最近找到了一個(gè)用于線性變化可視化的在線visualization，很好玩，分享給大家：

https://visualize-it./linear_transformations/simulation.html

大家可以自己去玩玩，然后我也借助這個(gè)可視化工具做一期有關(guān)特征根和特征向量的教程。我接下來(lái)的教程內(nèi)容，在英文的線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容中屬于是司空見(jiàn)慣的東西，我可能只是通過(guò)我自己的理解整合了多個(gè)教程的內(nèi)容。但是，在中文的線代教程中，還尚未完全普及。

我并不打算系統(tǒng)地做線代教學(xué)，但通過(guò)這期教程，是想讓更多讀者看到，線代可以教得十分直觀易懂！

1 換一種視角看待矩陣乘法與線性方程組求解

對(duì)線代有基本認(rèn)識(shí)的讀者都會(huì)知道，對(duì)于一個(gè)如下的線性方程組：

我們可以將其表達(dá)為Ax的形式，其中：

我們可以用多種不同的方式來(lái)理解Ax這個(gè)矩陣和向量的乘法運(yùn)算，最為大家所熟知的是行*列的算法：

也就是說(shuō)A中的第一行依次為兩個(gè)未知數(shù)x的系數(shù)，所以我們將A中的第一行與兩個(gè)未知數(shù)依次相乘，形成第一個(gè)方程的左半部分（結(jié)果矩陣的第一行），第二行也類似……這種乘法方式被稱為“點(diǎn)積”運(yùn)算法，具體為何如此命名由于篇幅我們?cè)诖瞬毁樖觥?span>

我們還可以用一種不同的方式來(lái)理解這個(gè)乘法運(yùn)算，如下：

這種運(yùn)算的結(jié)果和上述是一樣的，但是運(yùn)算的過(guò)程不一樣。它代表了整個(gè)方程組的左半部分是通過(guò)x₁倍的A的第一列和x₂倍的A的第二列相加得來(lái)的——這個(gè)運(yùn)算也同樣十分直觀，符合我們對(duì)方程組構(gòu)建方式的認(rèn)識(shí)。通過(guò)這種理解視角，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)矩陣乘以向量，就是根據(jù)向量中的元素大小，來(lái)對(duì)矩陣中的列進(jìn)行相應(yīng)比例的線性組合。

【練習(xí)：到這里我們先停一下，請(qǐng)你自己嘗試著寫(xiě)一個(gè)3*3的矩陣A，與一個(gè)3*1的向量x，然后先用“點(diǎn)積”運(yùn)算法計(jì)算一下結(jié)果，然后再用新的“列的線性組合”的方式計(jì)算一下。希望你和我一樣獲得了相同的計(jì)算結(jié)果，但是會(huì)覺(jué)得，兩種計(jì)算帶給你的感覺(jué)是不一樣的！】

我自己做矩陣乘法的口算時(shí)很少會(huì)使用最基礎(chǔ)的“點(diǎn)積”算法，因?yàn)樗枰粋€(gè)個(gè)元素遍歷計(jì)算，這無(wú)疑是對(duì)我大腦計(jì)算資源的一種浪費(fèi)（學(xué)過(guò)“分布式計(jì)算”相關(guān)編程概念的同學(xué)會(huì)更理解我在說(shuō)什么）。

另一方面，“列的線性組合”的乘法算法能提供給我們一種新的視角來(lái)理解線性方程組。上述的“列的線性組合”，實(shí)際上就是在說(shuō)一組列向量（通過(guò)一列數(shù)字表示的向量）的線性組合，它在視覺(jué)上意味著什么呢？

我們可以把兩條向量先在坐標(biāo)系中描繪出來(lái)：

讓我們將這兩條向量命名為a₁和a₂。依據(jù)高中學(xué)的向量“平行四邊形加法法則”，可知我們能夠通過(guò)對(duì)兩條向量進(jìn)行一定比例的“加和”，也就是x₁ a₁+x₂ a₂，來(lái)獲得相對(duì)應(yīng)的任意二維平面上的向量：

