xué)生熟悉的場(chǎng)地為參照物，進(jìn)行計(jì)算來(lái)獲得經(jīng)驗(yàn)。如：1平方千米大概是 7 個(gè)人民廣場(chǎng)占地面積的大小，或者是 10 個(gè)科技館建筑面積的大小，或者是 138 個(gè)足球場(chǎng)占地面積的大小。如果一間教室的面積是 50 平方米的話，那么 20000間這樣的教室面積的總和就是 1 平方千米。

最后，也可以請(qǐng)學(xué)生積累閱讀材料，比如中國(guó)陸地面積—上海市面積（其它省市面積）—區(qū)面積—街道面積等，學(xué)生在閱讀材料的過(guò)程中，不斷感受平方千米是用于表示市、區(qū)等大的面積。

可見(jiàn)，不要以為學(xué)生沒(méi)有問(wèn)題，也不要以數(shù)學(xué)規(guī)定簡(jiǎn)單告知，發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的“斷裂“處，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的”疑惑“處，通過(guò)合理推斷和邏輯推演，以結(jié)構(gòu)化地方式就可以把數(shù)學(xué)的真實(shí)面貌的特有邏輯和結(jié)構(gòu)表現(xiàn)地更好。

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