認(rèn)識(shí)進(jìn)制

進(jìn)制，這一看似簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)規(guī)則，實(shí)則承載著人類文明的智慧結(jié)晶。從遠(yuǎn)古時(shí)期的手指計(jì)數(shù)到現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的二進(jìn)制運(yùn)算，進(jìn)制的演變不僅反映了人類對(duì)"高效表達(dá)數(shù)量"的不懈追求，更成為連接數(shù)學(xué)、哲學(xué)與科技的橋梁。

1.進(jìn)制是什么

進(jìn)制是一種人為通過(guò)基數(shù)規(guī)定的計(jì)數(shù)方法，其核心特征是逢基數(shù)進(jìn)一，也就是滿幾就向高位進(jìn)一。例如十進(jìn)制逢十進(jìn)一、二進(jìn)制逢二進(jìn)一。運(yùn)算規(guī)則是：遵循“逢基數(shù)進(jìn)一”如二進(jìn)制1+1=10（讀作一零而非十）

2.介紹發(fā)明進(jìn)制的人

進(jìn)制的發(fā)明并非由單一“某個(gè)人” 完成，而是不同古代文明在長(zhǎng)期計(jì)數(shù)實(shí)踐中，為解決 “記錄和計(jì)算數(shù)量” 的需求，逐步形成的約定俗成的計(jì)數(shù)規(guī)則。它更像是人類集體智慧的產(chǎn)物，而非個(gè)體的 “發(fā)明”。不同文明基于生活場(chǎng)景（如手指計(jì)數(shù)、物品交換），發(fā)展出了不同類型的進(jìn)制，其中部分核心進(jìn)制的起源與關(guān)鍵發(fā)展脈絡(luò)如下：

一、十進(jìn)制：最貼近人類日常的進(jìn)制，起源于“手指計(jì)數(shù)”

十進(jìn)制是目前全球通用的進(jìn)制（基數(shù)10，逢 10 進(jìn) 1），其誕生的核心原因是人類有 10 根手指—— 這是古代人最直觀、最便捷的 “天然計(jì)數(shù)工具”。

起源與發(fā)展：

·無(wú)明確發(fā)明者，源于原始計(jì)數(shù)行為：早在公元前數(shù)千年，古埃及、古巴比倫、古中國(guó)等文明，就已獨(dú)立采用 “數(shù)手指” 的方式計(jì)數(shù)，逐漸形成 “逢 10 進(jìn) 1” 的習(xí)慣。例如：

·古埃及（約公元前 3000 年）：在象形文字中，用 “豎線” 表示 1，“馬蹄形” 表示 10，“卷軸” 表示 100，明確體現(xiàn)了 “以 10 為單位遞進(jìn)” 的邏輯；

·古中國(guó)（約公元前 1600 年商朝）：甲骨文的數(shù)字中，“一、二、三” 為橫線，“十” 為豎線，“百”“千”“萬(wàn)” 有專門符號(hào)，同樣遵循十進(jìn)制計(jì)數(shù)；

·古希臘、古羅馬：雖曾使用過(guò) “五進(jìn)制”（如羅馬數(shù)字中 “V=5”“X=10”），但最終也融入十進(jìn)制體系，成為輔助計(jì)數(shù)符號(hào)。

關(guān)鍵推動(dòng)者：

十進(jìn)制的“標(biāo)準(zhǔn)化” 和 “傳播” 離不開(kāi)后續(xù)數(shù)學(xué)家的總結(jié)，但并非 “發(fā)明”：

·公元 3 世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家首次發(fā)明了 “0” 的符號(hào)，并將十進(jìn)制與 “位值制”（即 “位權(quán)” 概念，如個(gè)位、十位、百位的權(quán)重不同）結(jié)合，形成了現(xiàn)代十進(jìn)制的雛形；

·公元 9 世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家將印度的十進(jìn)制計(jì)數(shù)法傳入歐洲，被稱為 “阿拉伯?dāng)?shù)字”，最終在全球范圍內(nèi)普及。

