我們知道，一個(gè)實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示。類似地，一個(gè)復(fù)數(shù)可以用平面上的一個(gè)點(diǎn)表示，這個(gè)平面被稱為復(fù)平面。在平面上畫一個(gè)直角坐標(biāo)系，把它的橫軸與復(fù)數(shù)的實(shí)部對(duì)應(yīng)，縱軸與復(fù)數(shù)的虛部對(duì)應(yīng)，就構(gòu)成一個(gè)復(fù)平面。每一個(gè)復(fù)數(shù)都落在復(fù)平面的一個(gè)確定點(diǎn)上，復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。引入復(fù)平面后，一個(gè)復(fù)數(shù)與它的復(fù)共軛之間的關(guān)系就非常清楚了：它們關(guān)于 軸對(duì)稱，如下左圖。有了復(fù)平面，就可以用復(fù)平面上的自由矢量來表示復(fù)數(shù)。從原點(diǎn)向所研究的復(fù)數(shù)點(diǎn)作一個(gè)矢量，用這個(gè)矢量代表所研究的復(fù)數(shù)。用矢量表示一個(gè)復(fù)數(shù)這種方法顯示，復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算滿足平行四邊形法則或三角形法則，如下左圖。復(fù)數(shù)的矢量表示法告訴我們，一個(gè)復(fù)數(shù)與它的復(fù)共軛相乘將給出這個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所處的位置到原點(diǎn)的距離：我們把這個(gè)距離叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的模。
還可以用極坐標(biāo)表示復(fù)數(shù)。在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上取極坐標(biāo)系，把平面直角坐標(biāo)系的 軸當(dāng)作參考方向。當(dāng)一個(gè)復(fù)數(shù)用矢量來表示時(shí)，這個(gè)矢量有一個(gè)長(zhǎng)度 ，矢量的指向與 軸有一個(gè)夾角 ，這個(gè)復(fù)數(shù)可以表示成這樣：其中的 就是這個(gè)復(fù)數(shù)的模，而 則被稱為這個(gè)復(fù)數(shù)的輻角，如上右圖：由復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)表示法馬上得到這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部：以及這個(gè)復(fù)數(shù)的復(fù)共軛：復(fù)數(shù)的矢量表示法或者極坐標(biāo)表示法顯示，0 這個(gè)復(fù)數(shù)的輻角并不確定；這兩種表示方式還明確地告訴我們?cè)鯓佑?jì)算一個(gè)復(fù)數(shù)的模。由于三角函數(shù)具有周期性，因此，復(fù)數(shù)的輻角并不唯一，輻角具有多值性。習(xí)慣上，將一個(gè)復(fù)數(shù)在半開區(qū)間 的輻角值稱為這個(gè)復(fù)數(shù)的輻角的主值，用以下方式標(biāo)記：在極坐標(biāo)表示法下，復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算變得相當(dāng)簡(jiǎn)單。兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘是這樣運(yùn)算的：
結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘時(shí)，乘積所得的新復(fù)數(shù)的模是兩個(gè)相乘復(fù)數(shù)的模的乘積，而新復(fù)數(shù)的輻角則是兩個(gè)相乘復(fù)數(shù)的輻角之和。由這個(gè)結(jié)果馬上可以推測(cè)，如果兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，則除法所得的新復(fù)數(shù)的模就應(yīng)該是相除的兩個(gè)復(fù)數(shù)的模的商，而新復(fù)數(shù)的輻角則應(yīng)該是兩個(gè)相除的復(fù)數(shù)的輻角之差。這個(gè)推測(cè)當(dāng)然是可以加以檢驗(yàn)的：
在極坐標(biāo)表示法下復(fù)數(shù)的相乘和相除的特點(diǎn)啟發(fā)我們，可以在這個(gè)基礎(chǔ)上定義復(fù)指數(shù)：
容易驗(yàn)證，復(fù)指數(shù)的運(yùn)算規(guī)則與實(shí)指數(shù)的運(yùn)算規(guī)則相同：有了復(fù)指數(shù)的概念，一個(gè)復(fù)數(shù)就可以表示成如下簡(jiǎn)潔的形式：
這種表示方法被稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法。
在指數(shù)表示法下，復(fù)數(shù)的乘法與除法運(yùn)算更加簡(jiǎn)單。兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘就是這個(gè)樣子的：
兩個(gè)復(fù)數(shù)相除也有相似的形式：顯然，這兩個(gè)結(jié)果都是直接利用了復(fù)指數(shù)的運(yùn)算規(guī)則得到的。
