Legendre函數(shù)是勒讓德多項式（Legendre polynomials）的解，它們是一組在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中廣泛應(yīng)用的正交多項式。Legendre函數(shù)以法國數(shù)學(xué)家阿德里安-馬里·勒讓德（Adrien-Marie Legendre）的名字命名。

Legendre多項式可以通過勒讓德方程（Legendre's differential equation）定義。對于非負整數(shù) \( n \)，\( P_n(x) \) 是勒讓德方程的解。這些多項式具有以下性質(zhì)：

1. **正交性：** 在權(quán)重函數(shù)為1的條件下，Legendre多項式是在區(qū)間 [-1, 1] 上的正交多項式。即對于 \( m \neq n \)，下面的積分等于零：

   \[ \int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x) \, dx = 0 \]

2. **歸一性：** 歸一化系數(shù)使得 \( P_n(1) = 1 \)，這稱為正規(guī)化Legendre多項式。

3. **勒讓德方程：** 勒讓德多項式 \( P_n(x) \) 滿足勒讓德方程：

   \[ (1-x^2) \frac{d^2P_n}{dx^2} - 2x \frac{dP_n}{dx} + n(n+1)P_n = 0 \]

Legendre函數(shù)在球坐標系、電磁場、量子力學(xué)等領(lǐng)域中經(jīng)常出現(xiàn)。它們的性質(zhì)使得它們成為處理球?qū)ΨQ問題的有力工具。在實際計算中，通常使用遞推關(guān)系或其他方法計算Legendre多項式的值。