一個初中數(shù)學老師用兩分鐘視頻，讓復雜的幾何變換變得像數(shù)蘋果一樣簡單。

“反演變換”這個詞讓不少數(shù)學競賽生望而生畏。然而在抖音平臺，一位名叫“亮亮巧解數(shù)學”的老師，用短短兩分鐘的視頻，揭開了這一幾何變換的神秘面紗。視頻中，他通過清晰的圖示和生動的講解，將抽象概念轉化為直觀操作，吸引了大量學生和家長關注。

01 什么是反演變換？核心概念解析

反演變換，作為平面幾何中的基礎模塊之一，長期以來被視為數(shù)學競賽中的“高階武器”。它的核心定義其實很直接：在平面內給定一點O（稱為反演中心）和常數(shù)k（k≠0），對于平面內任意一點A，確定A′，使A′為直線OA上一點，并且滿足OA·OA′=k。

這一變換的神奇之處在于它能夠實現(xiàn)空間位置的奇妙轉換。當設定反演冪k=r2時，半徑為r的圓上的點反演后仍是其本身，圓內的點反演后跑到圓外，而圓外的點則被“吸入”圓內。

更令人驚嘆的是反演變換對直線的作用。根據(jù)亮亮的視頻及補充資料，當一條直線經過反演中心時，其反演圖形是其本身；而當直線不經過反演中心時，反演圖形則變成一個圓。這種“化直為圓”的特性，正是解決復雜幾何問題的關鍵。

02 解題利器，反演變換的實戰(zhàn)應用

反演變換在幾何最值問題中展現(xiàn)出驚人的威力。杰少在《反演變換與幾何最值的完美結合》一文中分享了一道經典例題：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，⊙C的半徑為4，P是直線AB上一動點。

過P作⊙C的兩條切線，切點分別為M、N，連接PC交MN于點Q，連接AQ，求AQ的最小值。

傳統(tǒng)方法解決此題需要復雜步驟，但利用反演變換則異常簡潔。連接CN后，由射影定理得CN2=CQ·CP=16，這實際上構成了一個反演變換I（C，16），其中C是反演中心，k=16為反演冪，P、Q兩點互為反演點。

由于P的軌跡是直線且在⊙C外，因此Q的軌跡是過C點的圓。解題者只需確定圓心位置，問題便迎刃而解。亮亮在視頻中正是通過這類實戰(zhàn)案例，展示了反演變換的解題高效性，讓觀眾直呼“神奇”。

另一道來自成都七中的題目同樣令人印象深刻：四邊形ABCD中，∠DAC=∠ABC=90°，AB=4，△ACD面積為12，求BD的最大值。面對AD·AC=24這一條件，通過將△ABC繞點A逆時針旋轉90°，使AD和AC′共線，巧妙構造反演變換I（A，24），將復雜問題轉化為簡單的圓軌跡問題。

03 為什么兩分鐘視頻能講透深奧概念？

亮亮的教學視頻成功之處在于把握了三個關鍵要素：

可視化呈現(xiàn)：通過精心設計的動畫演示，將矩陣變換、反演過程等抽象概念轉化為直觀的動態(tài)圖像。二維動畫展示點、線、圓在反演過程中的變化軌跡，讓學習者從“困惑”到“秒懂”。

案例化教學：選擇難度適中的典型例題，避免過于簡單的示例無法體現(xiàn)方法優(yōu)勢，也繞過過于復雜的問題嚇退學習者。每道題都經過精心挑選，確保能突出反演變換的核心價值。

口訣化總結：將反演變換的性質歸納為易記的口訣，如“直線過中心，反演不變形；直線不過心，變成圓兒行”。這種提煉幫助學生快速掌握精髓。

04 從課堂到競賽，反演變換的學習路徑

對于想系統(tǒng)掌握這一方法的學習者，專家建議循序漸進的學習路徑。首先從基礎的反演定義入手，理解反演中心、反演冪、反演點等核心概念?？赏ㄟ^小杭在B站發(fā)布的《【數(shù)學#22】反演變換》系統(tǒng)視頻學習，時長雖長但干貨滿滿。

然后重點掌握反演變換的四大性質：保角性、保圓性、對直線的作用、點的位置轉換。通過幾何畫板等工具動態(tài)觀察變換過程，深化理解。

接下來進行針對性解題訓練。從“主動點軌跡為直線、從動點軌跡為圓”的幾何最值問題入手。這類問題通常具備“線段乘積為定值”或“某一圖形面積為定值”的特征，是應用反演變換的理想場景。

最后挑戰(zhàn)復雜綜合題。如例3中四邊形ABCD問題，通過平移構造旋轉相似，得到乘積定值DE·CF=4，進而應用反演變換I（E，4）求解。這類問題需要學習者靈活運用多種變換技巧，是競賽水平的試金石。

如今，數(shù)學教育正經歷一場靜默革命。像亮亮這樣的教師不再滿足于傳統(tǒng)課堂，他們將復雜概念分解成短視頻，在抖音平臺上收獲數(shù)十萬點贊。而深圳職業(yè)技術大學的數(shù)學團隊則開發(fā)了基于知識圖譜的智慧課程平臺，讓AI智能助學體24小時為學生解答疑惑。

反演變換的教學演變揭示了一個深刻道理：抽象數(shù)學概念需要落地于具體應用場景。當學生看到反演變換能簡化復雜的幾何最值問題，甚至能用于解決機器人視覺檢測算法時，數(shù)學不再是紙上的符號，而成為打開創(chuàng)新大門的鑰匙。