微積分初步——根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義推導(dǎo)常見(jiàn)函數(shù)的求導(dǎo)公式（一起傾聽(tīng)莫扎特：降E大調(diào)第一交響曲，作品編號(hào)kv16）

東秋元圖書(shū)館 2024-02-16 發(fā)布于河北

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導(dǎo)數(shù)，在高中數(shù)學(xué)的使用，終其所有，無(wú)非就是在來(lái)回折騰它的幾何意義

1、求導(dǎo)然后求切線方程

2、求導(dǎo)判斷區(qū)間單調(diào)性

3、求二階導(dǎo)判斷曲線的凹凸

現(xiàn)在的問(wèn)題是，如何求導(dǎo)？

既然導(dǎo)數(shù)是函數(shù)變化率的極限值，那么求導(dǎo)也就是求極限。

我們先從最簡(jiǎn)單的開(kāi)始：

1如果函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，則它的切線就是一條平行于x軸的直線，斜率值為0，也就是：

如果是一次函數(shù)，也就是

它的導(dǎo)函數(shù)其實(shí)就是它的切線函數(shù)，而直線的切線就是它自身，所以導(dǎo)函數(shù)值也就是這條直線的斜率值。

結(jié)論：

2、如果是一個(gè)二次函數(shù)，求導(dǎo)方式還是一樣：

3、如果面對(duì)的是自變量的n次方呢？

上式轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠖囗?xiàng)式的極限，此時(shí)，首項(xiàng)決定一切，所以：

結(jié)論：

4、如果碰到的是正弦函數(shù)，那么

所以上式轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/span>

此時(shí)，我們可以看到上式中，有一個(gè)重要的極限值：

這是一個(gè)可能被反復(fù)拿來(lái)使用的極限值，它可以借助直角三角形，并使用夾逼定理求雙側(cè)極限來(lái)完成證明。

不過(guò)，具體的證明過(guò)程，包括另外幾個(gè)重要的極限，比如自然常數(shù)e，我們會(huì)在后續(xù)的短文中一一詳細(xì)介紹，在這里出于短文連續(xù)性的考慮，直接拿來(lái)使用。

因此：

結(jié)論：

那么，如果

結(jié)論：

5、如果我們面前是一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)：

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，我們繼續(xù)求變化率的極限值

到了這里又出現(xiàn)一個(gè)以后會(huì)被反復(fù)使用的極其重要的極限：

我們稱這個(gè)e為自然常數(shù)，數(shù)學(xué)上將上述極限值定義為e。它的來(lái)源詳見(jiàn)短文：自然常數(shù)e是怎么來(lái)的？，它的極限值計(jì)算過(guò)程以及結(jié)果，在后續(xù)文章中將詳細(xì)介紹，我們?cè)谶@里還是采用拿來(lái)就用的原則，確保本篇短文的連續(xù)性。

我們把對(duì)數(shù)的真數(shù)部分單獨(dú)拿出來(lái)看：

這個(gè)式子似乎并不符合極限值自然常數(shù)e的形式，我們需要對(duì)它進(jìn)行有目的地改造，使其變成已知極限的形式：

因此上式等價(jià)于：

將這個(gè)結(jié)果代入最初的對(duì)數(shù)極限：

結(jié)論：

6、最后是我們的指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)：

指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)，如果我們直接采用求極限的辦法會(huì)陷入一個(gè)無(wú)法自拔的循環(huán)論證的怪圈，比如：

對(duì)于上式中的

此時(shí)，如果德?tīng)査趨近0，上式中分子分母都趨近0，形成0比0這種尷尬局面，如果我們采用神奇的洛必達(dá)法則，分子分母分別求導(dǎo)，能夠得到

但是很明顯，我們采用了本來(lái)需要證明的指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)結(jié)論，這個(gè)結(jié)論此時(shí)是不合法的，所以上述方法就是循環(huán)論證。

指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)方法，我們似乎需要采用另外一種途徑才好。

好在我們知道同底數(shù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)是反函數(shù)，所以有：

對(duì)數(shù)如何求導(dǎo)我們是會(huì)的，也就是：

我們也可以將結(jié)果寫(xiě)成另一種形式：

這種形式表明的是函數(shù)針對(duì)自變量x求導(dǎo)。

對(duì)于函數(shù)

我們此時(shí)如果針對(duì)y求導(dǎo)，就會(huì)得到

根據(jù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，上下顛倒，就可以得到：

上式表明的就是指數(shù)函數(shù)針對(duì)x求導(dǎo)的結(jié)果。

結(jié)論：

至此，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，我們用求極限的方式，把幾個(gè)函數(shù)的求導(dǎo)公式推導(dǎo)出來(lái)，但很明顯，計(jì)算過(guò)程中采用了重要極限的計(jì)算結(jié)果，以及指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)中，采用了鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，這些極限怎么來(lái)的，鏈?zhǔn)椒▌t又是一種什么法則，本文中都沒(méi)有涉及，這些東西我們都會(huì)在后續(xù)的短文中，逐個(gè)詳細(xì)介紹。

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來(lái)自：東秋元圖書(shū)館 > 《高數(shù)》

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