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另一方面，回歸模型允許客戶從預(yù)測變量中包含大量相關(guān)信息，但不允許處理ARIMA模型中可以處理的細微時間序列動態(tài)。在本文中，我們幫助客戶考慮如何擴展ARIMA模型，以便允許其他信息被納入模型中。

我們考慮了以下形式的回歸模型：

在本文中，我們允許回歸中的誤差包含自相關(guān)。例如，如果ηt'遵循ARIMA(1,1,1)模型，我們可以寫成：

其中εt'是一個白噪聲序列。

估計

在估計帶有ARMA誤差的回歸模型時，一個重要的考慮因素是模型中的所有變量必須首先是平穩(wěn)的。因此，我們首先必須檢查yt'和所有預(yù)測變量(x1,t,...,xk,t)(β,...,γ)是否呈現(xiàn)出平穩(wěn)性。

因此，我們首先對模型中的非平穩(wěn)變量進行差分處理。

如果模型中的所有變量都是平穩(wěn)的，那么我們只需要考慮殘差的ARMA誤差。我們得到如下模型：

其中y′t=yt?yt?1，x′t,i=xt,i?xt?1,i，β′=β?β?1，η′t=ηt?ηt?1，這是一個帶有ARMA誤差的差分模型。

R中ARIMAX回歸

以下R命令：

fit <- Arima(y, xreg=x, order=c(1,1,0))

將擬合模型y′t=β1x′t+η′t，其中η′t=?1η′t?1+εt是一個AR(1)誤差。這等同于帶有ARIMA誤差的差分模型。

其中ηt是一個ARIMA(1,1,0)誤差。由于進行差分，常數(shù)項消失。如果要在差分模型中包含常數(shù)項，需要指定include.drift=TRUE。

最終模型的AICc將被計算，并且該值可用于確定最佳預(yù)測變量。也就是說，應(yīng)對要考慮的所有預(yù)測變量子集重復(fù)此過程，并選擇AICc值最小的模型。

示例：個人消費和收入

圖1顯示了1970年至2016年第3季度個人消費支出和個人可支配收入的季度變化。我們希望根據(jù)收入變化來預(yù)測支出變化。

autoplot(uschange[,1:2], 
.......
income")

圖1：1970年至2016年第三季度個人消費支出和可支配個人收入的季度百分比變化。

(fit <- auto.arim.......
"Income"]))

數(shù)據(jù)已經(jīng)是平穩(wěn)的了（我們考慮的是百分比變化而不是原始支出和收入），因此不需要進行差分處理。擬合的模型是

我們可以使用residuals()函數(shù)來恢復(fù)對于ηt和εt序列的估計值。

cbind("Regression Errors" = residuals.......

  autoplot(facets=TRUE)

 圖2：從擬合模型中獲取的回歸誤差（ηt）和ARIMA誤差（εt）。

應(yīng)該看出ARIMA誤差類似于一個白噪聲序列。

 圖3: 殘差（即ARIMA誤差）與白噪聲沒有顯著差異。

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ARIMA模型，ARIMAX模型預(yù)測冰淇淋消費時間序列數(shù)據(jù)

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預(yù)測

使用具有ARIMA誤差的回歸模型進行預(yù)測時，我們需要預(yù)測模型的回歸部分和ARIMA部分，并合并結(jié)果。與普通的回歸模型一樣，為了獲得預(yù)測值，我們首先需要預(yù)測預(yù)測變量。

示例：個人消費和收入

我們將計算未來八個季度的預(yù)測值，假設(shè)未來的可支配收入百分比變化將等于過去四十年的平均百分比變化。

fcast <- forecast.......

圖4：使用采用ARIMA（1,0,2）誤差模型回歸消費支出百分比變化與可支配收入百分比變化，獲取的預(yù)測值。

該模型的預(yù)測區(qū)間開發(fā)的模型更窄，因為我們現(xiàn)在能夠使用收入預(yù)測變量來解釋數(shù)據(jù)的一部分變異性。

示例：預(yù)測用電量

日用電量可以建模為與溫度有關(guān)的函數(shù)。正如在電費單上可以觀察到的，在寒冷的天氣里由于加熱和炎熱的天氣里由于空調(diào)等原因使用更多的電。寒冷和炎熱天氣對電力需求的增加反映在圖中的U形，其中將日需求與日最高氣溫相關(guān)聯(lián)。

圖5：2014年每日用電量與最高氣溫的關(guān)系。

圖6顯示了每日需求和每日最高氣溫的時間序列。這些圖強調(diào)了需要一個非線性動態(tài)模型。

圖6：2014年每日用電量和最高溫度。

在此示例中，我們使用auto.arima()函數(shù)擬合具有ARMA誤差的二次回歸模型。

xreg <- cbind(MaxTemp =.......

fit <- auto........
 xreg = xreg)

圖7：每日電力需求的動態(tài)回歸模型殘差診斷。

該模型的殘差存在顯著的自相關(guān)性，這意味著預(yù)測區(qū)間可能無法提供準確的覆蓋范圍。此外，殘差直方圖顯示出一個正的異常值，這也會影響預(yù)測區(qū)間的覆蓋范圍。

使用估計的模型，我們從2015年1月1日（星期四，新年假日）開始預(yù)測未來14天的數(shù)據(jù)。

fcast <- forecast(fit,.......

圖8：每日電力需求的動態(tài)回歸模型預(yù)測。所有未來溫度都設(shè)置為26攝氏度，工作日虛擬變量被設(shè)置為已知的未來值。

隨機趨勢和確定性趨勢

有兩種不同的方法來對線性趨勢進行建模。通過回歸模型可以得到一個“確定性趨勢”，如下所示：

其中ηt為ARMA過程。通過以下模型可以得到一個“隨機趨勢”：

這類似于帶趨勢的隨機游走，但這里的誤差項是一個ARMA過程，而不僅僅是白噪聲。

盡管這些模型看起來非常相似（它們只有在應(yīng)用到ηt′′時需要應(yīng)用的差分數(shù)量不同），它們的預(yù)測特性卻非常不同。

示例：國際游客數(shù)據(jù)

autoplot(austa) + xlab("Year").......
)

圖9：1980年至2015年年際國際游客人數(shù)。

圖9顯示了1980年至2015年每年國際游客總數(shù)。我們將對這些數(shù)據(jù)擬合一個確定性趨勢模型和一個隨機趨勢模型。確定性趨勢模型的擬合如下：

trend <- seq_along.......
rend))

這個模型可以表示為：

預(yù)計每年游客數(shù)量的增長為0.17百萬人。

或者，可以使用隨機趨勢模型進行估計。

(fit2 <- au.......
, d=1))

 這個模型可以表示為: yt?yt?1=0.173+η′t, 或者等價地

在這種情況下，游客數(shù)量的預(yù)計增長也是0.17百萬人。盡管增長估計相似，但預(yù)測區(qū)間不同，如圖所示。特別是，由于誤差是非平穩(wěn)的，隨機趨勢具有更寬的預(yù)測區(qū)間。

fc1 <- forecast(fit1.......

  guides(colour=guide_legend(t)

圖10：使用確定趨勢模型和隨機趨勢模型對國際游客的年度預(yù)測。

確定性趨勢隱含了一個假設(shè)，即趨勢的斜率不會隨時間而變化。另一方面，隨機趨勢可以變化，并且估計的增長僅被假設(shè)為歷史時期的平均增長，而不一定是未來觀察到的增長率。因此，使用隨機趨勢進行預(yù)測更安全，特別是對于較長的預(yù)測時間范圍，在這種情況下，預(yù)測區(qū)間允許未來增長的不確定性更大。