巴哈馬的海風(fēng)拂過伯克利的數(shù)學(xué)圈，一位未曾踏入高中的少女用一道家庭作業(yè)，鑿開了禁錮數(shù)學(xué)界40年的思想堅(jiān)冰。

2025年2月，一篇發(fā)布在arXiv上的預(yù)印本論文震驚了整個數(shù)學(xué)界。論文的作者名叫漢娜·凱羅（Hannah Cairo），來自于在學(xué)術(shù)界籍籍無名的加勒比島國巴哈馬。更令人震驚的是，她是一位年僅17歲的美少女。

就是這位天才少女，在她的論文中破解了已經(jīng)困擾數(shù)學(xué)界長達(dá)40年之久的難題——“溝畑-竹內(nèi)猜想”（Mizohata-Takeuchi Conjecture）。

來源：Valerie Plesch/Quanta Magazine

學(xué)術(shù)荒漠走出的數(shù)學(xué)天才

漢娜·凱羅的成長軌跡絕對是對傳統(tǒng)教育的一次挑戰(zhàn)。她在巴哈馬——一個以旅游業(yè)聞名的加勒比海島國，但在學(xué)術(shù)和教育領(lǐng)域無疑堪稱荒漠——首都拿騷長大，有一個比她大三歲的哥哥，還有一個小弟弟。她與她的兩位兄弟在小的時候從未踏入過學(xué)校大門，家庭教育成為他們最初的知識搖籃。她的父親是一位軟件工程師，在這方面提供了技術(shù)支持，讓漢娜得以通過可汗學(xué)院的在線課程學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并在11歲的時候就掌握了微積分。

驚人的學(xué)習(xí)進(jìn)度意味著適配她的在線教育資源越來越少。為了讓她能繼續(xù)接觸更專業(yè)、高深的數(shù)學(xué)，父母為她聘請了韋爾斯利學(xué)院的Martin Magid與克拉克大學(xué)的Amir Aazami教授進(jìn)行遠(yuǎn)程輔導(dǎo)。然而輔導(dǎo)很快淪為形式——“他感覺收學(xué)費(fèi)有些不好意思，因?yàn)榇蠖鄶?shù)時候都是我自己讀完書，然后嘗試證明定理”，漢娜回憶道。這種自我驅(qū)動的學(xué)習(xí)模式幫助她在14歲時完成了大學(xué)本科數(shù)學(xué)的教育，她掌握的范疇理論、代數(shù)拓?fù)涞葍?nèi)容相當(dāng)于數(shù)學(xué)專業(yè)高年級課程的水平。

數(shù)學(xué)的高深對她來說從來不是障礙，但常年在家通過網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行學(xué)習(xí)帶來的孤獨(dú)感成為困擾漢娜的一大問題?！叭諒?fù)一日的單調(diào)讓我感到與世隔絕，醒來只覺得自己又老了一歲，卻沒有其他任何變化”，她如是回顧。而在與孤獨(dú)感對抗的過程中，數(shù)學(xué)成為她唯一的武器。對漢娜來說，“它（數(shù)學(xué)）是一個沒有邊界的世界，只要思考便能隨時進(jìn)入”，她把數(shù)學(xué)當(dāng)作一個可以無限探索的世界，可以在其中恣意妄為——這也使得她逐漸對數(shù)學(xué)產(chǎn)生出許多與常人不一樣的看法。

漢娜數(shù)學(xué)生涯的轉(zhuǎn)變發(fā)生在2021年。當(dāng)時，新冠疫情將他們?nèi)依г谥ゼ痈绲淖娓改讣抑?。這一無奈的安排卻意外將她推入了“芝加哥數(shù)學(xué)圈”——一個面向青少年、通過師生協(xié)作解決難題的社群。這個社群最大的特點(diǎn)就是沒有標(biāo)準(zhǔn)答案的競賽，只有想法和思路的碰撞與延展。漢娜在這里找到了“組織”，擺脫了孤獨(dú)，逐漸有了歸屬感。

得益于此，次年，14歲的漢娜又成功申請上了伯克利數(shù)學(xué)圈的暑期課程——這意味著她已經(jīng)被視為全球潛在的最頂尖數(shù)學(xué)人才候選人。與其他申請者不同的是，她的申請文件主要是她自己列舉的自學(xué)完成的一系列數(shù)學(xué)課程。該機(jī)構(gòu)創(chuàng)始人Zvezdelina Stankova驚嘆道，她的實(shí)力已遠(yuǎn)遠(yuǎn)領(lǐng)先同齡人數(shù)個層級。

有意思的是，這位少女始終對外界給予她的“天才”標(biāo)簽保持很高的警惕：“成長中我不清楚自己是否真有天賦。鋼琴水平或許在平均之上，但數(shù)學(xué)？也就那么回事吧?！?/span>

家庭作業(yè)引發(fā)的數(shù)學(xué)革命

2024年秋，伯克利數(shù)學(xué)系研究生課程“傅里葉限制性理論”迎來一位特殊的旁聽生。當(dāng)漢娜發(fā)送郵件申請時，授課人助理教授張瑞祥——曾于2008年獲國際奧數(shù)金牌的中國數(shù)學(xué)家，韋東奕隊(duì)友——受到“她的專注與熱情”的感染欣然同意了她的加入。誰也未料到，這個決定將對調(diào)和分析領(lǐng)域產(chǎn)生巨大的影響。