現(xiàn)在，再回過(guò)頭來(lái)看我們用來(lái)舉例的二元一次方程組，我們已經(jīng)知道它可以被如此簡(jiǎn)寫(xiě)：

所以這個(gè)求解這個(gè)線性方程組，實(shí)際上在視覺(jué)上，就是在求解：我們?cè)撊绾螌?duì)a₁和a₂進(jìn)行配比加和（找到對(duì)應(yīng)的x₁和x₂），才能獲得目標(biāo)向量b=(8, 5)。

【練習(xí)1：請(qǐng)通過(guò)你既有的解二元一次方程組的知識(shí)，解出這個(gè)線性方程組，然后根據(jù)方程組的解x₁和x₂，在坐標(biāo)系中畫(huà)出相應(yīng)的平行四邊形加法的可視化，驗(yàn)證加法結(jié)果，也就是平行四邊形的對(duì)角線，是不是就是方程組中的b】

【練習(xí)2（選做）：將你在最初一個(gè)練習(xí)中找的矩陣和向量寫(xiě)成一個(gè)三元一次方程組，然后通過(guò)“列的線性組合”的方式來(lái)理解這個(gè)方程組，并在三維坐標(biāo)系中描繪出對(duì)應(yīng)的列向量。接下來(lái)，請(qǐng)你自行求解出該方程組的解，依據(jù)解的值，我們可以對(duì)剛才可視化出來(lái)的三條列向量進(jìn)行線性加和。請(qǐng)觀察，加和得到的目標(biāo)向量，是否對(duì)應(yīng)于方程組中的b】

2 換一種情境理解Ax

我們剛剛已經(jīng)介紹了通過(guò)“列的線性組合”的方式來(lái)理解Ax，在這種視角下，假如A是一個(gè)m*n的矩陣，我們可以將其看作一個(gè)蘊(yùn)含了n個(gè)m*1向量的矩陣，而Ax這一乘法就是對(duì)這n個(gè)向量進(jìn)行線性組合，來(lái)獲得1個(gè)m*1的向量。

需要注意的是，在上述求解線性方程組的情境下，我們其實(shí)默認(rèn)地將A看作某個(gè)特定的矩陣，其所包含的列向量也都是給定的。而x是可以變動(dòng)的，我們嘗試將A中的列向量通過(guò)任意x中的元素組合，來(lái)獲得目標(biāo)向量b。

如果我們從烹調(diào)料理的角度來(lái)理解這個(gè)乘法，我們可以將A理解為某種食材，x理解為不同的調(diào)味料，我們嘗試向食材中加入的調(diào)味料，從而將食材烹調(diào)成我們期待的料理。

現(xiàn)在，讓我們?cè)賮?lái)引入另一種情境：假如現(xiàn)在有一個(gè)Ax的乘法，其中x是固定的，而A是變動(dòng)的呢？這時(shí)，我們的“烹調(diào)方式”有所轉(zhuǎn)換：x變成了某種食材，而A變成了不同的調(diào)味料。但這其實(shí)只是一種情境上的切換，我們?nèi)耘f可以通過(guò)“列的線性組合”來(lái)理解Ax背后的含義。

我們先來(lái)看一種最簡(jiǎn)單的情況，當(dāng)A=I，也就是單位矩陣的時(shí)候。我們可以把Ax看作：

而它實(shí)際上就是x本身（這時(shí)候我們就是在對(duì)一個(gè)長(zhǎng)度為1的x軸上的向量和一個(gè)長(zhǎng)度為1的y軸上的向量進(jìn)行線性組合，這也是我們構(gòu)建任意標(biāo)準(zhǔn)二維坐標(biāo)系中向量的方式）！但是假如我們將A中的第一個(gè)元素改為2：

這時(shí)，通過(guò)“列的線性組合”，Ax現(xiàn)在變成了：

可以看到，x的第一個(gè)維度被拉伸了兩倍，現(xiàn)在讓我們將x想象為一個(gè)二維坐標(biāo)系中的向量，Ax乘法的過(guò)程其實(shí)可以被可視化為下述的過(guò)程：