二、二進(jìn)制：從哲學(xué)思辨到計(jì)算機(jī)基石，多位學(xué)者逐步完善

二進(jìn)制（基數(shù)2，逢 2 進(jìn) 1）的核心是 “0 和 1”，其思想源頭可追溯至古代哲學(xué)，但作為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)工具和計(jì)算機(jī)進(jìn)制，是近代學(xué)者逐步發(fā)展的結(jié)果。

早期思想萌芽（非數(shù)學(xué)層面）：

·中國(guó)古代《易經(jīng)》（約西周時(shí)期，無(wú)明確作者）：用 “陰爻（--）” 和 “陽(yáng)爻（—）” 表示兩種對(duì)立狀態(tài)，可視為 “二進(jìn)制思想的哲學(xué)雛形”，但并非用于數(shù)學(xué)計(jì)算；

·德國(guó)哲學(xué)家萊布尼茨（1646-1716）：17 世紀(jì)末，萊布尼茨在研究 “邏輯符號(hào)化” 時(shí)，獨(dú)立提出了 “二進(jìn)制” 的數(shù)學(xué)概念 —— 用 0 和 1 表示所有數(shù)字，并用數(shù)學(xué)公式證明了 “二進(jìn)制與十進(jìn)制的轉(zhuǎn)換關(guān)系”。他后來(lái)了解到《易經(jīng)》的爻象，認(rèn)為二者理念相通，進(jìn)一步推動(dòng)了二進(jìn)制的傳播。

關(guān)鍵應(yīng)用：計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的“選擇”

二進(jìn)制成為計(jì)算機(jī)的核心進(jìn)制，并非某個(gè)人的“發(fā)明”，而是由硬件特性決定的必然選擇：

·20 世紀(jì)初，電子計(jì)算機(jī)的雛形（如繼電器計(jì)算機(jī)）需要一種 “易于實(shí)現(xiàn)的電路狀態(tài)”—— 電路只有 “通電（高電平）” 和 “斷電（低電平）” 兩種狀態(tài)，恰好可對(duì)應(yīng)二進(jìn)制的 0 和 1；

·美國(guó)數(shù)學(xué)家香農(nóng)（1916-2001）在 1938 年發(fā)表《繼電器與開(kāi)關(guān)電路的符號(hào)分析》，首次證明 “二進(jìn)制邏輯可直接對(duì)應(yīng)電路設(shè)計(jì)”，為計(jì)算機(jī)采用二進(jìn)制奠定了理論基礎(chǔ)；

·后續(xù)計(jì)算機(jī)工程師（如馮?諾依曼）在設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)體系結(jié)構(gòu)時(shí)，將二進(jìn)制作為數(shù)據(jù)和指令的存儲(chǔ)、運(yùn)算標(biāo)準(zhǔn)，使其成為現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的 “底層語(yǔ)言”。

三、其他進(jìn)制：為特定場(chǎng)景而生，源于實(shí)際需求十二進(jìn)制（基數(shù)12，如 12 個(gè)月、12 小時(shí)制、1 英尺 = 12 英寸）：起源于古蘇美爾文明，可能與 “一年約 12 個(gè)月亮周期”“手指關(guān)節(jié)計(jì)數(shù)”（除拇指外，每只手有 12 個(gè)關(guān)節(jié)）有關(guān)，無(wú)明確發(fā)明者；

·六十進(jìn)制（基數(shù) 60，如 60 秒 = 1 分鐘、60 分鐘 = 1 小時(shí)、360 度 = 1 圓周）：由古巴比倫文明（約公元前 2000 年）發(fā)明，可能因 60“能被 2、3、4、5、6、10 等多個(gè)數(shù)整除，便于分割和計(jì)算”（如分配物品、測(cè)量土地），后經(jīng)古希臘天文學(xué)家（如托勒密）推廣，沿用至今；

·八進(jìn)制（基數(shù) 8）：近代為簡(jiǎn)化二進(jìn)制而出現(xiàn)，因 1 位八進(jìn)制 = 3 位二進(jìn)制，曾用于早期計(jì)算機(jī)編程，由計(jì)算機(jī)工程師群體逐步推廣。

總結(jié)：進(jìn)制是“需求驅(qū)動(dòng)的集體創(chuàng)造”

3.解構(gòu)我們最熟悉的“十進(jìn)制”

