“人生中最重要的問題，在絕大多數(shù)情況下，真的就只是概率問題。”

——皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（1749-1827）

托馬斯·貝葉斯

公式推導(dǎo)

條件概率表示為：P（B|A）,讀作“在A發(fā)生的條件下B的概率”.

計算公式為：

在實際應(yīng)用中,乘法原理通常用于計算多個獨立事件同時發(fā)生的概率.其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：P(A∩B)=P(A)×P(B│A).

假設(shè)有兩個事件 A 和 B,它們的概率分別為 P(A) 和 P(B)，現(xiàn)在要求P(A|B).

條件概率式 

其中,P(A∩B) 表示 A 和 B 同時發(fā)生的概率.

乘法原理

 P(A∩B)=P(A)×P(B│A)

其中,P(B|A) 表示在 A 發(fā)生的條件下B 發(fā)生的概率.

現(xiàn)在可以將 P(A∩B) 替換為乘法公式的右邊表達(dá)式

根據(jù)全概率公式,將 P(B)展開為：

其中 

    表示事件 A 不發(fā)生的情形.將上式帶回貝葉斯公式中,可以得到：

典故新解

西周末年，昏庸的周幽王為博愛妾褒姒一笑，采納了虢石父的建議，點燃了驪山烽火臺。褒姒見千軍萬馬召之即來，揮之即去，如同兒戲一般，覺得十分好玩，禁不住嫣然一笑。周幽王大喜，因而又?jǐn)?shù)次點燃烽火，導(dǎo)致諸侯們都不相信烽火，也漸漸不來了。后來犬戎攻破鎬京，殺死了沒有諸侯來救駕的周幽王。

設(shè) 

P(撒謊)=0.1

P(真話)=0.9

（先驗概率）

P(敵人入侵|真話)=0.8

P(敵人沒入侵|真話)=0.2

P(敵人入侵|撒謊)=0.3

P(敵人沒入侵|撒謊)=0.7

可求得當(dāng)敵人沒入侵時周幽王撒謊的概率（后驗概率）

  P(撒謊|敵人沒入侵)

=(P(撒謊)×P(敵人沒入侵|撒謊))/P(敵人沒入侵)

=(P(撒謊) ×P(敵人沒入侵|撒謊))/(P(撒謊)×P(敵人沒入侵|撒謊)+P (真話) ×P(敵人沒入侵|真話))

=(0.1×0.7)/(0.1×0.7+0.9×0.2)

=0.28(28%)

  P (真話|敵人沒入侵)

=1- P (撒謊|敵人沒入侵)

=1-0.28=0.72（72%）

可見，在周幽王撒謊五次后，就點燃烽火一事而言，他在諸侯心中基本沒有了信任度，也難怪后來陷入孤立無援的局面。

將國事當(dāng)兒戲，不禁惹得后人感慨：

良夜頤宮奏管簧，無端烽火燭穹蒼。
可憐列國奔馳苦，止博褒妃笑一場。

  ——《東周列國志》

經(jīng)典問題

有三扇門,其中一扇門后面有一輛車,另外兩扇門后面分別有山羊。參賽者選擇其中一扇門,主持人打開另外兩扇門中的一扇門,顯示出其中一只山羊。此時,主持人給參賽者提供一個機(jī)會,允許他更改選擇。請問參賽者如果更改選擇,獲得車的概率會更大嗎？

解答：

事件A和事件B可設(shè)定如下：

事件A為：第一次抽樣為山羊；

事件B為：第三次抽樣為汽車.

事件A完成后，我們將“從剩下兩扇門中去掉一只山羊”變?yōu)橐粋€固定步驟，然后再執(zhí)行事件B。換門后能贏得汽車的概率問題，變?yōu)榍笫录﨎的概率P(B).

這里最終求的不是條件概率，需要使用貝葉斯公式的變形版本：

P(B)=P(B|A)×P(A)/P(A|B)

P(A)=P(第一次抽樣為山羊)=2/3.

在第一次抽樣為山羊發(fā)生的前提下，由于主持人確定會再去掉一只山羊，于是第三次抽樣為汽車的概率為100%，即

P(B|A)=P(第三次抽樣為汽車|第一次抽樣為山羊)=1.

而第三次抽樣為汽車發(fā)生的前提下，剩下兩個門只能都是山羊，于是第一次抽樣為山羊的概率也為100%，即 P(A|B)=P(第一次抽樣為山羊|第三次抽樣為汽車)=1.

