【原】2023八年級(jí)下部分區(qū)幾何綜合題解法分析(閔行、普陀、楊浦)

妍小青 2024-06-22 發(fā)布于上海

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PART 1

閔行幾何綜合題

解法分析：2023閔行八年級(jí)幾何綜合題是基于旋轉(zhuǎn)+菱形背景下的綜合問(wèn)題。

本題的第(1)問(wèn)根據(jù)EH=AB，以及旋轉(zhuǎn)后所成的夾角∠BAE=∠CEF及AE=EF，可得△ABE≌△EFH，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到FH=BE，再結(jié)合AB=BC=EH，從而利用線段的和差關(guān)系證明CH=FH。

本題的第(2)問(wèn)中的①借助第(1)問(wèn)的作圖啟示，仍舊作EH=AB，從而證明△ABE≌△EFH，CH=FH，從而借助三角形的外角性質(zhì)、菱形的對(duì)角互補(bǔ)、平角的性質(zhì)得到α角和β角之間的數(shù)量關(guān)系。

本題的第(2)問(wèn)中的①利用α角和β角之間的數(shù)量關(guān)系，得∠α=120°，∠β=90°，進(jìn)而得到△CHF是頂角為120°的等腰三角形，本題的關(guān)鍵在于如何合理利用CD=4DP，不妨設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為4，結(jié)合∠ADC=120°，過(guò)點(diǎn)A作DC的垂線，從而可得DQ=2，則DP=PC，進(jìn)而可得△AQP≌△PCF，得到AQ=CF，通過(guò)解△CHF，得HF=2，從而得BE=HF=2，得證。

PART 2

普陀幾何綜合題

解法分析：2023普通八年級(jí)幾何綜合題是基于新定義+對(duì)角線互相垂直四邊形背景下的結(jié)論探索和應(yīng)用問(wèn)題。

本題的第(1)問(wèn)四次利用勾股定理可以得到對(duì)角線互相垂直的四邊形對(duì)邊的平方和相等。

本題的第(2)問(wèn)中的第①問(wèn)沿用第(1)問(wèn)的結(jié)論，關(guān)鍵是需要證明這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直。通過(guò)借助正方形背景下的旋轉(zhuǎn)全等模型，聯(lián)結(jié)BG、DE，借助全等三角形的性質(zhì)可以證明DE⊥BG，再應(yīng)用(1)中的結(jié)論即可求得DG的長(zhǎng)度。

本題的第(2)問(wèn)中的第②問(wèn)是對(duì)于MN取值范圍的計(jì)算。對(duì)于取值范圍的問(wèn)題，問(wèn)題突破的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)臨界位置，即∠BCG=0°或∠BCG=180°的兩種情況。結(jié)合M、N分別為中點(diǎn)，構(gòu)造中位線和等腰直角三角形，“化斜為直”，從而求得取值范圍。

PART 3

楊浦幾何綜合題

解法分析：2023楊浦八年級(jí)幾何綜合題是基于矩形+旋轉(zhuǎn)背景下的綜合問(wèn)題。

本題的第(1)問(wèn)和第(2)問(wèn)利用一線三直角模型構(gòu)造全等三角形。兩問(wèn)中均為構(gòu)造與△ABE全等的直角三角形，再過(guò)F作AD的垂線，求面積或利用勾股定理建立函數(shù)關(guān)系。

本題的第(3)問(wèn)需要分類(lèi)討論，即點(diǎn)G在線段CD上或CD的延長(zhǎng)線上。本題的難點(diǎn)在于如何利用45°，常見(jiàn)的解決方法在于做高。通過(guò)延長(zhǎng)BF、DC交于點(diǎn)N，作NI⊥BG，同時(shí)構(gòu)造全等△BHF和△NFM。再借助“等積法”助力問(wèn)題解決的。

在延長(zhǎng)線上的方法也是相同的，對(duì)于點(diǎn)在線段或其延長(zhǎng)線上的問(wèn)題，只是改變了點(diǎn)的位置，而問(wèn)題解決的方法是不變的。

可以發(fā)現(xiàn)，閔行、普陀、楊浦三個(gè)區(qū)的問(wèn)題背景都是基于特殊四邊形和旋轉(zhuǎn)背景，問(wèn)題解決的辦法往往是借助構(gòu)造一線三直角基本圖形或手拉手旋轉(zhuǎn)全等模型，通過(guò)構(gòu)造全等三角形，實(shí)現(xiàn)線段獲角的轉(zhuǎn)化，再借助勾股定理或特殊角的性質(zhì)解三角形助力問(wèn)題解決。

(下圖所示是常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)模型的構(gòu)建)

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