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講解今天的內(nèi)容，先講解一種數(shù)學(xué)思想“轉(zhuǎn)化與化歸”。 轉(zhuǎn)化與化歸，是在解決問題時(shí)，化未知為已知，化復(fù)雜為簡單，化陌生為熟悉，化抽象為具體，化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想方法，它具有普遍適用性，在解決問題時(shí)幾乎無處不在。 化歸思想包含三個要素：化歸對象、化歸目標(biāo)和化歸途徑。正確運(yùn)用化歸思想，需要理解化歸對象，明確化歸目標(biāo)，探究化歸途徑。
①定點(diǎn)到定點(diǎn)：兩點(diǎn)之間，線段最短②定點(diǎn)到定線：點(diǎn)線之間，垂線段最短 |  | | 基本圖形1 | 基本圖形2 |
由此衍生出以下5個問題： ③定點(diǎn)到定點(diǎn)：三角形兩邊之和大于第三邊⑤定點(diǎn)到定圓：點(diǎn)圓之間，點(diǎn)心線截距最短（長）①等值變換：平移、對稱（翻折）、旋轉(zhuǎn)（以下作圖，黑色的點(diǎn)表示“定點(diǎn)”，紅色表示“動點(diǎn)”）作B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)B'，即PA+PB=PA+PB'，所以一般情況下，求（PA+PB）最小值，等同于（PA+PB’）最小值。以上是將軍飲馬的基本圖形，由這個圖形可以衍生出幾種基本變化：變化1：一個動點(diǎn)變化成兩個動點(diǎn)問題描述：PQ為定長線段，在直線l上運(yùn)動；求線段PQ運(yùn)動到哪里，（PA+PQ+QB）最??？問題解決：如何通過化歸思想將上面的圖轉(zhuǎn)化成我們的基本圖形1？①基本圖形1中，只有一個動點(diǎn)P，但是這里有兩個動點(diǎn)P、Q；②“化陌生為熟悉”，如果兩個動點(diǎn)變成一個動點(diǎn)，這個問題就解決了；③此時(shí)利用幾何三大變換里面的“平移變換”，將問題②得到解決，只是平移的時(shí)候，需要整體平移。④將動點(diǎn)Q平移到動點(diǎn)P，平移了距離d，同時(shí)定點(diǎn)B也延相同方向平移相同距離，則QB=PB'，此時(shí)（PA+PQ+QB）等同于（PA+PQ+PB'）；⑤又因?yàn)镻Q=d為定值，所以（PA+PQ+QB）最小=（PA+QB）最小+d=（PA+PB'）最小+d。當(dāng)A、P、B'三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值。以上，通過平移轉(zhuǎn)化，將這個問題轉(zhuǎn)化成了基本圖形1.但同時(shí)，在這類問題中，一般出題再增加上對稱變換，讓問題稍顯復(fù)雜，但我們的思路沒有變，還是逐步“化陌生為熟悉”，比如下圖的變化：
問題描述：PQ為定長線段，在直線l上運(yùn)動；求線段PQ運(yùn)動到哪里，（PA+PQ+QB）最??？問題解決：只是在上面的問題中增加了一步，對稱變化。問題描述：動點(diǎn)P、Q分別在直線l1和l2上運(yùn)動；求P、Q運(yùn)動到哪里，（PA+PQ+QB）最??？這個問題很好解決，即當(dāng)A、P、Q、B四點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值。
問題描述：直線l1∥l2，PQ為定長線段且垂直于兩條直線；求線段PQ運(yùn)動到哪里，（PA+PQ+QB）最小？問題解決：如何通過化歸思想將上面的圖轉(zhuǎn)化成我們的基本圖形1？①基本圖形1中，只有一個動點(diǎn)P，但是這里有兩個動點(diǎn)P、Q；只有一條直線，這里有兩條直線。②“化陌生為熟悉”，如果兩個動點(diǎn)變成一個動點(diǎn)，兩條直線變成一條直線，這個問題就解決了；在這里這類題型能同時(shí)處理這兩個問題是因?yàn)樘厥庑?，直線平行，線段與直線垂直。③此時(shí)利用幾何三大變換里面的“平移變換”，將問題②得到解決，只是平移的時(shí)候，需要整體平移。④將直線l2平移到與直線l1重合，則此時(shí)動點(diǎn)Q平移到動點(diǎn)P，平移了距離d，同時(shí)定點(diǎn)B也延相同方向平移相同距離，則QB=PB'，此時(shí)（PA+PQ+QB）等同于（PA+PQ+PB'）；⑤又因?yàn)镻Q=d為定值，所以（PA+PQ+QB）最小=（PA+QB）最小+d=（PA+PB'）最小+d。當(dāng)A、P、B'三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值。以上，通過平移轉(zhuǎn)化，將這個問題也轉(zhuǎn)化成了基本圖形1.在這類題型下，再增加對稱變換，會構(gòu)成以下幾種題型。
以上三種類型的變化，僅僅只是增加了“對稱變換”，核心就是“同側(cè)變異側(cè)”。今天針對初中階段，一般情況下，線段和差最值問題中涉及到“基本圖形1”的變化，進(jìn)行了梳理，所以“萬變不離其宗”，我們透過現(xiàn)象看本質(zhì)，很多復(fù)雜的問題都能簡單化。后續(xù)我們再來完善其他部分。
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