【原】簡諧振動的能量

cosmos2062 2025-09-25 發(fā)布于廣東

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在物體做簡諧振動的過程中，振動勢能和振動動能都隨著時(shí)間而改變。由于線性恢復(fù)力是保守力，因此，振動勢能和振動動能之間雖然相互轉(zhuǎn)化，但是總能量卻保持不變。

在推導(dǎo)彈簧振子做簡諧振動所滿足的微分方程時(shí)，我們忽略了空氣的阻力和桌面的摩擦力等次要因素的影響，只考慮彈性力的作用。由于彈簧的線性恢復(fù)力是保守力，因此，系統(tǒng)的總機(jī)械能必定保持不變： $\begin{equation}\notag E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}kA^2 \end{equation}$ 在上述能量守恒方程中，第一項(xiàng)是彈簧振子的振動動能： $\begin{equation}\notag E_K=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}kA^2\sin^2(\omega t+\varphi_0) \end{equation}$ 第二項(xiàng)是彈簧振子的振動勢能： $\begin{equation}\notag E_P=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t+\varphi_0) \end{equation}$ 由此可見，彈簧振子在振動過程中的振動勢能和振動動能都隨著時(shí)間而改變，但是，兩者之間相互轉(zhuǎn)化，它們的總和保持不變。

在一個(gè)振動周期內(nèi)，振動動能的平均值 $\begin{align} \overline{E_K}&=\frac{1}{T}\int\limits_0^TE_K(t){\rm d}t\notag\\ &=\frac{1}{T}\frac{1}{2}kA^2\int\limits_0^T\sin^2(\omega t+\varphi_0){\rm d}t\notag\\ &=\frac{1}{T}\frac{1}{2}kA^2\frac{T}{2}=\frac{1}{2}E\notag \end{align}$ 同樣可以算出振動勢能的周期平均值： $\begin{align} \overline{E_P}&=\frac{1}{T}\int\limits_0^TE_P(t){\rm d}t\notag\\ &=\frac{1}{T}\frac{1}{2}kA^2\int\limits_0^T\cos^2(\omega t+\varphi_0){\rm d}t\notag\\ &=\frac{1}{T}\frac{1}{2}kA^2\frac{T}{2}=\frac{1}{2}E\notag \end{align}$ 結(jié)果發(fā)現(xiàn)，振動動能的周期平均值與振動勢能的周期平均值相等。從能量守恒的視角看，這是一個(gè)很自然的結(jié)果。

小結(jié)有關(guān)簡諧振動的知識可以得到，一個(gè)物體是否在做簡諧振動，可以從三個(gè)視角作出判斷：從動力學(xué)的視角看，如果物體在線性恢復(fù)力的作用下運(yùn)動，它將做簡諧振動。在這種情況下，系統(tǒng)的振動是由彈性力與慣性的聯(lián)合作用造成的。彈性力的特點(diǎn)是使系統(tǒng)回到平衡位置，而慣性則阻止系統(tǒng)停留在平衡位置；從能量的視角看，由于與線性恢復(fù)力對應(yīng)的勢能與位置的平方成正比，因此，物體的勢能是否與位置的平方成正比也可以作為判斷系統(tǒng)是否做簡諧振動的依據(jù)；從運(yùn)動學(xué)的視角看，由于在線性恢復(fù)力作用下運(yùn)動的物體所滿足的微分方程必定具有時(shí)間的余弦函數(shù)或者正弦函數(shù)形式的解，因此，做簡諧振動的物體的位置必定是時(shí)間的余弦函數(shù)或正弦函數(shù)。

讓我們從能量的視角對簡諧振動再做一些簡單的討論。

一般情況下，嚴(yán)格的線性恢復(fù)力在現(xiàn)實(shí)中并不存在。即使是一個(gè)制造完美的彈簧，也只在伸長量很小的范圍內(nèi)，以一個(gè)較高的近似程度表現(xiàn)出線性恢復(fù)力的性質(zhì)。

除了彈簧振子，在許多場合中，物體的勢能與空間位置的函數(shù)關(guān)系都會在某些位置處出現(xiàn)某種形式的極小值。在這種情況下，如果物體的運(yùn)動被限制在勢能的某個(gè)極小值附近很小的范圍內(nèi)，則可以將勢能函數(shù)在極小值處的鄰域展開成位置的泰勒級數(shù)，并只取到位置的平方這一級近似。勢能的這種近似表示就對應(yīng)著線性恢復(fù)力近似。于是，物體將以勢能的極小值位置作為平衡位置而做近似的簡諧振動。

作為一個(gè)簡單的實(shí)例，考慮物體的一維運(yùn)動，在這種情況下，勢能是一個(gè)單變量函數(shù)： $U=U(x)$ 。如果這個(gè)勢能在某點(diǎn) $x_0$ 處取極小值，則可以在這一點(diǎn)的鄰域?qū)菽苷归_成泰勒級數(shù)： $\begin{align} U()&=U(x_0)+U'(X_0)(x-x_0)\notag\\&\quad+\frac{1}{2}U''(x_0)(x-x_0)^2+\cdots\notag\end{align}$ 顯然， $U'(x_0)=0$ 。由于勢能的零點(diǎn)具有一定的任意性，因此，在所考慮的運(yùn)動范圍內(nèi)，可以取 $U(x_0)=0$ 。另一方面，坐標(biāo)系的原點(diǎn)也有一定的任意性，可以通過坐標(biāo)變換使新的坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于 $x_0$ ，于是， $x_0=0$ 。如果忽略高階小項(xiàng)，就得到滿足簡諧振動所必需的勢能形式： $\begin{equation}\notag U(x)=\frac{1}{2}U''(0)x^2\end{equation}$ 在這種近似下，物體所受的力也近似地是線性恢復(fù)力： $\begin{equation}\notag\vec{f}=-U'(x)=-U''(0)x\end{equation}$ 其中與彈簧的勁度系數(shù) $k$ 對應(yīng)的量是 $U''(0)$ 。