在物理學(xué)的理論研究和工程技術(shù)應(yīng)用的許多問(wèn)題中，需要將數(shù)從實(shí)數(shù)域擴(kuò)展到復(fù)數(shù)域才能獲得解決。 在高等數(shù)學(xué)的課程中，我們學(xué)會(huì)了在實(shí)數(shù)域中進(jìn)行微分和積分的運(yùn)算，以及其他相關(guān)的數(shù)學(xué)運(yùn)算技術(shù)。不過(guò)，在物理學(xué)的理論研究和工程技術(shù)應(yīng)用的許多問(wèn)題中，僅僅依靠實(shí)數(shù)域中的運(yùn)算解決不了太多問(wèn)題。有許多問(wèn)題需要將數(shù)從實(shí)數(shù)域擴(kuò)展到復(fù)數(shù)域才能獲得解決。在接下來(lái)的課程中，我們將著手探討復(fù)數(shù)域中的數(shù)學(xué)運(yùn)算問(wèn)題。一個(gè)復(fù)數(shù)由一對(duì)滿足一定運(yùn)算規(guī)則的有序排列的實(shí)數(shù) 組成，其中 和 是兩個(gè)任意的實(shí)數(shù)。復(fù)數(shù)滿足幾條運(yùn)算規(guī)則：如果有兩對(duì)這樣的實(shí)數(shù)，要把它們加起來(lái)，就要按照以下的運(yùn)算規(guī)則相加：稱(chēng)之為加法規(guī)則；如果要讓它們相乘，則要按照以下的運(yùn)算規(guī)則相乘：稱(chēng)之為乘法規(guī)則。以上加法規(guī)則和乘法規(guī)則是復(fù)數(shù)運(yùn)算滿足的兩條基本規(guī)則。 可以將一個(gè)復(fù)數(shù)按照以下方式分解：式中 被稱(chēng)為這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部， 被稱(chēng)為這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，分別用以下符號(hào)表示：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等。除了相等這種比較外，復(fù)數(shù)是不能比較大小的。在上面對(duì)復(fù)數(shù)的分解式中，出現(xiàn)了一個(gè)特殊的復(fù)數(shù) ，容易證明，這個(gè)復(fù)數(shù)具有與實(shí)數(shù) 1 相同的運(yùn)算效果：因此，當(dāng)我們遇到 這個(gè)復(fù)數(shù)時(shí)，直接用 1 代替就行了；我們還遇到一個(gè)特殊的復(fù)數(shù) ，這是虛單位。為了書(shū)寫(xiě)方便，用小寫(xiě)英文字母 代表虛單位，它有這樣的性質(zhì)：引入虛單位的簡(jiǎn)寫(xiě)符號(hào)之后，任意一個(gè)復(fù)數(shù)可以寫(xiě)成以下簡(jiǎn)便的形式：復(fù)數(shù)的加法和乘法的運(yùn)算方式就完全像實(shí)數(shù)的加法和乘法的運(yùn)算方式一樣；還有一個(gè)特殊的復(fù)數(shù) ，容易證明它具有與實(shí)數(shù) 0 相同的運(yùn)算效果：因此，以后凡是遇到 這個(gè)復(fù)數(shù)，就可以直接寫(xiě)成 0。除了加法和乘法，復(fù)數(shù)還有一種特殊的運(yùn)算：復(fù)共軛運(yùn)算。一個(gè)復(fù)數(shù) 的復(fù)共軛被定義為 ，也就是將一個(gè)復(fù)數(shù)的虛部改變一個(gè)正負(fù)號(hào)。不難明白，一個(gè)復(fù)數(shù)做了一次復(fù)共軛后再做一次復(fù)共軛，就還原為原來(lái)那個(gè)復(fù)數(shù)。一個(gè)復(fù)數(shù)與它的復(fù)共軛相乘則給出一個(gè)實(shí)數(shù)：不難論證，復(fù)共軛運(yùn)算滿足以下規(guī)則：復(fù)數(shù)的加法與乘法有相應(yīng)的逆運(yùn)算，它們是減法和除法。減法不用多說(shuō)，減去一個(gè)復(fù)數(shù)就是加上這個(gè)復(fù)數(shù)的負(fù)值：除法就有點(diǎn)麻煩了。當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)相除時(shí)，分母必然會(huì)出現(xiàn)一個(gè)復(fù)數(shù)，在這種情況下，我們就不能把相除的結(jié)果寫(xiě)成實(shí)部和虛部相加的形式。為了能夠把復(fù)數(shù)相除的結(jié)果按實(shí)部和虛部分解，必須把分母變成一個(gè)實(shí)數(shù)。這時(shí)候，復(fù)數(shù)的復(fù)共軛這個(gè)概念就起作用了。在分子和分母上同時(shí)乘以分母的復(fù)共軛，就把分母變成了一個(gè)實(shí)數(shù)而不改變整個(gè)分式的值：這樣，就把兩個(gè)復(fù)數(shù)相除的結(jié)果分解成實(shí)部和虛部相加的形式。補(bǔ)充了復(fù)數(shù)的減法和除法之后，就有了復(fù)數(shù)的一套完整的四則運(yùn)算。復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律和分配律。從復(fù)數(shù)的簡(jiǎn)寫(xiě)表達(dá)式出發(fā)，利用實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)律很容易證明復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)則，這項(xiàng)任務(wù)就交給大家自己去完成吧。
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