1222期高二新定義壓軸是新教材中的圓

該篇素材選自高二月考卷，來(lái)自湖南名校長(zhǎng)郡中學(xué)25屆高二10月聯(lián)考第19題。該題是以阿波羅尼斯圓為背景的解析幾何題，其實(shí)就是一道圓和直線問(wèn)題，非常簡(jiǎn)單。之所以講此題，是因?yàn)榘⒉_尼斯圓在新教材中也有（如下文），因此同學(xué)們需要熟悉掌握！

• 一、這道以阿波羅尼斯圓為背景的壓軸題
• 二、新教材中到兩定點(diǎn)距離之商為定值的曲線
• 1、表示圓
• 2、表示直線
• 三、阿波羅尼斯圓定義與7性質(zhì)
• 1、阿波羅尼斯圓的定義
• 2、阿波羅尼斯圓的證明
• 3、阿波羅尼斯圓的相關(guān)性質(zhì)
• 四、阿波羅尼斯圓?？碱}
• 五、隱藏的阿波羅尼斯圓

一、這道以阿波羅尼斯圓為背景的壓軸題

【長(zhǎng)郡中學(xué)25屆高二10月聯(lián)考T19】 古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比值為常數(shù) （ ） 的點(diǎn)的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼斯圓. 已知點(diǎn) 到 的距離是點(diǎn) 到 的距離的 倍.（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）
（1） 求點(diǎn) 的軌跡 的方程；
（2） 過(guò)點(diǎn) 作直線 ，交軌跡 于 兩點(diǎn)， 不在 軸上.
（i） 過(guò)點(diǎn) 作與直線 垂直的直線 ，交軌跡 于 兩點(diǎn)，記四邊形 的面積為 ，求 的最大值；
（ii） 設(shè)軌跡 與 軸正半軸的交點(diǎn)為 ，直線 ， 相交于點(diǎn) ，試證明點(diǎn) 在定直線上，求出該直線方程.

解析：

（1） 設(shè)點(diǎn) ，由題意可得 ，即

化簡(jiǎn)可得

所以點(diǎn) 的軌跡 的方程為

（2）

由題易知直線 的斜率 存在，設(shè)直線 的方程為 ,即

則圓心 到直線 的距離

所以

（i） 若 ，則直線 的斜率不存在

易得 ， ，則

若 ，則直線 的方程為 ，即

則圓心 到直線 的距離

所以（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）

則

當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，取等號(hào)

因?yàn)? ，所以 的最大值為

（ii） 易知 ，設(shè) ，

聯(lián)立

消 得

由韋達(dá)定理得

所以

所以直線 的方程為

直線 的方程為

聯(lián)立（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）

解得

則

所以

所以點(diǎn) 在定直線 上.

二、新教材中到兩定點(diǎn)距離之商為定值的曲線

1、表示圓

在人教 A 版新教材選擇性必修第一冊(cè)第97頁(yè)中給出了到兩定點(diǎn)距離之商的曲線——

平面內(nèi)到定點(diǎn) 、 的距離 之商 為常數(shù)（大于 且不等于   ）的點(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓

注1： 距離不存在負(fù)數(shù)，所以該常數(shù)不可能小于 ；另外，當(dāng)?shù)蕉c(diǎn) 、 的距離 之商 等于 時(shí)，只能表示 一點(diǎn)。

2、表示直線

注2： 當(dāng)?shù)蕉c(diǎn) 、 的距離 之商 等于 時(shí)，表示線段 的中垂線（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）

三、阿波羅尼斯圓定義與7性質(zhì)

阿波羅尼斯（Apollonius約公元前262~192），古希臘數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠．阿波羅尼斯年青時(shí)到亞歷山大城跟隨歐幾里得的后繼者學(xué)習(xí)，和當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家合作研究．他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書(shū)中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一．