于是，根據(jù)貝葉斯公式，
P(B)=P(第三次抽樣為汽車)
=P(B|A)×P(A)/P(A|B)=2/3.

一座別墅在過去的20年里一共發(fā)生過2次被盜，別墅的主人有一條狗，狗平均每周晚上叫3次，在盜賊入侵時狗叫的概率被估計為0.9，問題是:在狗叫的時候發(fā)生入侵的概率是多少?

解答：

我們假設(shè) A 事件為狗在晚上叫，B 為盜賊入侵，則以天為單位統(tǒng)計，
P(A)=3/7，
P(B)=2/(20×365)=2/7300，
P(A|B)=0.9，
按照公式很容易得出結(jié)果：

P(B|A)=0.9×(2/7300)/(3/7)=0.00058.

已知某種疾病的發(fā)病率是0.001，即1000人中會有1個人待病。現(xiàn)有一種試劑可以檢驗患者是否得病，它的準(zhǔn)確率是0.99，即在患者確實得病的情況下，它有99%的可能呈現(xiàn)陽性。它的誤報率是5%，即在患者沒有得病的情況下，它有5%的可能呈現(xiàn)陽性?，F(xiàn)有一個病人的檢驗結(jié)果為陽性，請問他確實得病的可能性有多大?

解答：

根據(jù)題目的條件，我們可以使用貝葉斯定理求解。

設(shè)事件A表示病人確實得病，事件B表示病人的檢驗結(jié)果為陽性，則：

P(A)=0.001，即病人確實得病的概率是0.001.

P(B|A)=0.99，即在病人確實得病的情況下，檢驗結(jié)果呈陽性的概率是0.99.

        = 0.05，即在病人沒有得病的情況下，檢驗結(jié)果呈陽性的概率是0.05.

求解病人確實得病的概率，即P(A|B)：

首先

其中

      =1-P(A).

計算得到：

P(B)=0.99×0.001+0.05×0.999≈0.051

根據(jù)貝葉斯定理：

P(A|B)=P(B|A)×P(A)/P(B)

代入上面的值計算得到：

P(A|B)=0.99×0.001/0.051≈0.0194

因此，這個病人確實得病的可能性約為1.94%.

生活中的應(yīng)用

貝葉斯方法可以應(yīng)用于垃圾郵件過濾器中,用來預(yù)測某個郵件是垃圾郵件的概率.這需要先知道一些先驗概率（例如,垃圾郵件的比例是多少）,然后根據(jù)郵件中的關(guān)鍵詞或其他特征來計算后驗概率（即這封郵件是垃圾郵件的概率是多少）。

在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中,貝葉斯方法可以用來預(yù)測某種疾病的概率,這需要先知道某種疾病的基本概率,然后根據(jù)一些指標(biāo)如血液檢查結(jié)果等信息來計算后驗概率,從而確定是否需要進(jìn)一步進(jìn)行特定檢查。

貝葉斯方法可以用來改善機(jī)器翻譯的質(zhì)量,例如,使用一個先驗概率表示翻譯中的某個詞可能屬于什么類型的短語,并使用選擇最大化概率的方式來選擇最佳的翻譯。

貝葉斯方法可以用來預(yù)測某個金融產(chǎn)品價格變化的概率,這需要先知道某個投資產(chǎn)品的基本概率,然后根據(jù)市場信息和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)等因素來計算后驗概率,從而確定變化的可能性。

哲學(xué)聯(lián)系

不行動意味著你失去了獲取新信息的可能，錯過了進(jìn)步的機(jī)會。貝葉斯告訴我們給我們提供了一個很好的思路: 先做一個預(yù)判，動起來，利用新的信息不斷修正原來的預(yù)判。

初始概率越準(zhǔn)確，我們就能越容易、越快速的得到真實的概率。而如何獲得相對靠譜的初始概率，是個硬功夫，它需要你的經(jīng)驗和平時的深度思考，有時甚至和底層的價值觀、思維方式都有關(guān)。

貝葉斯定理告訴我們，萬分之一概率的事情，也有可能因為特殊事件，一下子變成了50%。所以，每當(dāng)出現(xiàn)特殊的、罕見的情況時，我們要保持高度警惕。

在做決定之前，盡可能多的收集信息是必須的。但是錯誤的信息、低質(zhì)量的信息，會讓你的修正偏離真相越來越遠(yuǎn)，你能不能區(qū)分信息來源的可靠性、能不能進(jìn)行交叉驗證、邏輯推理，就顯得至關(guān)重要。