要理解二進(jìn)制，我們首先要真正理解十進(jìn)制。我們說(shuō)“123”，這只是一個(gè)表象（Representation）。它的數(shù)學(xué)本質(zhì)（Essence） 關(guān)鍵點(diǎn)在于：

· 基數(shù)（Base）： 10。每一位滿10便向高位進(jìn)1。

· 數(shù)位（Digit）： 0, 1, 2, ..., 9。共10個(gè)符號(hào)。

· 權(quán)重（Weight）： 從右向左，每一位的權(quán)重是基數(shù)（10）的冪次方（10?, 101, 102...）。

4.定義“二進(jìn)制”

現(xiàn)在，我們只需改變一個(gè)參數(shù)——把基數(shù)10換成2。

· 基數(shù)（Base）： 每一位滿2便向高位進(jìn)1。這就是“逢二進(jìn)一”的嚴(yán)格定義。

· 數(shù)位（Digit）： 只有 0 和 1 兩個(gè)符號(hào)。

· 權(quán)重（Weight）： 從右向左，每一位的權(quán)重是基數(shù)（2）的冪次方（2?, 21, 22, 23...），即1, 2, 4, 8...

二進(jìn)制的加法運(yùn)算，逢二進(jìn)一，逢一進(jìn)一：

基本運(yùn)算：0+0=0, 0+1=1，1+0=1，1+1=10

例如：1011+1001，1+1要進(jìn)一個(gè)1，1+0加上經(jīng)過(guò)來(lái)的1還要往第3位再進(jìn)1，第4位1+1得10，所以答案為10100

二進(jìn)制的減法運(yùn)算：

基本運(yùn)算：1-1=0, 1-0=1, 0-0=0, 0-1=1，這里0-1=1，向前借一看到2-1

例如1101-1010，1-0=1，然后0-1，向前進(jìn)1，看做2-1，等于1，第3位的1被借走了，所以最后得數(shù)為0011

二進(jìn)制的乘法運(yùn)算：

基本運(yùn)算：1×1=1, 1×0=0,0 ×1=0, 0×0=0

例如：101×11即1111

二進(jìn)制的除法運(yùn)算：

基本運(yùn)算：1÷1=1，0÷1=0，除數(shù)不能為0

例如：1111÷11即101

二進(jìn)制轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的技巧與方法：

1.從二進(jìn)制數(shù)的最右側(cè)（最低位開(kāi)始），乘方依次為0,1,2……n一直到n(n為當(dāng)前為從0開(kāi)始的序號(hào))

2.將二進(jìn)制的每一位數(shù)字與對(duì)應(yīng)的乘方相乘

3.將全部所得的數(shù)字加起來(lái)

舉一個(gè)例子：10101

即：1×16+0×8+1×4+2×0+1×1=21

5.二進(jìn)制數(shù)的“解讀”與“書寫”

      現(xiàn)在我們像讀十進(jìn)制數(shù)一樣，來(lái)解讀一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，例如 (1011)?。

1011? = 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 2? = 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1 = (11)??

所以，二進(jìn)制數(shù)的1011 等價(jià)于十進(jìn)制數(shù)的 11。

反過(guò)來(lái)，如何將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制？

步驟固定：用十進(jìn)制數(shù)反復(fù)除以目標(biāo)基數(shù)，記錄每次的余數(shù)，最后將余數(shù)從后往前排列。

例：十進(jìn)制13 → 二進(jìn)制

13 ÷ 2 = 6 余 1（第 1 個(gè)余數(shù)，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制最低位）；

6 ÷ 2 = 3 余 0（第 2 個(gè)余數(shù)）；

3 ÷ 2 = 1 余 1（第 3 個(gè)余數(shù)）；

1 ÷ 2 = 0 余 1（第 4 個(gè)余數(shù)，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制最高位）；

余數(shù)逆序排列：1101（即十進(jìn)制 13 = 二進(jìn)制 1101）。

正如文稿中所揭示的，進(jìn)制的本質(zhì)是"需求驅(qū)動(dòng)的集體創(chuàng)造"——它既是人類智慧的結(jié)晶，也是面向未來(lái)的工具。