1、阿波羅尼斯圓的定義

【定義】 在平面上給定兩點(diǎn) ，設(shè)點(diǎn) 在同一平面上且滿足 ，當(dāng) 且 時(shí)， 點(diǎn)的軌跡是個(gè)圓，稱之為 阿波羅尼斯圓 （ 時(shí) 點(diǎn)的軌跡是線段 的中垂線）．（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）

2、阿波羅尼斯圓的證明

【定理1】 設(shè) ，，．若 （ 且 ），則點(diǎn) 的軌跡方程是（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）

其軌跡是以 為圓心，半徑為 的圓 ．

證明： 由 及兩點(diǎn)間距離公式，可得

化簡(jiǎn)可得

（1） 當(dāng) 時(shí)，得 ，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段 的垂直平分線；

（2） 當(dāng) 時(shí)，方程 兩邊都除以 得

化為標(biāo)準(zhǔn)形式即為：（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）

∴點(diǎn) 的軌跡方程是以 為圓心，半徑為 的圓 ．

阿波羅尼斯圓的另一種形式：

【定理2】 為兩已知點(diǎn)， 分別為線段 的定比為 （） 的內(nèi)外分點(diǎn)，則以 為直徑的圓 上任意點(diǎn) 到 兩點(diǎn)的距離之比為 ，如下圖 5 .

證明： 如圖 6，以 為例，

設(shè)   ， ，

則 ， ，

因?yàn)椋P(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）

過(guò) 作 的垂線交圓 于 兩點(diǎn)，

由相交弦定理及勾股定理得

于是 ，

所以

因?yàn)? 同時(shí)在到 兩點(diǎn)距離之比等于 的圓上，而不共線的三點(diǎn)所確定的圓是唯一的，

所以圓 上任意一點(diǎn) 到 兩點(diǎn)的距離之比恒為 ．同理可證 的情形．

3、阿波羅尼斯圓的相關(guān)性質(zhì)

由上面 【定理2】 的證明可得如下的性質(zhì)：

性質(zhì)1： 當(dāng) 時(shí)，點(diǎn) 在圓 內(nèi)，點(diǎn) 在圓 外；當(dāng) 時(shí)，點(diǎn) 在圓 內(nèi)，點(diǎn) 在圓 外．

性質(zhì)2： 因 ，故 是圓的一條切線．若已知圓及圓外一點(diǎn) ，可以作出與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn) ，反之亦然．

性質(zhì)3： 所作出的阿波羅尼斯圓的直徑為 ，面積為 ．

性質(zhì)4： 三角形 的面積存在最大值，即當(dāng) 時(shí)，三角形  取得最大值（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）

性質(zhì)5： 過(guò)點(diǎn) 作圓 的切線 （ 為切點(diǎn)），則 ， 分別為 的內(nèi)、外角平分線．

性質(zhì)6： 阿波羅尼斯圓的直徑兩端是按比例內(nèi)分 和外分 所得的兩個(gè)分點(diǎn)，如圖4所示， 是 的內(nèi)分點(diǎn)， 是 的外分點(diǎn)，此時(shí)必有 平分 ， 平分 的外角．

證明： 如圖 5，由已知可得 （ 且 ），

，

又 ，

，即

所以 平分

由等角的余角相等可得 ，所以 平分 的外角．

性質(zhì)7： 過(guò)點(diǎn) 作圓 不與 重合的弦 ，則 平分 ．

證明： 如圖 7，連結(jié) ， ，

由已知 （ 且 ），

（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）

又 ，

，

所以 平分 ．

四、阿波羅尼斯圓?？碱}

【山東青島25屆高三期初調(diào)研T14】 正方體 的棱長(zhǎng)為 ， 是側(cè)面 （包括邊界）上一動(dòng)點(diǎn)， 是棱 上一點(diǎn)，若 ，且 的面積是 面積的 倍，則三棱錐 體積的最大值是______.

解析：

是正方體

平面 ， 平面