在有了如此精美的可視化后，讓我們?cè)賮?lái)回憶一下我們剛才做了什么！當(dāng)A=I的時(shí)候，Ax就是x本身，它就好好“躺”在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的二維坐標(biāo)系上。當(dāng)A中的第一個(gè)元素變換時(shí)，整個(gè)坐標(biāo)系也發(fā)生了變換，我們可以將其理解為一個(gè)空間扭曲的過(guò)程，而在這個(gè)扭曲的過(guò)程中，處于這個(gè)空間內(nèi)的x也被連帶著扭曲了！

我們將這個(gè)扭曲的過(guò)程稱為“線性變換”，任何矩陣都可以是一道“扭曲射線”，當(dāng)它打在x上（也就是Ax）時(shí)，x所處的整個(gè)空間會(huì)產(chǎn)生扭曲，導(dǎo)致x也跟著被扭曲。

我們還可以來(lái)做一個(gè)更有意思的線性變換，假如這時(shí)A為如下矩陣，x為如下向量：

我們來(lái)看看這個(gè)“空間扭曲”，或者正式地說(shuō)，線性變換的可視化是怎么樣的：

【練習(xí)：自己打開(kāi)文章開(kāi)頭的網(wǎng)址，嘗試不同的矩陣A，來(lái)觀察左乘矩陣A后對(duì)整個(gè)二維空間的影響】

3 真正理解特征根與特征向量

我們?cè)谇懊嫣岬剑仃?span>A可以被理解為某種線性變換，當(dāng)它左乘x時(shí)，可以對(duì)x所處的空間施加某種“空間扭曲”，進(jìn)而促使x產(chǎn)生變化。那么顯而易見(jiàn)的是，在這個(gè)扭曲的過(guò)程中，不僅x變化了，該空間中其他的向量也由于空間的扭曲而產(chǎn)生了變化。

所有線代教材在講到特征根與特征向量時(shí)，都會(huì)給出如下的公式：

其中x是特征向量，λ是特征根。結(jié)合上述“空間扭曲”/線性變化的知識(shí)，這個(gè)公式到底意味著什么呢？

這個(gè)公式意味著，當(dāng)A這道“扭曲射線”降臨時(shí)，存在某條向量x，在整體空間扭曲的情況下，雖然它的長(zhǎng)度被改變了，但它的方向沒(méi)有變化，仍舊能夠“保持本色”！

比如，給定如下的矩陣和其特征根與特征向量：

我們可以將Ax可視化為如下的過(guò)程：

我們可以看到，在A扭曲整個(gè)空間的過(guò)程中，x只是被拉伸了（剛好放大了兩倍），方向并沒(méi)有變化。

這條“堅(jiān)挺”的向量x就被我們稱為A的特征向量，特征向量的英文為“eigenvector”，而eigen為德語(yǔ)，對(duì)應(yīng)“自身的”意思。所以x是A的eigenvector，實(shí)際上就是說(shuō)x在經(jīng)過(guò)A的線性變換后，仍舊能夠保持自身。而經(jīng)過(guò)變換后縮放的幅度，相對(duì)應(yīng)的就被我們稱為“特征根”，也就是eigenvalue。這里中文的翻譯實(shí)際上也存在一定誤導(dǎo)，英文直譯應(yīng)為“特征值”，之所以翻譯為“特征根”，大概率是因?yàn)槲覀儗?shí)際求eigenvalue的過(guò)程中會(huì)涉及到方程根的求解。

【練習(xí)：結(jié)合你手頭的線代教材，掌握求解一個(gè)矩陣A的特征根與特征向量的基本算法。然后自己給定一個(gè)矩陣A，求出它的特征向量與特征根，在文章開(kāi)頭給的可視化工具中，嘗試可視化出特征向量“保持自身”的過(guò)程】

如上，就是用可視化方式真正理解特征根和特征向量的全部?jī)?nèi)容，以下是我的個(gè)人吐槽，你可以選擇不讀，或是消化完知識(shí)以后再讀，對(duì)我的讀者來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)是第一的！