幾周后，張瑞祥在作業(yè)中埋下一顆種子：一道簡化版的溝畑-竹內(nèi)猜想練習(xí)題，外加拓展版作為選做題。該猜想誕生于1980年代，探討“波能量在彎曲曲面上的分布規(guī)律”。如同在奇特房間演奏音樂，聲波在某些位置異常放大，數(shù)學(xué)家們試圖證明這種放大必然沿特定直線發(fā)生。

40年來，學(xué)界分裂為兩派。正如愛丁堡大學(xué)Tony Carbery教授說的那樣：“有些早晨我相信它必然為真，因其表述優(yōu)雅；另一些早晨又覺它不可能成立?！碑?dāng)漢娜開始探索完整猜想時，張瑞祥最初持懷疑態(tài)度?！拔?guī)е敕ㄈズ退懻摚偸钦f'不行’”，她回憶道。連續(xù)數(shù)周的否定并未澆滅她對這一問題的熱情，在多次嘗試證明未果后，她的思路反而打開了，并轉(zhuǎn)向全新路徑：通過構(gòu)造反例來證否。

數(shù)月間，她嘗試了數(shù)十種方案均告失敗。最終，分形理論與波干涉原理的結(jié)合催生了關(guān)鍵突破：她構(gòu)建出一個函數(shù)，其中波的能量未如猜想預(yù)言般沿直線集中，反而以分形形態(tài)擴(kuò)散，形成“本不該存在”的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。更精妙的是，她隨后將復(fù)雜構(gòu)造簡化為清晰模型，徹底說服了張瑞祥。

2025年2月10日，論文登陸arXiv（編號2502.06137），引發(fā)數(shù)學(xué)界地震。Carbery教授評價“她的解法完全震撼了我”。而另一位長期研究該問題的來自伯明翰大學(xué)的Itamar Oliveira坦言：“我敢保證，從今往后，當(dāng)我們遇到類似問題時，都會嘗試用'類凱羅’的構(gòu)造來檢驗(yàn)它?！闭撐倪€帶來了連鎖反應(yīng)：它還同時證偽了關(guān)聯(lián)的“斯坦（Stein）猜想”，切斷了調(diào)和分析不同部分之間一條關(guān)鍵邏輯鏈。

對傳統(tǒng)教育模式的啟示

一戰(zhàn)成名的漢娜決定跳過本科直接攻讀博士。她一共申請了10所院校，其中6所學(xué)校因她缺少“必要的”學(xué)位而直接拒絕了她；另2所一開始給了錄取通知，最終卻還是被校方高層推翻；僅馬里蘭大學(xué)與約翰·霍普金斯大學(xué)對她敞開了大門。

漢娜最終選擇了馬里蘭大學(xué)，并將繼續(xù)師從張瑞祥，深耕傅里葉限制理論，并計(jì)劃組建自己的團(tuán)隊(duì)。當(dāng)她博士畢業(yè)的時候，她將會得到此生第一個學(xué)位。

漢娜的成功無疑是對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育有效性的一次挑戰(zhàn)。她自學(xué)成才的經(jīng)歷也為我們的教育思路提供了許多值得借鑒的啟示，最主要的自然是對傳統(tǒng)教學(xué)方式的啟發(fā)。

互聯(lián)網(wǎng)時代下，開放資源與自主學(xué)習(xí)帶來了全新的機(jī)會和可能性。身處島國的漢娜在年僅11歲的時候，便可通過可汗學(xué)院的課程掌握微積分，并在隨后幾年內(nèi)，主要依靠在線資源獨(dú)立掌握本科高階課程。

這樣的案例說明了：第一，傳統(tǒng)的線下課堂式“教-學(xué)”模式是完全可以被互聯(lián)網(wǎng)方式所取代的，甚至，跟后者相比，傳統(tǒng)方式似乎更加低效。第二，固定教材和進(jìn)度的學(xué)習(xí)方式在一定程度上限制了天才的成長，試想，如果漢娜生活在某個教育發(fā)達(dá)的地區(qū)，跟同齡人一樣按部就班地上學(xué)，她絕不可能達(dá)到今日的高度。第三，是在線資源的豐富性，使得傳統(tǒng)的地理限制不再是教育的障礙，生活在巴哈馬的孩子依然可以獲得最頂尖的教育資源。

這促使人們反思。在這個時代，我們應(yīng)當(dāng)試圖構(gòu)建以個體為本的教育方式，利用互聯(lián)網(wǎng)時代的廣泛資源為每個人提供量身定制的學(xué)習(xí)路徑，而非繼續(xù)維持?jǐn)?shù)十年不變的傳統(tǒng)課堂教學(xué)模式，并在“淘汰制”的升學(xué)競爭中消耗受教育者的學(xué)習(xí)熱情。

我們正處于顛覆式教育革命的前夜。如果不把握住這一機(jī)會，恐怕會付出極大的代價。