我們已經(jīng)對(duì)復(fù)變函數(shù)的積分下了明確的定義，并給出了一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。由于在物理學(xué)研究和工程技術(shù)應(yīng)用中遇到的復(fù)變函數(shù)都是解析函數(shù)，因此，讓我們對(duì)解析函數(shù)的積分做更細(xì)致的討論。

根據(jù)單連通區(qū)域的柯西定理，上述閉合路徑的積分等于零。由此可以推斷：?jiǎn)芜B通區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)的復(fù)變積分與積分路徑無(wú)關(guān)。

當(dāng)我們利用格林公式導(dǎo)出單連通區(qū)域的柯西定理時(shí)，已經(jīng)默認(rèn)，被積函數(shù)在閉合積分路徑所圍的區(qū)域內(nèi)沒(méi)有奇點(diǎn)。但是，正如前面說(shuō)過(guò)，即使是一個(gè)解析函數(shù)，也有可能在所研究的區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)奇點(diǎn)。在這種情況下，就不能直接應(yīng)用格林公式，而是要考慮閉合積分路徑是否包圍函數(shù)的奇點(diǎn)，再對(duì)積分進(jìn)行處理。

如果閉合路徑不包圍被積函數(shù)的任何奇點(diǎn)，那么，單連通區(qū)域的柯西定理在這條積分路徑上成立，被積函數(shù)沿這條閉合路徑的積分等于零；如果閉合路徑包圍被積函數(shù)的奇點(diǎn)，就必須用適當(dāng)?shù)拈]合曲線(xiàn)把這些奇點(diǎn)隔離。除掉奇點(diǎn)的區(qū)域?qū)⑿纬梢粋€(gè)復(fù)連通區(qū)域。為了能夠應(yīng)用單連通區(qū)域的柯西定理，可以用割線(xiàn)將內(nèi)外邊界連接起來(lái)，構(gòu)成單連通區(qū)域，如上右圖所示。

需要再一次說(shuō)明，割線(xiàn)是一條線(xiàn)而不是兩條線(xiàn)，圖中畫(huà)出的兩條線(xiàn)只代表割線(xiàn)的兩側(cè)，分別被稱(chēng)為割線(xiàn)的上岸和下岸，它們實(shí)際上代表了一條割線(xiàn)的兩個(gè)走向。一般規(guī)定，從外邊界進(jìn)入內(nèi)邊界的走向是上岸，從內(nèi)邊界到外邊界的走向是下岸。

需要注意的是，在上述積分等式中，所有積分路徑的走向都沿逆時(shí)針?lè)较颉?/span>