問題提出

(1) 

如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，且∠BAC=∠CDE=90°，連接AD、BE，則的值為_____

問題探究

(2) 如圖2，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點P是BD上一動點，以AP為斜邊在AP邊的右側(cè)作等腰Rt△APQ,∠AQP=90°,連接DQ、CQ，當DQ最小時，求△CDQ的面積；

問題解決

(3) 隨著社會的發(fā)展，農(nóng)業(yè)觀光園走進我們的生活，某農(nóng)業(yè)觀光園的平面示意圖3所示的四邊形ABCD，若BC=20km，∠BAD=135°，∠ADC=90°，AD=CD，為了能夠讓廣大市游客更近距離觀光，徜徉在大自然的海洋，設計師計劃在BD之間修一條觀光小路，為了方便市民觀賞，想讓BD最大，根據(jù)設計要求，求出當BD取最大時△BCD的面積.

解：(1)由∠ACB=∠DCE=45°得∠BCE=∠ACD，同時BC：AC=CE：CD=1：，故△ACD~△BCE，故

(2)連接AC交BD于點O，連接OQ，易知∠OAB=∠PAQ=45°得

∠BAP=∠OAQ，同時OA：AB=AQ：AP=1：，故△AOQ~△ABP，故∠AOQ=∠ABP=45°，故點Q在直線OQ上運動，即AD的垂直平分線上運動；當Q在AD上時，DQ取最小值，此時S_△CDQ=4

(3)在AD上取點E，使∠DCE=∠ACB，連接BE，易知∠BAC=∠CDE=90°，故△CDE~△CAB，BC=CE，故CE=10，取CE的中點F，DF=5,BF=5

,當B、F、D共線時，BD取最大值；

同時注意到∠BCE=∠ACD，可得△BCE~△ACD，得∠BEC=90°

如圖，當B、F、D共線時，作EG⊥BD，由等面積法知EG=2，而F為CE的中點，故S_△BFC=S_△BEC，S_△DFC=S_△ECD，故S_△BCD=S_△BED=

點評：此題最難部分是第（3）問，這類問題是數(shù)學與實際相結(jié)合，難點是明顯的：1.題目意思理解，很多同學看不懂題目意思；2.與數(shù)學知識結(jié)合困難，尤其是與前面的背景結(jié)合有巨大的難度，前面是純幾何題，而后面如何結(jié)合解決問題是核心；

學習建議：這類問題已經(jīng)成為中考的命題方向，閱讀量大，數(shù)學與實際相結(jié)合，理解上常常有一定的困難.建議同學們對此類問題進行深度的思考與訓練，揣摩前后的內(nèi)在聯(lián)系，而不能只關注答案.