4 線代的教學(xué)真有那么難嗎？

我之前就提過(guò)國(guó)內(nèi)高校很多線代課很“拉胯”，實(shí)際上只要用心，配上一些教學(xué)能力，一個(gè)老師完全可以在多年授課經(jīng)驗(yàn)的幫助下，很清楚地教授很多知識(shí)點(diǎn)。本教程就是一個(gè)例子，在對(duì)比本教程與你所接受的高校線代教育時(shí)，應(yīng)注意如下幾點(diǎn)區(qū)分：

1） 閱讀本教程的讀者大多已接受過(guò)基本的線代課程，對(duì)相關(guān)概念已有一定認(rèn)識(shí)，此為本教程較高校線代課程占優(yōu)；

2） 本教程只能夠通過(guò)文字和圖片，不能夠面對(duì)面教學(xué)，此為本教程占劣；

3） 高校線代課程更加系統(tǒng)，有更充足的時(shí)間鋪墊，本教程需要通過(guò)一篇3000字的文章講清楚課程行進(jìn)末段中的重難點(diǎn)，此為本教程占劣；

以上僅僅簡(jiǎn)單羅列，實(shí)際上還有很多本教程的潛在劣勢(shì)。雖然本教程的劣勢(shì)在數(shù)量上占多，但并不見(jiàn)得實(shí)際上就占劣，只是希望讀者在對(duì)比時(shí)能夠注意到這些區(qū)分。

上篇文章評(píng)論區(qū)有人提到，線代課程沒(méi)有我說(shuō)的那么不堪，很多東西老師都講了，而是學(xué)生第一次學(xué)習(xí)不理解。我自己曾經(jīng)是學(xué)過(guò)線代課，所以在面對(duì)這種觀點(diǎn)時(shí)，不僅不贊同，更感到憤怒。因?yàn)槲业木€代老師講得就是很爛，花了半個(gè)學(xué)期講行列式，講矩陣以后連坐標(biāo)系都沒(méi)畫(huà)過(guò)，叫人怎么理解？而我聽(tīng)說(shuō)的有的老師可能會(huì)提，但并不會(huì)通過(guò)各種方式來(lái)幫助學(xué)生更好地理解。

我知道這里有個(gè)不能“以偏概全”的問(wèn)題，而我所知道的永遠(yuǎn)是“偏”。但是我相信我自己的經(jīng)歷，和我描述的現(xiàn)象是有代表性的——國(guó)內(nèi)很多學(xué)生都有過(guò)類似的經(jīng)歷，而關(guān)注我的粉絲可能絕大多數(shù)都遭遇過(guò)類似的老師。

所以，我也希望大家能夠更多地在評(píng)論區(qū)理性地交流自己的經(jīng)歷和觀點(diǎn)，或許你們的發(fā)聲不能夠改變現(xiàn)實(shí)的情況，同時(shí)你們說(shuō)再多，或許也說(shuō)服不了那些看不清現(xiàn)實(shí)的人。但是不管你們支持還是反對(duì)我，這至少有兩個(gè)直接的好處：1）讓我知道我用心更新各種教程是有意義的，有一部分人也確實(shí)需要用心編排的教程，2）看到有意義的話題被討論和思考，能夠改善我的情緒和精神健康。

最后，我知道我上述的教程也仍有很多可以改進(jìn)的地方，我也會(huì)在未來(lái)的時(shí)光里不停地去改善，因?yàn)?strong>教程的修改和我對(duì)學(xué)科概念理解的深入是同步的。同時(shí)，我的教程并不全面，并沒(méi)有涉及很多計(jì)算的細(xì)節(jié)。但是我一直堅(jiān)信，傳授知識(shí)沒(méi)有必要把所有知識(shí)都塞給學(xué)生，知識(shí)的理解是沒(méi)有辦法硬塞的，這種主動(dòng)權(quán)永遠(yuǎn)在學(xué)生自己身上。而好的教程應(yīng)該是啟發(fā)性的，它幫助學(xué)習(xí)者在抓住最本質(zhì)最核心的東西的同時(shí)，促發(fā)學(xué)習(xí)者對(duì)相關(guān)議題的興趣，從而使其能夠自行探索和學(xué)習(xí)一些更簡(jiǎn)單和機(jī)械化的“周邊”內(nèi)容。